46第四十六章 染色与覆盖问题.docx

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46第四十六章染色与覆盖问题

第四十六章染色与覆盖问题

概念

本讲我们将一起学习染色与覆盖。

而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。

而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。

通过将要解决的问题适当的染色，可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在经过一定的推理从而得到问题的答案。

具体介绍：

1、座位染色问题

分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上能否办到？

像这种问题我们该如何考虑呢？

直接一步一步操作吗？

很显然是很不现实的，那么有什么方法能让我们更直接的找到答案呢？

染色。

我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个数不相等，所以无法办到。

二、路径问题

分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。

所以我们按例1的方法，将9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。

因为从A格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A格出去又要回到A格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A格为白格，所以不可以。

三、结点问题

分析与路径问题相似，只不过我们这回染得不再是小格而是点，染成黑白相间的点。

我们会发现一共14个点，6个黑点8个白点，每次的路线仍是从黑点走到白点或者从白点走到黑点，所以若想每个点不重复的都走一遍的话必须黑白相等或相差1个，但本题黑白差2个，所以不可以。

四、一般覆盖

将这14个小格染成黑白相间的，那么7个相邻两方格应该是一黑一白的，所以如果能覆盖的话，14个格中的黑白格数应该是相等的，但图中有8个黑格，6个白格。

所以不可以。

5、特殊覆盖

分析因为每次有两个数同时加上或减去同一个数（假设次数为a），因此经过一次这样的操作后，相当于加上或减去了a的2倍，那么9个数总和就会多或者少偶数个数，也就是说9个数的总和为45，经过1次操作后总和加上或减去一个偶数后应该还是奇数，但表

（2）中的总和是4，所以不可能。

例题

1.如图29-1（a）,3行7列小方格每一个染上红色或蓝色.试证:

存在一个矩形,它的四个角上的小方格颜色相同.

2.（第2届全国部分省市初中数学通讯赛题）证明:

用15块大小是4×1的矩形瓷砖和1块大小是2×2的矩形瓷砖，不能恰好铺盖8×8矩形的地面.

3.（1986年北京初二数学竞赛题）如图29-4

（1）是4个1×1的正方形组成的“L”形，用若干个这种“L”形硬纸片无重迭拼成一个m×n（长为m个单位，宽为n个单位）的矩形如图29-4

（2）.试证明mn必是8的倍数.

4.（1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.

5. （1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:

无论怎样染,总存在同色三角形.

6. （第6届国际数学奥林匹克试题）有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:

至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.

7.（首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？

请证明你的结论.

8.对平面上一个点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种.证明:

平面内存在端点同色的单位线段.

9. 6×6的方格盘，能否用一块大小为3格，形如

的弯角板与11块大小为3×1的矩形板，不重迭不遗漏地来铺满整个盘面.

10. （第49届苏联基辅数学竞赛题）在两张1982×1983的方格纸涂上红、黑两种颜色，使得每一行及每一列都有偶数个方格是黑色的.如果将这两张纸重迭时，有一个黑格与一个红格重合，证明至少还有三个方格与不同颜色的方格重合.

11. 有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.

12. 如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？

为什么？

13. 设n=6（r-2）+3（r≥3），求证：

如果有n名科学家，每人至多会讲3种语言，每3名中至少有2名能通话，那么其中必有    r名能用同一种语言通话.

14. （1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.

15. （首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：

一定存在一个边长为1或

的正三角形，它三个顶点是同色的.

16.六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?

为什么？

17.右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.

（1）如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？

（2）某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？

为什么？

18.某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座（前后左右）上去，问这能否办到?

19.右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：

你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?

20.有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来？

21.在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图

（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋，行吗？

如果有80棵果树，如图

（2），连小屋排成九行九列呢？

22.右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马.众所周知，马是走“日”字的.请问：

这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？

23.右图是由14个大小相同的方格组成的图形.试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？

24.右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？

25.下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的.问：

能否把它们分别剪成1×2的七个小矩形.

26.用11个

和5个

能否盖住8×8的大正方形?

27.能否用9个

所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？

28.9个1×4的长方形不能拼成一个6×6的正方形，请你说明理由！

29.用若干个2×2和3×3的小正方形不能拼成一个11×11的大正方形，请你说明理由！

30.对于表

（1），每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表

（2）？

为什么？

31.右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上.开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘，每次可以转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：

经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？

32.有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份．应该怎样分？

33.有一位老人，他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说：

“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分.”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着：

“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得1/2,次子得1/3,给幼子1/9,不许流血，不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿！

”请你帮助他们分分马吧！

34.8个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）？

35.9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）？

36.据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁，这两个人有一只容量10斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油.要把这10斤油平分，每人5斤.但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去.应该怎样分呢？

37.大桶能装5千克油，小桶能装4千克油，你能用这两只桶量出6千克油吗?

怎么量？

38.有一个小朋友叫小满，他学会了韩信分油的方法，心里很是得意.一天，他遇到了两位农妇.两位农妇有两个各装满了10升奶的罐子，还有一个5升和一个4升的小桶，她们请求小满就用这些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入2升奶.小满按照韩信分油的方法，略加变通，就将奶分好了！

你说说具体的做法！

39.有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水

40.老师在黑板上画了9个点，要求同学们用一笔画出一条通过这9个点的折线（只许拐三个弯儿）．你能办到吗?

41.如右图所示，将1～12顺次排成一圈.如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置.例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置.问：

a是多少时，可以走到7的位置？

42.对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？

43.一只电动老鼠从左下图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。

当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯。

如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？

44.如图

（1），对相邻的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作.经过若干次操作后由1变成图2，则图2中A处的数是多少？

45.一个大桶装了12升水，另外有恰好能装8升和5升水的桶各一个.利用这三个桶最少倒几次才能把这12升水平均分成两份?

46.一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见右图）守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋.可以做到吗？

47.如右图，缺两格的8×8方格有62个格，能否用31个

图不重复地盖住它且不留空隙?

48.只有5升和8升的容器，要怎样量出2升的水呢?

49.下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。

现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？

50.用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？

51.用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方

法？

52.有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。

用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？

（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）

53.小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其余的送给别人。

他留下的四张票可以有多少种不同情况？

54.有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？

（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）

55.能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？

56.某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众，如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？

57.五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7个人。

新年到了，每个同学都准备了一个礼物送给自己前后左右相邻的某一个同学，那么有没有可能每个同学都刚好收到一个别人送的礼物？

58.有一次车展共4×4=16个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示，参观者能否从入口进去，不重复的参观完每个展室再从出口出来？

59.有一次车展共6×6=36个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示，参观者能否从入口进去，不重复的参观完每个展室再从出口出来？

60.有一次车展共5×5=25个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示，参观者能否从入口进去，不重复的参观完每个展室再从出口出来？

答案与解析

1.【分析与解】证明 由抽屉原则,第1行的7个小方格至少有4个不同色,不妨设为红色（带阴影）并在1、2、3、4列（如图29-1（b））.

在第1、2、3、4列（以下不必再考虑第5，6，7列）中，如第2行或第3行出现两个红色小方格，则这个问题已经得证；如第2行和第3行每行最多只有一个红色小方格（如图29-1（c）），那么在这两行中必出现四角同为蓝色的矩形，问题也得到证明.

说明：

（1）在上面证明过程中除了运用抽屉原则外，还要用到一种思考问题的有效方法，就是逐步缩小所要讨论的对象的范围，把复杂问题逐步化为简单问题进行处理的方法.

（2）此例的行和列都不能再减少了.显然只有两行的方格盘染两色后是不一定存在顶点同色的矩形的.下面我们举出一个3行6列染两色不存在顶点同色矩形的例子如图29-2.这说明3行7列是染两色存在顶点同色的矩形的最小方格盘了.至今,染k色而存在顶点同色的矩形的最小方格盘是什么还不得而知.

2.【分析与解】分析 将8×8矩形地面的一半染上一种颜色，另一半染上另一种颜色，再用4×1和2×2的矩形瓷砖去盖，如果盖住的两种颜色的小矩形不是一样多，则说明在给定条件不完满铺盖不可能.

证明 如图29-3，用间隔为两格且与副对角线平行的斜格同色的染色方式，以黑白两种颜色将整个地面的方格染色.显然，地面上黑、白格各有32个.

每块4×1的矩形砖不论是横放还是竖盖，且不论盖在何处，总是占据地面上的两个白格、两个黑格，故15块4×1的矩形砖铺盖后还剩两个黑格和两个白格.但由于与副对角线平行的斜格总是同色，而与主对角线平行的相邻格总是异色，所以，不论怎样放置，一块2×2的矩形砖，总是盖住三黑一白或一黑三白.这说明剩下的一块2×2矩形砖无论如何盖不住剩下的二黑二白的地面.从而问题得证.  

3.【分析与解】证明∵m×n矩形由“L”形拼成，∴m×n是4的倍数，∴m、n中必有一个是偶数，不妨设为m.把m×n矩形中的m列按一列黑、一列白间隔染色（如图29-4

（2）），则不论“L”形在这矩形中的放置位置如何（“L”形的放置，共有8种可能），“L”形或占有3白一黑四个单位正方形（第一种），或占有3黑一白四个单位正方形（第二种）.

设第一种“L”形共有p个，第二种“L”形共q个，则m×n矩形中的白格单位正方形数为3p+q，而它的黑格单位正方形数为p+3q.

∵m为偶数，∴m×n矩形中黑、白条数相同，黑、白单位正方形总数也必相等.故有3p+q=p+3q，从而p=q.

所以“L”形的总数为2p个，即“L”形总数为偶数。

所以m×n一定是8的倍数. 

4.【分析与解】我们不直接证明这个命题，而来看与之等价的下述命题

5.【分析与解】证明 设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.

如果将例4中的六个人看成例5中六点,两人认识的连红线,不认识的连蓝线,则例4就变成了例5.例5的证明实际上用染色方法给出了例4的证明.

6.【分析与解】证明 用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形.

考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.

上述三例同属图论中的接姆赛问题.在图论中,将n点中每两点都用线段相连所得的图形叫做n点完全图,记作kn.这些点叫做“顶点”，这些线段叫做“边”.现在我们分别用图论的语言来叙述例5、例6.

定理1 若在k6中，任染红、蓝两色，则必有一只同色三角形.

定理2 在k17中,任染红、蓝、黄三角，则必有一只同色三角形.

7.【分析与解】证明 将1986×2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个.

现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点.于是993个偶数，占据白点A1=993个，黑色B1=993个.

993个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中

a+b=993.

因此，共占白色

A=A1+A2=993+2a个.

黑点

B=B1+B2=993+2b个，

由于

a+b=993（非偶数！

）

∴a≠b，从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾.

故这种排法不可能.

“点”可以是有限个，也可以是无限个，这时染色问题总是与相应的几何问题联系在一起的.

8.【分析与解】证明 作出一个如图29-7的几何图形是可能的,其中△ABD、△CBD、△AEF、△GEF都是边长为1的等边三角形，CG=1.不妨设A点是红色，如果B、E、D、F中有红色，问题显然得证.当B、E、D、F都为蓝点或黄点时，又如果B和D或E和F同色，问题也得证.现设B和D异色E和F异色,在这种情况下,如果C或G为黄色或蓝点,则CB、CD、GE、GF中有两条是端点同色的单位线段，问题也得证.不然的话,C、G均为红点，这时CG是端点同色的单位线段.证毕.

还有一类较难的对区域染色的问题，就不作介绍了.

9.【分析与解】将１、４行染红色、２、５行染黄色、３、６行染蓝色，然后就弯角板盖住板面的不同情况分类讨论．

10.【分析与解】设第一张纸上的黑格Ａ与第二张纸上的红格Ａ′重合．如果在第一张纸上Ａ所在的列中，其余的黑格（奇数个）均与第二张纸的黑格重合，那么由第二张纸上这一列的黑格个数为偶数，知必有一黑格与第一张纸上的红格重合，即在这一列，第一张纸上有一方格Ｂ与第二张纸上不同颜色的方格Ｂ′重合．同理在Ａ、Ｂ所在行上各有一个方格Ｃ、Ｄ，第二张纸上与它们重合的方格Ｃ′、Ｄ′的颜色分别与Ｃ、Ｄ不同．

11.【分析与解】把９名数学家用点Ａ１，Ａ２，…，Ａ９表示．两人能通话，就用线连结，并涂某种颜色，以表示不同语种。

两人不通话，就不连线．

（１）果任两点都有连线并涂有颜色，那么必有一点如Ａ１，以其为一端点的８条线段中至少有两条同色，比如Ａ１Ａ２、Ａ１Ａ３．可见Ａ１，Ａ２，Ａ３之间可用同一语言通话．②如情况①不发生，则至少有两点不连线，比如Ａ１、Ａ２．由题设任三点必有一条连线知，其余七点必与Ａ１或Ａ２有连线．这时七条线中，必有四条是从某一点如Ａ１引出的．而这四条线中又必有二条同色，则问题得证．

12.【分析与解】结论不成立，如图所示（图中每条线旁都有一个数字，以表示不同语种）．

13.【分析与解】类似于第11题证明．

14.【分析与解】用点Ａ１、Ａ２、…、Ａ１００表示客人，红、蓝的连线分别表示两人相识或不相识，因为由一个顶点引出的蓝色的线段最多有３２条，所以其中至少有三点之间连红线．这三个点（设为Ａ１、Ａ２、Ａ３）引出的蓝色线段最多为９６条．去掉所有这些蓝色的线段（连同每条线段上的一个端点ＡＩ，Ｉ≠１，２，３），这样，在图中至少还剩下四个点，除Ａ１、Ａ２、Ａ３外，设第四点为Ａ４，这四个点中Ａ１，Ａ２，Ａ３每一个点与其它的点都以红色的线段相连，于是客人Ａ１、Ａ２、Ａ３、Ａ４彼此两两相识．

15.【分析与解】先利用右图证明＂若平面上有两个异色的点距离为２，地么必定可以找到符合题意的三角形＂．再找长为２端点异色的线段．以Ｏ（白色）为圆心，４为半径作圆．如圆内皆白点，问题已证．否则圆内有一黑点Ｐ，以ＯＰ为底作腰长为２的三角形ＯＰＲ，则Ｒ至少与Ｏ、Ｐ中一点异色，这样的线段找到．

16.【分析与解】划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到．

17.【分析与解】

（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中.

（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.

18.【分析与解】将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．

19.【分析与解】如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑,