ANSYS工程分析 基础与观念Chapter15.docx

ANSYS工程分析 基础与观念Chapter15.docx

《ANSYS工程分析 基础与观念Chapter15.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《ANSYS工程分析 基础与观念Chapter15.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

ANSYS工程分析基础与观念Chapter15

第15章

结构动力分析的参数设定

StructuralDynamicAnalysis

在这之前我们已经做过了一些简单的动力分析（譬如Sec.4.6），这一章我们要更进一步地来介绍动力分析的一些基本观念，了解这些基本观念才能适当地设定ANSYS动力分析所需要的参数。

本章虽然针对结构动力分析讨论，但是大部份的观念可以推广至其它领域的分析。

在本章的第1节中，我们再一次来讨论动力分析的几种类别：

transientanalysis、modalanalysis、及harmonicresponseanalysis（其它还有spectrumanalysis、randomvibrationanalysis等较少应用的类别则不在本章范围内），这三种动力分析我们曾分别在Sections4.2.2、4.2.4、及4.2.5初步介绍过。

第2节针对这三种动力分析的解题方法（solutionmethods）做一介绍。

基本上动力分析是在解一组二阶的联立微分方程式（asystemofsimultaneoussecond-orderdifferentialequations），其解法包括了：

直接积分法（directintegration）、modelsuperposition、及reducemethod等；直接积分法又有implicitmethod及explicitmethod之分。

了解这些方法的基本观念有助于对ANSYS动力分析所需要的参数的理解。

从力平衡的观念来看，结构系由四种力量构成动力平衡：

惯性力、阻尼力、弹性力、及作用的外力，我们可以用4.1式来代表这个关系。

在4.1式中，结构的质量[M]、阻尼[C]、及劲度[K]代表结构物内在的特征，相对地外力{F}是非属于结构内在的量。

结构劲度在这之前我们已经讨论很多，结构的质量及阻尼则相对地较陌生，本章第3节针对结构的质量及阻尼做一讨论，尤其是与ANSYS应用有关的观念。

为了避免太多的观念介绍而缺乏具体的实际分析工作，我们在第4节先以一个实例来让读者有较具体的体会。

历经第4节的实例后，你会发现动力分析和静力分析的相异之处除了多考虑结构质量及阻尼外，还是有其它更多的复杂性存在，后续3节分别对其中几个重要观念做一介绍。

第5节介绍如何输入动态的负载（dynamicloads）；第6节讨论如何输入初始条件（initialconditions）；第7节则讨论积分时间间隔（integrationtimestep）输入时的注意事项。

第8节以一个练习题来结束这一章的讨论。

第15.1节何谓动力分析？

WhatAreDynamicAnalyses?

什么是动力分析？

最清楚的（虽然并不一定是最容易了解的）的定义应该是从力平衡的观念着手：

当inertiaforce或dampingforce足够大，而必须考虑在力平衡方程式里面时，我们就必须要进行一动力分析。

我们知道静力平衡方程式

（2.17）

代表外力{F}及结构的弹性力[K]{D}之间的平衡关系。

如果inertiaforce及dampingforce足够大到必须加以考虑时，那么力平衡方程式必须写成

（4.1）

其中[M]{

}代表inertiaforce而[C]{

}代表dampingforce，这两个效应合在一起称为动力效应（dynamiceffects）。

接下来的问题只剩下：

什么时侯dynamiceffects要考虑在力平衡方程式中？

什么时侯dynamiceffects才称为「足够大」呢？

一个最保险的方法是：

永远不要忽略dynamiceffects（亦即进行动力分析）；或者是静力分析及动力分析各做一次，当两次分析的结果差异在可接受范围时（譬如1%之内、或5%之内），即表示dynamiceffects是可以忽略的，反之则是不可忽略的。

实际的工程分析常常不需要耗费太多时间做这样的实验，我们应该有更简单的法则来决定是否需要考虑动力效应。

从4.1式来看就会很清楚，就是{

}或{

}够大时，动力效应就必须要考虑了；也就说整个结构的变形速度、或变形的加速度很快时就必须要考虑动力效应了。

注意，结构的变形速度很缓慢时，加速度通常也是很小的，由此我们的初步结论是：

结构的变形速度很快时才需要考虑动力效应。

那么多快才算很快呢？

一般而言我们可以用该结构的基本自然频率（fundamentalnaturalfrequency，亦即最低的共振频率）来做基准。

当结构做反复变形时，其变形的频率小于结构的基本自然频率的1/3时，我们可能还不需要考虑动力效应[Ref.3,Sec.9.1]。

15.1.1TransientDynamicAnalysis

当我们将问题写成Eq.4.1的形式，而直接去解这个方程式时，称为Transientdynamicsanalysis，亦即考虑一个结构承受任意外力时，结构的反应。

通常外力若随时间而变时，该结构的反应也是随时间而变的。

Transientanalysis此名称是相对于steady-stateanalysis的，亦即Eq.2.17所代表的结构行为。

15.1.2ModalAnalysis

Eq.4.1中，当外力是0时，代表模态分析的控制方程式，亦即

（4.2）

想象一个结构（譬如一个cantileverbeam），你给它一个外力后，然后移除此外力（譬如仅仅拍打一下），一开始会有一些瞬时的（transient）运动，但终究会达到一个稳定的（steady-state）的振动。

事实上如果没有任何阻尼的机制，它会永远延续此稳定的振动；但是实际上都存在着某些阻尼的机制（Sec.15.3），使得此一振动的振幅或多或少慢慢减低（但是频率通常还是稳定的）。

当我们要了解这个稳定振动的行为（而不关心一开始的瞬时行为）时，可以直接去解Eq.4.2，亦即只考虑外力移除的情况，而不需将完整的外力（给一个外力后，然后移除此外力）应用在Eq.4.1上。

从数学的观点来看，Eq.4.2是一个特征值问题（eigenvalueproblem），其特征值（eigenvalues）代表结构的自然振动频率（naturalfrequencies），而每一个特征值相对的特征向量（eigenvector）代表振动形状（vibrationshapes）。

注意，自然振动频率不只一个，最低频的自然振动频率称为基本自然振动频率（fundamentalnaturalfrequency）。

所以模态分析的结果是自然振动频率及振动形状。

Eq.4.2的解答程序相当耗时。

幸运的是，绝大部分的情况下，我们可以忽略阻尼力（[C]{

}）这一项，而将Eq.4.2简化为

（15.1）

除非你指定要考虑阻尼效应，否则ANSYS的模态分析是以Eq.15.1来解的[Ref.5,MODOPT]。

以下我们讨论忽略了阻尼力后，所产生的误差有多大，亦即Eq.15.1与Eq.4.2所求得的自然振动频率及振动形状有多大的差异。

首先讨论自然振动频率。

忽略了阻尼力后，自然振动频率会有多大的误差？

以下的公式可以用来描述在一个单自由度的结构下，考虑阻尼力与不考虑阻尼力所计算的自然振动频率关系[Ref.3,Sec.9.2]：

（15.2）

其中fd代表考虑阻尼力所计算的自然振动频率，fu代表不考虑阻尼力所计算的自然振动频率，而ξ代表阻尼比（dampingratio，请参阅任何结构振动学课本，或Ref.3,Sec.9.2）。

一般而言，结构物的dampingratio约在5%至10%之间，所以考虑阻尼力与不考虑阻尼力所计算的自然振动频率会非常接近，误差在实务上是可以忽略的。

注意，Eq.15.2虽是以单自由度结构所导出的结果，但是还是可以用来解说上述的结论。

接着讨论振动形状的误差。

严格来说，振动形状是和时间有关的，随着时间越久，振幅越来越小。

在考虑单自由度的结构下，连续两次振动的振幅比（R<1，或称为减衰比）可以用下式估算[Ref.3,Sec.9.2]：

（15.3）

其中ξ是前述的阻尼比。

事实上Eq.15.3可以做为阻尼比量测的公式。

一般而言，结构的dampingratio约5%至10%，所以连续两次振动的振幅比约在1/2至3/4，用另外一种说法是：

一般的结构反复振动8至15次后，振幅会降至小于原来的1/100。

为什么需要进行模态分析？

模态分析的目的是计算自然振动频率及振动形状，但是为什么要计算自然振动频率及振动形状呢？

我们可以列举下列几个理由：

（1）避开结构共振现象以免结构遭受破获；

（2）相反地，利用结构共振现象，以最少的能量输入制造最大的振动效果；（3）自然振动频率可以代表一个结构的整体刚度，不同的振动形状所相对的频率代表该变形下的刚度数值，依此可以评估整体结构所需要加强的部位。

（4）自然振动频率往往是其它进一步动力分析（transientanalysis、harmonicresponseanalysis）的必要参考值，譬如harmonicresponseanalysis中，我们较关心的是接近自然振动频率时，结构反应的放大现象，所以必须先知道自然振动频率的值。

以下我们举一个更具体的例子。

任何会转动的机构（马达、叶片、或引擎等），安置在一个支撑结构（supportingstructure）上，这个转动的机构会对支撑结构造成一个上下周期性的力量，当转动的频率和支撑结构的频率接近时，就会产生共振现象，这对这个支撑结构来讲是很危险的事情。

另一个例子是汽车的排气管，它有自已的自然频率，如果引擎的转动和排气管的很接近时，你可以想象排气管就会开始共振、引起吵杂声、严重时甚至会振坏了。

再考虑另一个例子：

一组转动的涡轮叶片。

每一个单独的叶片本身有自己的自然振动频率，如果这个涡轮旋转的频率跟这个叶片的自然频率接近时，叶片就会产生共振现象。

以上的这一类的例子非常多，任何结构只要有周期性运动的机构附着在上面，我们就必须要检查结构的自然频率和附着在其上的机构的频率是否很接近。

15.1.3HarmonicResponseAnalysis

Harmonicresponseanalysis是指外力为harmonicfunctions（亦即sin或cos函数形式）时，结构的反应，所以Eq.4.1可以表示成

（15.4）

其中ω是外力的角频率（rad/sec），φ是phaseangles，F是力的幅度；作用在每一个自由度上的外力，其φ、F是可以不一样的，但是ω假设是一致的。

前面提过，任何会转动的机构，安置在一个支撑结构上，这个转动的机构会对支撑结构造成一个上下周期性的力量。

这个力量可以用harmonicfunctions来代表，亦即Eq.15.4所表示的形式。

当机构转动的频率跟支撑结构的频率一致时，理论上会产生共振现象，结构的振幅会变成无穷大。

但是实际上因为有阻尼的存在，振幅不会是无穷大，而是有限值，我们希望这个值有多大。

事实上纵使共振现象还未发生，只要机构转动的频率接近支撑结构的频率时，结构反应还是会被放大很多。

Harmonicresponseanalysis的目的是希望知道在各种机构转动频率下，支撑结构的反应值，例如Figure4-1所示。

第15.2节解题方法

SolutionMethods

针对如Eq.4.1（Eqs.4.2、15.1、及15.4可以视为Eq.4.1的特殊情况）的方程式，ANSYS提供了许多解法，如Figure15-1所示：

基本上解Eq.4.1的方法可以分成directintegration及modesuperposition两大类方法；在directintegration方面可以分成implicit及explicit两类方法；而implicit又可分成fullmethod及reducedmethod。

在modelsuperposition这一大类方面则也可以分成fullmethod及reducedmethod。

以下我们将解说各种方法的基本构想及相关的观念，之后你大致上就可以知道哪一种方法适用在哪一种情形了。

SolutionMethodsforEquationofMotion

DirectIntegration

ModeSuperposition

Implicit

Explicit

Reduce

Full

Reduce

Full

Figure15-1SolutionMethodsforEquationofMotion

15.2.1DirectIntegration

Eq.15.1包含了n（numberofdegressoffreedom）个联立的二阶常微分方程式（自变量是时间），我们可以将它化成2n个一阶的常微分方程式，然后直接积分去解变位D，这就是directintegration方法的基本构想。

当在进行直接积分时，有很多方法可以利用[Ref.27,Chapter6]，但是我们可以归纳成两类方法：

implicitmethod及explicitmethod。

更进一步的观念我们将继续解说，但是你首先要注意以下两个重点：

（1）ANSYS的内建方法是implicitmethod，而LS-DYNA则是使用explicitmethod；

（2）Explicitmethod要求ITS（integrationtimestep）的值非常小（否则不容易收敛），较适合应用在非常短暂的冲击、高度非线性的分析。

Implicitmethod则可以容许较大的ITS值，但是对于短暂的冲击、高度非线性（如contact或塑性问题）的分析则常有收敛的困难。

15.2.2ImplicitMethodvs.ExplicitMethod

为了说明什么是implicitmethod及explicitmethod，我们用两个很简单的公式来解说，虽然这些公式有点过份简化，不过应该可以传达清楚的观念。

我们用下面两个公式分别代表implicitmethod及explicitmethod的积分公式

ImplicitMethod:

（15.5）

ExplicitMethod:

（15.6）

其中Dt代表在时间t时的变位（向量），∆t代表ITS（integrationtimestep）。

首先你要有这样子的概念：

计算每一个时间点的变位，是依一个时间步骤、一个时间步骤来计算的；从t=0开始，每次计算t+∆t的变位量。

Eq.15.6中，当程序在计算t+∆t的变位时，所需利用到信息都是已知的（时间t及之前的变位都已经计算过了）；相对的，Eq.15.5中，当程序在计算t+∆t的变位时，所需利用到信息包含了未知量（Dt+∆t）。

前面提到这两个公式是过份简化的，因为参与在公式中的量不只是displacements，也包括了velocities及accelerations。

Eq.15.6的未知量只有出现在等号左边，未知量时可以直接利用已知的信息计算，所以称为explicitmethod；相对的Eq.15.5的未知量出现在等号两边，解未知量时需要进行迭代（iterations），所以称为implicitmethod。

Implicitmethod的计算方法虽然较繁复，但是容许较大的∆t；相对的，explicitmethod需要很小的∆t，但是在很小的∆t下，许多非线性的收敛问题也一并解决了。

整体而言，不同的问题需要采用不同的方法。

15.2.3ModeSuperpositionMethod

Modesuperpositionmethod和directintegration有不一样的解题构想。

Modesuperposition基本上是假设一个结构的动态反应（指变位）可以由各个modeshapes来线性迭加起来，亦即

（15.7）

其中D是变位（向量），Mi代表第i个自然振动频率（由低频至高频排列）所相对的modeshape，Ci代表未知系数；注意Mi与时间无关，而Ci是时间的函数，所以Eq.15.7相当于将时间及空间分开处理。

在经过模态分析后，modeshapes已知的情况下，剩下的工作就是求这些随时间而变的未知系数了。

Modesuperpositionmethod只能解线性的问题，因为无论是模态分析或是Eq.15.7（线性迭加）的本质都是线性的。

在线性结构的条件下，一般而言modesuperpositionmethod比directintegration有效率（计算时间短），尤其是在做线性迭加时（Eq.15.7）你可以选择只利用到前面几个（譬如10个）modelshapes[Ref.5,TRNOPT或HROPT中的参数MINMODE]，因为通常越高频的modeshapes所扮演的角色就越不重要了。

15.2.4ReducedMethod

为了较有效率的解说reducedmethod和fullmethod的差异，我们还是从数学的观点来说明。

我们先从静力平衡方程式着手

（2.17）

如果我们把向量{D}中的未知量分成两群：

Dm及Ds（m代表masterdegreesoffreedom，s代表slavedegreesoffreedom（等一下再来解说这两个名词的含意，目前你可以假设这两群未知量是任意选择的）。

则Eq.2.17可以写成

（15.8）

把它展开以后做一些数学处理后，会得到下列结果（详细诱导过程列于本小节最后面）：

（15.9）

（15.10）

其中

如此我们将解Eq.2.17分成两个步骤：

（1）先利用Eq.15.9解出Dm，亦即masterdegreesoffreedom，

（2）再利用Eq.15.10计算其余的未知量Ds，即slavedegreesoffreedom。

注意，原来的问题（Eq.2.17）本来本来有几千、万个自由度，选出某些masterdegreesoffreedom后，我们可以把问题reduce成Eq.15.9的形式，也就是把一个大型的方程式reduce成一个比较小型的方程式，然后解这组小型方程式，这是reducedmethod的基本构想；相对的，直接去解Eq.2.17的方法称为fullmethod。

Reducedmethod有什么优点及缺点（或限制）呢？

一般而言reducedmethod比fullmethod，所需要的计算时间及计算机内存会大量减少。

但是其缺点（或限制）主要有两个方面：

（1）Reducedmethod只适用于线性分析，因为其控制方程式假设式是线性的（Eq.2.17）。

（2）Reducedmethod是针对线性静力分析的问题而发展出来的；对线性静力分析而言是一个很好的方法（原始的目的是要节省计算机计算时间及主存储器），并没有引进任何假设，所以不会引进任何额外的误差。

但是动力平衡方程式不只是像Eq.2.17而已，必须再加上inertiaforce及dampingforce两项（Eq.4.1），数学操作不再像Eqs.15.8、15.9、15.10等这么完美，而只是一个近似（approximation）的计算工作。

总而言之，reducedmethod对动力而言是一个approximation，这个approximation会产生多大的误差，你可以自行验证比较，亦即使用fullmethod去计算出结果，再来比较reducedmethod的结果，看看其误差有多大。

MasterDOFs要如何选择呢？

通常我们是选择质量比较大的DOFs，事实上ANSYS可以依此原则来帮你选，只要告诉ANSYS要有多少个DOFs，它会去选质量比较大的DOFs[Ref.5,TOTAL]。

你当然也可以自己选择MasterDOFs[Ref.5,M]。

附录：

Eqs.15.9及15.10的详细诱导过程

将Eq.15.8展开

（a）

（b）

由（b）可以解出Ds

（15.10）

将Eq.15.10代入（b），得到

经过整理后得到

此即Eq.15.9的形式。

15.2.5MethodsforNonlinearDynamicAnalysis

经过前面的介绍，你应该知道Figure15-1中有些方法是不适用在非线性问题的。

很明显的modesuperposition是不适用在非线性问题的。

在directintegration方面，reducedmethod也是不适用在非线性问题的。

所以只有directintegration中的fullmethod可以解非线性的问题，包括implicit或explicitmethods。

第15.3节质量与阻尼

MassandDamping

15.3.1Consistentvs.LumpedMassMatrices

当你进行动力分析时，ANSYS预设的massmatrices称为consistentmassmatrices，但是ANSYS容许你指定使用lumpedmass[Ref.5,LUMPM]。

什么是consistentmassMatrix、lumpedmassmatrix呢？

Figure15-2是2D梁元素（BEAM3）的massmatrices，左边是根据shapefunctions导出来的massmaxtrix，称为consistentmassmatrix。

如果把对角以外的数值都假设为零，变为像右边的形式，就叫做lumpedmassmatrix，其物理上的意义是假设质量都集中在节点上。

介于lumpedmass和consistentmass之间的，有第三个情况，就是只有假设rotationalmass集中在节点上，而translationalmass还是采用consistentmass，这样的情形下我们称为reducedmass。

LumpedMass

ConsistentMass

Figure15-2Consistent/LumpedMassMatrices

依计算量来比较，采用consistentmass的计算量，其次是reducedmass、而最快的是lumpedmass，因为它节省了shapefunctions的计算。

选择lumpedmass或reducedmass主要是节省很多计算时间；在一般的的情况下，失去了一些精度是在所难免的，但是在某些情况下，采用lumpedmass或reducedmass并不至于失去多少精度。

我们将这种情况摘要如下：

当结构某一方向的尺度远小于其它两个方向时（structuresthataresmallinonedimensioncomparedtotheothertwodimensions），譬如细长的梁或是薄壳结构。

因为其主要的自由度是横向的振动。

当然较保险的方法是你先去做一些误差的研究，来决定使用哪一种mass。

15.3.2Damping

Damping是指所有能量消散（energydissipation）的机制的总合。

一个结构接受从外界输入的能量后，若是没有任何的energydissipation的机制，那么它就会一直振动不停（因为能量守恒法则）；可是因为有d