试求
（1）｛8，0.8｝
（2）｛｛1.9，1.901｝1.19｝
5、N为自然数，规定F（N）=3N-2例如F（4）=3×4-2=10
试求：
F
（1）+F
（2）+F（3）+F（4）+F（5）+⋯⋯+F（100）的值
6、如果1=1！
1×2=2！
1×2×3=3！
⋯⋯
1×2×3×4×⋯⋯×100=100!
那么1！
+2！
+3！
+⋯⋯+100！
的个位数字是几？
（第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题）
7、若“+、-、×、÷、=、（）”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。
下面四个算式
（1）8×7=8
（2）7×7×7=6
（3）（7+8+3）×9=39
（4）3×3=3
那么应该是我们通常的哪四个算式？
8、如果2*4=2×3×4×5
（1）（3*4）-（5*3）
5*3=5×6×7，请按此规定计算
（2）（4*4）÷（
3*3）
9、规定（25）=2+5=7
（123）=1+2+3=6
（65）=6+5=（11）=1+1=2
则计算
（1）（56489）
（2）（92045）+（90÷5）÷（12）
10、规定64=2×2×2×2×2×2表示成F（64）=6；
243=3×3×3×3×3表示成G（243）=5；试求下面各题的值
（1）F（128）=（）
（2）
F（16）=G（
）
（3）
F（
）+G（27）=6
11、如果1=1！
1×2=2！
1×2×3=3！
⋯⋯
试计算
（1）5！
（2）X！
=5040，求X
12、有一种运算符号“＆”使下列算式成立
2＆3=75＆3=134＆5=139＆7=25求995＆9=？
AB
13、A*B=在X*（5*1）=6中，X的值是多少？
AB
14、对于任意的整数
X、Y定义新运算“￥”
X￥Y=
6XY
（其中M是一个固定的
MX2Y
值）如果1￥2=2，那么2￥9=？
第二讲二元一次不定方程
一、学习目标：
掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。
二、基础知识：
我们知道，一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的
题目却必须设两个未知数，且列不出两个方程，类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。
在我们研究不定方程的解时，常常会附有其他一些限制条件，有的条件是明显的，也有隐蔽的，但它们对解题至关重要，这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。
三、例题解析：
（一）基本方法
例1、小明要买一只4元9角的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？
分析：
本题可以用多种方法解答，这里用不定方程来解。
设小明付了X枚贰角和Y枚伍角
列方程，得2X+5Y=49
方法一
1、利用奇偶性。
49是奇数，2X是偶数，那么5Y必定是奇数。
这样，Y只
能取1，3，5，7，9这五个数。
2、利用最值：
所付钱中贰角和伍角的都有，而X至多为10，那么5Y不小于49—2×19=29，这样，可得Y大于6。
方法二观察系数的特点，利用尾数（个位数）解答。
由例1可以看出，对于二元一次不定方程，尽量缩小未知数的取值范围，再求解。
不定方程常常利用奇偶性，最值和尾数来帮助解决
例2、大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。
为了便于管理，
要求车辆数最少，应该选择哪个方案？
分析：
解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。
注意加了限制条件以后，答案的变化。
试一试：
一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是
170，你知道他出生于几月几日？
例3、现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省？
分析：
根据条件用不定方程可以求出卡车的台数，但是要注意问题求运费最省。
例4、一个同学发现自己1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，请问这个学生1991年时多少岁？
分析与解：
设他出生于19XY年，那么
1991—19XY=1+9+X+Y
1991—（1900+10X+Y）=10+X+Y
91—10X—Y=10+X+Y
（二）能力拓展
例5、一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数xy,
时路标上的数字变为yx，又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数
每次看到的数字和汽车的速度。
过了一小x0y,求
分析：
路标上的数字是累计数。
由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。
试一试：
一个两位数，如果把数字1放在它前面可得一个三位数，放在它后面也可得一个三位数。
已知这两个三位数之差为414，求原来的两位数。
例6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高，将这个长方体横切两刀，竖切两刀，得到9个长方体，这9个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多624平方厘米，求原来长方体的体积。
分析与解：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，分析可得，横切两刀，增加了4ab的面积，竖切两刀增加了4ac的面积，所以可列方程：
4ab+4ac=624。
三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。
练习
一、基本题
1、求方程6x+9y=87的自然数解。
2、求方程2x+5y=24的自然数解
3、大客车有48个座位，小客车有30个座位。
现在有306名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位来，需要大、小客车各几辆？
4、装饼干的盒子有大、小两种，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，妈妈用了89元，问大小盒子各买了多少个？
5、一个两位数，交换个位和十位上的数字，就得到一个新的两位数，已知新两位数比原两位数多54，求原来的两位数。
6、一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大3，求这个两位数。
7、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于10，问两种盒子各有多少个？
二、综合题
8、在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得的三位数比原数大870，那么原数是多少？
9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。
现有一个班的学生（不足
70人）
来开会。
一部分学生一人坐一把两座的长椅，其余的同学每三人坐一把四座的长椅。
结果平均每个学生坐1.35个座位。
求有多少个学生？
思考题
10、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
第三讲分数乘除法计算
分数乘除法的计算方法用字母表示为：
b
d
bd
（a，c都不等于
0）；
a
c
ac
b
d
b
c
bc
0）。
a
c
a
d
（a，c都不等于
ad
一、课前准备：
1、计算下列各题：
（1）5÷10÷1
（）3
＋3÷7
（）5
÷9×27
3
36
2
5
15
3
7
35
7
18
（3）21÷9÷7
（）5
÷5
×5
（）2
÷（
1
3
）
8
12
4
4
3
6
4
+
2
5
5
2、在□或〇里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律？
16
7
（1）25×7×8=
×（
×）
5
2
8
（2）8×3×15=（
×）×
2
29
（3）29×（15×31）=
×（
×）
3
（4）254×4=
×
+
×
7
（5）7×8=
×
〇
×
4
（6）15×25=
×
〇
×
8
5
（7）54×（9-
6）=
×〇×
二、例题讲解
例1：
计算：
⑴44
37；
⑵27
15
。
45
26
【分析】认真观察这两道题的数学特点：
第
（1）题中的44与1只相差
1，如果把写
45
45
成（1
1
37相乘，再运用乘法分配律就能简化运算了。
同样，第（
2）题中的
）的差与
45
27可以写成（26+1
）。
练习：
“挑战自己！
”比一比，看一看，谁的方法最巧妙？
2
1
32
2
5
263
×5
5
×6
例2：
计算：
1
27
341
5
5
分析仔细观察因数的特点可知，
1
27可转化为
3
9，这样就可以利用乘法的分配
5
5
律进行简算了。
练习：
计算：
4
2312
16
1
1
4
7
13
7
7
13
例3：
计算：
2
2
5
5
9
7
7
9
7
9
【分析】把几个分数的和作为一个整体去处理，往往会使计算简便得多。
在本题中，
把1与1的和作为一个数来参与运算，使计算中只含有乘除法。
再利用乘法的交换律、
79
结合律就可以很快算出结果。
例4：
计算：
⑴1661
41；⑵200320032003
。
20
2004
【分析】同学们都会计算带分数除法。
不过，看了这两题，你一定感到把带分数化成
假分数太繁了。
如果我们动一下脑筋，就会发现：
可以把题
（1）中的1661分成一个41
20
的倍数与另一个较小的数相加，再利用除法性质就可以使运算简便。
把题
（2）中的
20032003化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。
2004
9
1
例5：
计算：
777
3711
10
10
例6：
计算：
一、基本练习
1、下面各题，怎样简便就怎样算。
8
11
15
11－15
1
15（2＋3）
9
12
16
4
16
4
3
5
4（25
68）
11＋12
45
3
17
3
2
2
3
9
2.“考考你”下面各题怎么算简便就怎么算？
7
×101-
7
8
8
8
8
3
×99+
3
10
10
9
×
9
÷9
×9
5
5
4
34
5
5
18
35×25
36
×35
（
6-9）×5
4
8
2
15
3
10
3
3
（7+9）×25
21×4+21×4-4
4.分数四则混合计算：
（1）（1—
1）×1000
（2）36×[（3
—1
）÷3
]
10
100
5
4
6
2
（3）7
×4
—1÷5
（4）（0.19×63
+0.19×35
）÷0.05
8
5
12
6
8
8
二．能力提高
（4）
2008
（5）2008
2009
第四讲
分数四则混合运算
一、课前准备：
99927
÷9
6280
1
（4
＋16）×15
35
89
9
3
5
16
37÷3＋53×4
（1＋1－1）×24
10
4
10
3
3
4
6
二、例题讲解
例1：
计算：
8
1.125360
2
23%
888
3
9
练习：
92
12
5.4623
（4.875
27）
3
3
5
8
例2：
计算：
（598.1×372＋5981×6.26）÷113＋190×17
51730
例3、311
2
411
3
511
4
611
5
711
6
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
例4；计算；4.4445
31
25
36
411
8
37
111
37
25
练习：
1.下面各题怎样算简便就怎样算。
（8＋5－29）×27
（2＋4）÷1
9
3
27
3
5
15
253×4
244÷5
4×32＋32×3＋32
4
5
7
13
13
7
13
2.用简便方法计算。
1÷13×100－9－91×11.1×421＋40.9÷52－4.09×9
1313971997
3、计算下面各题。
55
55
56
56
1517
7
25
56
55
20
8
12
2（31
1
1）
4
11（3
3
11）
7
3
2
5
6
5
4
4
5
8
411
3
511
4
611
5
（1
1
1）1
3
4
4
5
5
6
3
6
9
18
2
2
3
3
41
41
（
0.870.23）3%
7
5
11
11
5.6
0.375
3
5.4
3.75
10
1110
11
5
5
13
8
11
13
15.8
63
1
12.5%
1.1
421
40.9
52
4.09
9
5
8
97
19
97
5
0.8
4
4
2
2
5
2
7.6
1.25
9
9
5
5
第五讲估算
取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，还有去尾法和收尾法（进一
法）。
其方法一般是计算出准确值再按要求取近似值。
还有两种：
（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；
（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。
这就是估计与估算，估计与估算，是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用。
一、去尾法和收尾法（进一法）
例1、某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时，飞去时速度为900千米/时，飞回时速度为850千米/时。
问：
该飞机最远飞出多少千米就应返回？
（精确到1千米）
解：
设该飞机最远能飞出x小时，依题意有
此题采用去尾法。
如果按照四舍五入的原则，那么得到x≈1749，当飞机
真的飞出1749千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。
例2、某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70奔跑的速度为7米/秒。
已知导火线燃烧的速度是长度至少多长才能确保安全？
（精确到0.1米）
米开外的安全地带奔跑，其
0.112米/秒。
问：
导火线的
此题采用收尾法。
如果你的答案是1.1米，执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。
二、放缩法与省略尾数法
例3、有三十个数：
1.64，1.64+1，1.64+2，⋯⋯1.64+281.64+29，如
30303030
果取每个数的整数部分（例如：
1.64的整数部分是1，1.64+11的整数部分是
30
2），并将这些整数相加，那么其和是多少？
分析：
关键是判断从哪个数开始整数部分是2
例4、A=12345678910111213÷31211101987654321，求A的小数点后前3位
数字。
分析：
本题可以采用取近似值的办法求解，还可采用放缩法估计范围解答的。
方法一：
放缩法：
A＞1234÷3122=0.3952⋯
A＜1235÷3121＝0.3957⋯
所以0.3952＜A＜0.3957
方法二：
省略尾数法：
近似值：
将被除数、除数同时舍去
13位，各保留
4
位，则有
1234÷3121≈
例5、老师在黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数）小明计算出的答数是12.43。
老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。
正
，
确的答案应是什么？
分析：
小明的答案仅仅是最后一位数字错了，那么正确答案应该在12.40与12.50之间。
原来13个数的总和最小应该是12.40×13=161.2，最大应该
是12.50×13=162.5之间，从而可求出这13个自然数的总和，从而知道正确答案
例6、已知：
S=
1
，求S的整数部分。
1
1
1
1
1980
1981
1982
1991
分析与解：
如果我们能知道分母部分最小不小于几、最大不大于几，就能知道它的值在某个范围内。
当这个范围很小时，就容易判断出s的整数部分了。
设A=
说明：
本题如果直接计算，不但非常麻烦，而且容易出错。
上面的“分析”中，我们采用了“放大——缩小”的方法，就是先把s的倒数（分母部分）的每一个加数都看成最大的一个（放大），再都看成最小的一个（缩小）。
A
1（1
1
1
1
1
）
练一练：
求
1996
1997
1998
1999
2000
的整数部分。
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