人教A版必修一高中数学第三章 函数的应用 311同步习题及答案.docx
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人教A版必修一高中数学第三章函数的应用311同步习题及答案
第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
课时目标
1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．
1．函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的关系
函数图象
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
与x轴交点个数
____个
____个
____个
方程的根
____个
____个
无解
2.函数的零点
对于函数y＝f（x），我们把________________叫做函数y＝f（x）的零点．
3．方程、函数、图象之间的关系
方程f（x）＝0__________⇔函数y＝f（x）的图象______________⇔函数y＝f（x）__________．
4．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内________，即存在c∈（a，b），使得__________，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
一、选择题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．无法确定
2．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（a）f（b）>0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
B．若f（a）f（b）<0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
C．若f（a）f（b）>0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
D．若f（a）f（b）<0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
3．若函数f（x）＝ax＋b（a≠0）有一个零点为2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（ ）
A．0，－
B．0，
C．0,2D．2，－
4．函数f（x）＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（ ）
A．（－2，－1）B．（－1,0）
C．（0,1）D．（1,2）
5．函数f（x）＝
零点的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是（ ）
A．（－∞，0）
B．（0,1）
C．（1,2）
D．（2，＋∞）
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在（0，＋∞）上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．
8．函数f（x）＝lnx－x＋2的零点个数为________．
9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为（k，k＋1）（k∈N），则k的值为________．
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
三、解答题
10．证明：
方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
11．关于x的方程mx2＋2（m＋3）x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
能力提升
12．设函数f（x）＝
若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则方程f（x）＝x的
解的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
13．若方程x2＋（k－2）x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系
（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
（2）根据函数零点定义可知，函数f（x）的零点就是方程f（x）＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f（x）＝0是否有实根，有几个实根．
（3）函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的实数根，也就是函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象交点的横坐标．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数y＝
.
3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．
第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
知识梳理
1．2 1 0 2 1 2.使f（x）＝0的实数x 3.有实数根 与x轴有交点 有零点 4.连续不断 f（a）·f（b）<0 有零点 f（c）＝0
作业设计
1．C [方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．]
2．C [对于选项A，可能存在根；
对于选项B，必存在但不一定唯一；
选项D显然不成立．]
3．A [∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，
＝－
.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝
＝－
.]
4．C [∵f（x）＝ex＋x－2，
f（0）＝e0－2＝－1<0，
f
（1）＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴f（0）·f
（1）<0，
∴f（x）在区间（0,1）上存在零点．]
5．C [x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f（x）＝lnx－2在（0，＋∞）上递增，
f
（1）＝－2<0，f（e3）＝1>0，∵f
（1）f（e3）<0
∴f（x）在（0，＋∞）上有且只有一个零点．
总之，f（x）在R上有2个零点．]
6．A [设f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f（0）＝0可得d＝0，f（x）＝x（ax2＋bx＋c）＝ax（x－1）（x－2）⇒b＝－3a，又由x∈（0,1）时f（x）>0，可得a>0，∴b<0.]
7．3 0
解析 ∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，又∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，由奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0）上也单调递增，由f
（2）＝－f（－2）＝0.因此在（0，＋∞）上只有一个零点，综上f（x）在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
8．2
解析 该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图象如下图：
由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f（x）＝lnx－x＋2有2个零点．
9．1
解析 设f（x）＝e2－（x＋2），由题意知f（－1）<0，f（0）<0，f
（1）<0，f
（2）>0，所以方程的一个实根在区间（1,2）内，即k＝1.
10．证明 设f（x）＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．
因为f（－1）＝3>0，f（0）＝－2<0，f
（2）＝6>0.
所以在（－1,0），（0,2）内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解 令f（x）＝mx2＋2（m＋3）x＋2m＋14.
依题意得
或
，
即
或
，解得－
12．C [由已知
得
∴f（x）＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f（x）＝x有3个解．]
13．解 设f（x）＝x2＋（k－2）x＋2k－1.
∵方程f（x）＝0的两根中，一根在（0,1）内，一根在（1,2）内，
∴
，即
∴
.
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