V|PA|=|x+1|=x+1,|PB|=|7t-3|=3-Xj
A|PA|-|PB|=2tAx+1-C3-x）=2・
Jt=2：
'■3.'；三百•叮谒-：
；PH—丄冬.F、l一丄PE,
22
a©PMFNefjfTi^变时.PM：
PN-R\:
PB+
②pxi-FN|菇價不空咸立+
故当P在线段AH上时.
点评：
此題主要考查了一元一次方程的应用，港透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问題时，要阴止漏解.
利用中点性质转化线段之间的倍分关累是解题的关缝.在不冋的带况下灵活选用它的不闫表示方法，有利干無題的简洁性.同时，灵活运冃銭段的和、差、倍、分轻化纯段之间的数星关至也是十分关键的一点.
2.如田1,己知数轴上两点A.B对应的敖分别为-1、3,点P为数轴上的一动点，萇对应的数为x・
A
B.
5t1
A.
20t
•1o
3
AXiAOPN
3B“
图1
E2
（1）P4=|x+ll
；PB-
|x・31（用含x的式子表示）
（2）在数轴上是否存在点P,使臥+PB=5?
若存在，请求出x的值：
若不存在，请说明理由.
（3）如图2,点P以I个单位/s的谏度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/5的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：
朋~°卩的值是否发土变化?
请说明理
MN
由.
考点：
一元一次方程的应用：
数馆：
两点间的距离.
分析：
（1）根据数轴上两点之间的距离求法得岀臥，PB的长；
（2）分三种情况：
①当点P在A、B之间时，②当点P在B点右边时，③当点P在A点左边时，分别求出即可；
<3）根据题意用t表示岀AB,OP,MN的长，进而求出答案.
解答：
解；
（1）•・•数轴上两点A、B对应的数分别为・1、3,点P为数雜上的一动点，其对应的数为X,.•・M=|X+1|；PB二|x・3|（用含x的式子表示）；
故答案为:
|x+l|»|x-3|；
（2）分三种情况：
1当点P在A、B之间时，PA+PB-4,故舍去.
2当点P在B点右边时，BX=x+l,PB=x・3,
:
.（x+1）（x-3）=5,
/.x=3.5•
3当点P在A点左边时，映」x-1,PB=3-x,
/.C-x-1）+（3-x）=5,
:
・X=-1.5；
（3）坐磐的值不发生变化.
MN
理由：
设运动时间为〔分钟.则OIM,OA=5t+l,OB~20t+3,
AB=OA+OB二2W+4,AP-OAP皆6t+l,
AM=」AI>H+3t,
22
OM=OA-AM=5t+l-（l+3t）=2t+l,
22
ON=loB=10t+^,
22
・•・MN=OM+ON=12t+2,
.AB_0£/5t+4_g
MN_，
・••在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，齐吾的值不发生变化.点评：
此题主要考查了元一次方程的应用，根拒题意利用分类讨论得岀是解题关键.
3.如图1,直线AB±有-点P,点N分别为线段M、P13的中点•
••••••♦»«
AMPNBACBP
AB=14・图1圉2
（1）若点P在线段AB上，且AP=8,求线段MN的长度；
（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关：
（3）如图2,若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：
（严严的值不变：
②£址巴的
PCPC
值不变，请选择一个正确的结论并求其值.
考点：
两点间的距离.
分析：
（1）求岀MP,NP的长度，即可得岀MN的长度：
（2）分三种情况：
①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上：
③点P在BA的延长线上，分别表示出MN的长度即可作出判斷；
（3）设AC=BC=x,PB=y,分别表示岀①•②的值，继而可作岀判断.
解答：
解：
＜1）VAP=8,点M是AP中点,
•••MP=2aP=4.
2
ABP-AB-AP=6,又；•点N是PB中点，
•••PN丄PB3.
2
AMN=MP+PN=7・
⑵①点咗AB之间：
②点P在AB的延长线上：
③点P在BA的延长线上.均有MN寺I
（3）选择②•设AC二BOx,PB=y,
点评|本題考査了两点何的距离.解答本題注意分类讨论思如的运用.理解线段中点的定义•难度一股.
4.如图，P是定长线段AB±一点.C、D两点分别从P、D岀发以lcm£2cm；s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C\D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位宜：
ICPDB
⑵在
（1）的条件下，Q是査线AB上一点，KAQ・EQ=PQ,求普的值.
（3）在
（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有口对肚，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段
PB上），WN分别是CD、PD的中点，下列结论：
①PM-PN的值不变；②螢值不变，可以说明，只有-个结
论是正确的，请你找岀正确的结论并求值.
考点：
比较线段的长短.
专赵：
数形结合.
分析：
（1）根摇C、D的运动速度知BD=2PC,再由己知条件PD-2AC求得PB=2AP,所以点P在线段AB±的三
处；
（2）由題设画出图示，根摇AQ・BQ=PQ求得AQ=PQfBQ：
然后求得AP=BQ,从而求得PQ与AB的关系：
（3）当点C停止运动时.有CD=^AB，从而求得CM与AB的数虽关茶；然后求得以AB表示的PM弓PN的值，所以HN二PN-P胪丄;AE・
解答：
解：
＜1＞根拒6D的运动速度知：
BD-2PC
VPD-2AC＞•••BD+PD=2（PC+AC）,即PB=2AP,•••点P在线段AB上的丄处：
3
C2）如图：
APQB
VAQ-BQ=PQ,AAQ=PQ+BQ.
又AQ二AP+PQ,
AAP^BQt
••・PQ=^AB-
•PQ1
•■—二•
AB3
当点Q，在AB的延长线上时
AQ•AP=PQ・
所以匹二丄：
AB3
②瞿的值不变.
Ad
理由：
如因，当点C停止运动时，有cdAap*
乙
CM=^AP.：
•WWCP冷35,
•・•PD=^AB・10，••-PN=^（|aB-10）专AB-5,.••MN=PN-PM=^ab=
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，丄理=丄乙=丄.
ABAB12
点讦：
本題考査了比较线段的长短.利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解逶的关键，在不同的情况下灵活选用它的不冋表示方法，育利于解题的简洁性.同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数丘关系也是十分关键的一点.
5.如图1,己知敖轴上有三点A、B、C,AB=」AC,点C对应的数是200.
2
（1）若BC=300,求点A对应的数：
（2）如图2,在
（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长反母秒、2鱼位长度每秒•点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形〉：
<3）如图3,•在
（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为・800、0.动点P、Q分别从E、D两点同时岀发向左运动•点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点乂为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中，£QC・AM的值是否发生变化？
若不变，求其值；若不变，请迸明理由.
•4BC-
图1
PR020C
图2
考点：
一元一次方程的应用；比较线段的长短.
分析：
（1）根据BC=300,AB二」AC,得岀A0600,利用点C灯应的数是200,即可得岀点A对应的数;
2
（2）假设x秒Q在R右边时，恰好满足MR-4RN,得岀等式方程求出即可：
（3）假设经过的时间为y,得出PE=10y,QD=5y,进而得出叽5y・400=爭,得出年・
3（200+5y）15岳㈣幻•工
AM—y原题得证・
22
解答：
解：
（1）VBC=300,AB=^,
2
所以AC=600,
C点对应200,
/.A点对应的数为：
200-600=・400；
（2）设x秒时•Q在R右边时.恰好满足MR=4RN,
/.MR=（10+2）7
2
RN=^[600・（5+2）x]・
/.MR=4RN,
•••（10十2）x-?
=4xl[600-（5+2）x],
22
解得：
x=60：
•••60秒时怡好满足NfR=4RN；
（3）设经过的时间为y,
则PE=10y,QD-5y,
于是PQ点为[0・（・800）]+10y・5y=8OO+,y,一半则是型也，
2
所以AM点为：
8°°+5丫+5丫-400=芟*
22
又QC=20G+5y,所以驱・AM*（20^y）-聖为定值.
222
点讦；此题考查了一元一次方程的应用，根据己知得出各线段之间的关系等童关系是解题关键，此題阅读量较大应细心分析.
6.妇图1,己知点A、C、F、E、B为直线1上的点，且AB=12,CE=6,F为AE的中点.
（1）如图1,若CF=2,则BE=_4_,若CFth,BE与CF的数量关系是
（2）当点E沿宜线1向左运动至图2的位宣时，
（1）中BE与CF的数員关系是否仍然成立？
请说明理由.
（3）如图3,在
（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D,使得DD",且DF=3DE?
若存在，请求岀12匹值:
若不存在，请说明理由.
AC
F
SI
E
B
CAF
£
圉2
”
B
CAFj
ED
圉3
B
考点：
两点间的距离:
^-工口rrAf-^T中
兀
-次方桂的应用•
分析；
（1）先根据EF=CE-CF求出EF,再根据中点的定义求出AE,然后根据BE-AB-AE代入数据进行计算即可得解；根据BE、CF的长度写出数虽关系即可；
（2）根攥中点定文可得AE=2EF,再根BE=AB・AE整理即可得解；
（3）设DE=x,然后表示出DF、FF、CF>BF,然后代入BE=2CF求解得到x的值，再求岀DF、CF,计算即可得解.
解答：
解：
（1）VCE=6,CF=2,
/.EF=CE・CF=6・2=4・
IF为AE的中点，
・・・AE二2EF二2x48,
/.BE=AB・AE=12・8=4・
若CF=m・
则BE=2m,
BE=2CF：
（2）
（1）中BE=2CF仍然成立.
理由如下：
TF为AE的中点，
・・・AE=2EF,
BE=AB-AE,
=12-2EF,
=12・2（CE・CF）,
=12-2（6・CF）,
=2CF；
（3）存在.DF=3.
理由如下：
设DE=x,则DF=3x,
•\EF=2x,CF=6・x,BE=x+7,
由
（2）知：
BE=2CF,
•\x+7=2（6-x）,
解得,X二1,
/.DF=3,CF=5.
.••迦=6.
CF
点评：
本题考查了两点间的距齬，中点的定义，灌越识图，找岀图中各线段之间的关系并准确判断出BE的表示是解题的关键.
7.已知：
如图1,M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以lcm/s、3cm/s的速度沿貢线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AB=10cm,当点C.D运动了2s,求AC+MD的值.
（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC,直接填空：
AM二丄AB.
4—
（3）在
（2）的条件下，N是亘线AB±一点，且AN-BN=MN,求鹉的
ACMD
III
AAZB
值.
考点；比较线段的长短.
专題：
分类讨论.
分祈：
（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案：
（2）根据图形聞可盲接解符：
（3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时.②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数虽关系即可求解.
算答：
解：
（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm,BD=6cm
e/AB=10cn）,CM=2cm,BT）=6an
AC+MD-AB-CM・BD-10・2・6=2cm
（2）丄
4
（3）当点N在线段AB±时.如图
IIII
J\f.VB
TAN・BN=MN・又TAN・AM=NfN
••・BN二AM=」AB,•••MN=2aB,即型=1.
42AB2
当点N在线段AB的延长线上时，如图
.4A/3X
VAN-BN=MN,又TAN・BWAB
/.MN-AB,即翌二］.综上所述翌4或1
ABAB2
点讦：
本題考查求线段的长短的知识，有一定难度，关德是细心阅读题目，理清題意后再解答.
&己知数轴上三点M,O,N对应的数分别为・3,0,1,点P为数轴上汪意一点.其对应的数为X.
（1）如果点P到点M,点N的距离相等，那么x的值是・1；
（2）数轴上是否存在点P,使点P到点卜1,点N的距离之和是5?
若存在，请直接写出x的值：
若不存在，请说明理由.
（3）如果点P以每分钟3个单位长度対速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位七:
度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时岀发，那么几分钟时点P到点M,点N的聲离相等？
考点：
一元一次方程的应用：
数轴：
两点间的距蔑.
分析：
（1〉根据三点M,O,N对应的数•得出NM的中点为：
x=（-3+1）-2进而求出即可：
（2）根摇P点在N点右侧或在M点左侧分别求岀即可；
（3〉分别很掳①当点M和点N在点P同侧时，②当点和点N在点P两侧时求出即可.
解答：
解：
（1）VM,O,N对应的数分别为・3,0,I,点P到点M,点N的距离相等，
Ax的值是-1.
（2〉存在符合觊意的点P,
此时x=-3.5或1.5.
（3〉设运动t分钟时，点P对应的数是・3t.点M对应的数是-3・t,点N对应的数是l・4t.
1当点M和点N在点P同侧时，因为P\I=PN,所以点M和点N重合，
所以・3・（=1-4t,解得t」，符合迦意.
3
2当点M和点N在点P两侧时，有两种情况.
情况1：
如果点M在点N左侧，PM=・3t•（-3・t）=3・2t.PX=（1-4t）-（・3t）=1・t.
因为PM=PN,所以3・2t=l・t,
解得t=2.
此时点M对应的数是・5,点N对应的数是・7,点M在点N右侧，不符合輕意，舍去.情况2：
如果点M在点N右侧，PM=<・3t）・（1・4t）=2t・3.PN二・3t・（l+4t）=t・1・因为PM=PN,所以2t-3=t・1,
解得t=2.
此时点M对应的数是・5,点N对应的数是-7,点fd在点N右侧，符合题意.
综上所述，三点冋时出发，号分钟或2分钟时点P到点M,点N的距离相寻.故答案为：
~1.
点评：
此题主要考査了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据M.N位置的不同进行分类讨论得出是解题关
9.如图，已知数轴上点A表示的数为6,B是数紬上一点，且AB=10・动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数袖向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒.
<1）写出数轴上点B表示的数・4,点P表示的教6・&用含（的代数式表示九
（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时岀发，问点P运动多少秒时追上点R?
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点•点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？
若变化，请说明理由；若不变，请你匝岀图形，并求岀线段MN的长；
3Q』
06
考点：
数轴：
一元一次方程的应用；两点间的胚离.
专題：
方程思想.
分析：
（1）B点表示的数为6-10=・4；点P表示的数为6・6t；
（2〉点P运动X秒时，在点C处追上点R,然后建立方程6x・4x=10,解方程即可：
（3）分类讨论：
①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求岀MN.
輕答：
解：
（1）答案为•4,6-6t；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R（如图）
二S.2
0
贝!
JAC=6x,BC-4x,
VAC•BC-AB,.e.6x-4x=10,
解得:
x=5f
.••点P运动5秒时，在点C处追上点R.
（3）线段MN的长度不发生变化，都等于5.理由如下:
gMP+NP^AP咿吩（AP+BP〉
_—2上
②当点P运动到点B的左侧时：
PN"0
MN=MP・NP=-^AP・丄BP=-^（AP-BP）=^AB=5,
2222
・•・综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5.
点讦：
本题考査了数轴：
数轴的三夢素（正方向、原点和单位长度）.也考査了一元一次方程的应用以及数釉上两点之间的足巨离.
10・妇图，己知数轴上点A表示的数为6,B是数袖上一点，且AB二10,动点P从点A岀发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒.
<1）①写出教轴上点B表示的数-4,.占P表示的数6・6（（用含（的代数式表示〉；
②M为AP的中点，N为PB的中点•点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？
若变化，请说明理由:
若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；
（2）动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发.以每秒上个单位
3长度的速度沿数釉向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动.那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
BOA
・・»
06
考点：
一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离.
专題；动点型.
分析：
（1）①设B,点表示的数为X,根裾数雜上两点间的距离公式建立方程求岀其鲜.再根据数轴上点的运动就可以求出P点的坐标；
②分类讨论；当点P在点A、B两点之间运动时：
当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求岀MN；
<2）先求岀P、R从A、B岀发相遇时的时间，再求岀P、R相遇时P、Q之间剩余的路程的相遇时间，就可以求出P一共走的时间，由P的速度就可以求出P点行驶的路稈.
解答：
解：
（1）设B点表示的数为X.白題意.得
6・x=10.
x=・4
AB点表示的数为：
・4,
点P表示的数为:
6-6t；
②线段MN的长度不发生变化，都等于5.理由如下:
分两种情况；
当点P在点A、B两点之间运动时；
MN=NfP+NP—AP+-BP=-（AP+BP）—AB=5：
2222
当点P运动到点B的左侧时：
MN^NIP・NP」AP-丄BP」（AP・BP）」AB=5,
2222
・・・综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5.
（2）由題意得：
A1C；
P、R的相遇时间为：
10-（6+三）亠乩W11
P、Q剰余的路程为：
10・（理）
J1111
P、Q相遇的时间为：
普三（6+1）二ps,
•••P点走的路程为：
6x（普需）丄器
点评：
本题考查了数轴及数轴的三要素（正方向、原点和单位长度〕.一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离公式的运用，行程问題中的路程二速度%时间的运用.
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