三年级数学思维训练上.docx
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三年级数学思维训练上
第一讲和倍问题
(一)知识要点
和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系,求大小两个数的应用题。
此类题我们常采用画线段图的方法解答。
解答此类题首先要找倍数关系,通过倍数关系画出线段图,然后在图上根据题意标出俩个数的倍数与俩个数的和。
于是根据图产生这样的思路:
相对小的数自己是自己的一倍,而相对大的数是相对小的数的几倍,当然俩个数相等时这个几就是1),那么就有大数和小数的和就是小数的几+1倍,又因为大数和小数的和已知,于是这个题就变成了一个简单的,已知一个数和这个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题。
从而可以求出相对较小的也就是自己是自己一倍的数,我们简称为1倍数.
(二)例题选讲
例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?
[精妙解答]
160÷(3+1)=40(本)-------作为一倍数的乙班的
40×3=120(本)----------根据题意关系求的甲班的
或者:
160-40=120(本
答:
甲班有图书120本,乙班有图书40本
例2甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发,相向而行,2时后两车相遇。
已知甲车的速度是乙车速度的2倍。
甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米?
[精彩思路]
已知甲车速度是乙车速度的2倍,所以“1倍”数是乙车的速度。
现只需知道甲、乙汽车的速度和,就可用“和倍公式”了。
由题意知两辆车2时共行360千米,故1时共行360÷2=180(千米),这就是两辆车的速度和。
[精妙解答]
乙车的速度为
(360÷2)÷(2+1)=60(千米/时),
甲车的速度为
60×2=20(千米/时),或180-60=120(千米/时)。
答:
甲车每时行120千米,乙车每时行60千米。
从上面两道例题看出,用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数(即小数)是谁,“和”是谁。
例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显,其中例2中虽未直接给出“和”,但也很容易求出。
下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子。
例3甲队有45人,乙队有75人。
甲队要调入乙队多少人,乙队人数才是甲队人数的3倍?
[精彩思路]
容易求得“二数之和”为45+75=120(人)。
如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了,从75不是45的3倍也知是错的。
这个“1倍”数是谁?
根据题意,应是调动后甲队的剩余人数。
倍数关系也是调动后的人数关系,即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。
由此画出线段图如下:
从图中看出,把甲队中“?
”人调入乙队后,
(45+75)就是甲队剩下人数的3+1=4(倍)。
从而,甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。
由和倍公式可以求解。
[精妙解答]
甲队调动后剩下的人数为
(45+75)÷(3+1)=30(人),故甲队调入乙队的人数为45-30=15(人)。
答:
甲队要调15人到乙队。
例4妹妹有书24本,哥哥有书53本。
要使哥哥的书是妹妹的书的6倍,妹妹应给哥哥多少本书?
仿照例3的分析可得如下解法。
[精妙解答]
兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(6+1)倍,根据和倍公式,妹妹剩下
(53+24)÷(6+1)=11(本)。
故妹妹给哥哥书24-11=13(本)。
答:
妹妹给哥哥书13本。
例5大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。
后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个,而小灰兔自己又采了10个。
这时,大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。
问:
原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇?
[精彩思路及解答]
这道题仍是和倍应用题,因为有“和”、有“倍数”。
但这里的“和”不是160,而是160-20+10=150,“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。
线段图如下:
根据和倍公式,小灰兔现有蘑菇(即“1倍”数)
(160-20+10)÷(5+1)=25(个),
故小灰兔原有蘑菇25-10=15(个),大白兔原有蘑菇
160-15=145(个)。
答:
原来大白兔采蘑菇145个,小灰兔采15个。
练习
[初试牛刀]
1.小敏与爸爸的年龄之和是64岁,爸爸的年龄是小敏的3倍。
小敏和她爸爸的年龄各是多少岁?
2.一肉店卖出猪肉和牛肉共560千克,卖出的猪肉是卖出的牛肉的4倍。
猪、牛肉各卖了多少千克?
3.甲、乙两桶汽油共84千克。
如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克,那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。
甲、乙两桶原有汽油各多少千克?
[挑战自我]
1.甲、乙两人共生产零件100个,其中甲有2个零件、乙有5个零件不合格。
已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。
甲、乙各生产了多少个零件?
2.团结村原有水田290公顷,旱田170公顷。
要把多少公顷旱田改为水田,才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2倍?
3.红星小学图书馆内,科技书是故事书的3倍,连环画书又是科技书的2倍。
已知这三种书共有1600本,那么每种书各有多少本?
第二讲还原问题
(三)知识要点
对于有些问题,当顺着题目条件的叙述去寻找解法时,往往有一定的困难,但是,如果改变思考顺序,从问题叙述的最后结果出发,一步一步倒着思考,一步一步往回算,原来加的用减,减的用加,原来乘的用除,除的用乘,那么问题便容易解决。
这种解题方法叫做还原法或逆推法,用还原法解题的问题叫做还原问题。
(四)例题选讲
例1有一个数,把它乘以4以后减去46,再把所得的差除以3,然后减去10,最后得4。
问:
这个数是几?
[精彩思路]
这个问题是由(□×4—46)÷3—10=4,
求出□。
我们倒着看,如果除以3以后不减去10,那么商应该是4+10=14;如果在减去46以后不除以3,那么差该是14×3=42;可知这个数乘以4后的积为42+46=88,因此这个数是88÷4=22。
[精妙解答]
[(4+10)×3+46]÷4=22。
答:
这个数是22。
例2小马虎在做一道加法题目时,把个位上的5看成了9,把十位上的8看成了3,结果得到的“和”是123。
问:
正确的结果应是多少?
[精彩思路]
利用还原法。
因为把个位上的5看成9,所以多加了4;又因为把十位上的8看成3,所以少加了50。
在用还原法做题时,多加了的4应减去,多减了的50应加上。
[精妙解答]
123-4+50=169。
答:
正确的结果应是169。
例3学校运来36棵树苗,乐乐与欢欢两人争着去栽,乐乐先拿了若干树苗,欢欢看到乐乐拿得太多,就抢了10棵,乐乐不肯,又从欢欢那里抢回来6棵,这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。
问:
最初乐乐拿了多少棵树苗?
[精彩思路]
先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。
学校共有树苗36棵,乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍,所以欢欢现在拿了36÷(2+1)=12(棵)树苗,而乐乐现在拿了12×2=24(棵)树苗,乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵,如果不抢,那么乐乐有树苗24-6=18(棵),欢欢看乐乐拿得太多,去抢了10棵,如果欢欢不抢,那么乐乐就有18+10=28(棵)。
[精妙解答]
36÷5(1+2)×2-6+10=28(棵)。
答:
乐乐最初拿了28棵树苗。
例4甲、乙、丙三组共有图书90本,乙组向甲组借3本后,又送给丙组5本,结果三个组拥有相等数目的图书。
问:
甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书?
[精彩思路及解答]
尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去,但图书的总数90本没有变,由最后三个组拥有相同数目的图书知道,每个组都有图书90÷3=30(本)。
根据题目条件,原来各组的图书为
甲组有30+3=33(本),
乙组有30—3+5=32(本),
丙组有30—5=25(本)。
例5、一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原有多少米?
[精彩思路]
由逆推法知,第二次用完还剩下15+7=22(米),第一次用完还剩下(22—10)×2=24(米),原来电线长(24+3)×2=54(米)。
[精妙解答]
[(15+7—10)×2+3]×2=54(米)。
答:
这捆电线原有54米。
练习
[初试牛刀]
1.某数加上11,减去12,乘以13,除以14,其结果等于26,这个数是多少?
2.某数加上6,乘以6,减去6,其结果等于36,求这个数。
3.在125×□÷3×8—1=1999中,□内应填入什么数?
4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100。
问:
小乐爷爷今年多少岁?
[挑战自我]
1.粮库内有一批面粉,第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半少7吨,还剩4吨。
问:
粮库里原有面粉多少吨?
2.有一筐梨,甲取一半又一个,乙取余下的一半又一个,丙再取余下的一半又一个,这时筐里只剩下一个梨。
这筐梨共值8.80元,那么每个梨值多少钱?
3.某人去银行取款,第1次取了存款的一半还多5元,第二次取了余下的一半还多10元,这时存折上还剩125元。
问:
此人原有存款多少元?
第三讲巧求长方形、正方形的周长
(一)知识要点
我们知道:
长方形、正方形的公式看起来十分简单,但用途却十分广泛。
用它们可以解决许多直角多边形(所有的角都是直角的多边形)的周长问题。
这是因为直角多边形总可以分割成若干个正方形或长方形。
下面的图形都可以分割成若干个正方形或长方形,当然分割的方法不是唯一的。
由此,可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长计算公式的题目。
(二)例题选讲
例1一个苗圃园(如左下图),周边和中间有一些路供人行走(图中线段表示“路”),几个小朋友在里面观赏时发现:
从A处出发,在速度一样的情况下,只要是按“向右”、“向上”方向走,几个人分头走不同的路线,总会同时达到B处。
你知道其中的道理吗?
分析与解:
如右上图所示,将各个交点标上字母。
由A处到B处,按“向右”、“向上”方向走,只有下面六条路线:
(1)A→C→D→E→B;
(2)A→C→O→E→B;
(3)A→C→O→F→B;
(4)A→H→G→F→B;
(5)A→H→O→E→B;
(6)A→H→O→F→B。
因为A→C与H→O,G→F的路程一样长,所以可以把它们都换成A→C;同理,将O→E,F→B都换成C→D;将A→H,C→O都换成D→E;将H→G,O→F都换成E→B。
这样换过之后,就得到六条路线的长度都与第
(1)条路线相同,而第
(1)条路线的长“AD+DB”就是长方形的“长+宽”,也就是说,每条路线的长度都是“长+宽”。
路程、速度都相同,当然到达B处的时间就相同了。
例2计算下列图形的周长(单位:
厘米)。
解:
(1)将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见左下图),这样正好移补成一个正方形,所以它的周长为25×4=100(厘米)。
(2)与
(1)类似,可以移补成一个长方形,周长为
(10+15)×2=50(厘米)。
[
例3求下面两个图形的周长(单位:
厘米)。
解:
(1)与例2类似,可以移补成一个长(15+10+15)厘米、宽(12+20)厘米的长方形,所以周长为
(15+10+15)×2+(12+20)×2=144(厘米)。
(2)设想先把长20厘米的线段向上平移到两条长15厘米的线段中间,构成一个长60厘米,宽(15+20+15)厘米的长方形,此时,还有两条长35厘米的竖线段。
所以周长为
60×2+(15+20+15)×2+35×2=290(厘米)。
例4在一张纸上画出由四个边长为3厘米的正方形拼凑或组合成的图形(重叠的线段只算画一次)。
显然,这个图形有多种多样的画法,下列各图是其中的一部分画法。
在所有的这些画法中,
(1)哪种画法画出的线段总长最长?
有多长?
(2)哪种画法画出的线段总长最短?
有多长?
分析与解:
画的线段重叠部分越少,画的线段就越长。
反之,重叠部分越多,画的线段就越短。
因此,类似图1那样画的线条最长,共画了
3×4×4=48(厘米)。
右图画的线条最短,共画了
(3+3)×6=36(厘米)。
例5下图是一个方形螺线。
已知两相邻平行线之间的距离均为1厘米,求螺线的总长度。
分析与解:
如
左下图所示,按箭头方向转动虚线部分,于是得到了三个边长分别为3,5,7厘米的正方形和中间一个三边图形(见右下图)。
所以螺线总长度为
(3+5+7)×4+1×3=63(厘米)。
(三)练习
1.试求左下图的周长(单位:
厘米)。
2.上页右下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形。
试求出其周长。
3.右图是某小学教学楼的平面示意图,设计者在图上只标明了三条线段的长度(单位:
米)。
请你算出它的周长。
4.下图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形。
求这个图形的周长。
5.下面两图中的小方格的大小相同。
图
(1)的周长为48厘米,图
(2)的周长等于多少?
6.如右图所示,一个正方形被分成了三个相同的长方形。
如果其中一个长方形的周长是16米,那么这个正方形的周长是多少米?
(四)参考答案
1、移动成长3+5+4、宽6+7的长方形,所以周长=(12+13)*2=50
2、移动成5+1的长方形,没有宽、长为4的长方形,再加上4段边。
(5+1)*2+2*4+4=24
3、移动成长50、宽28+16的长方形,所以周长=(50+28+16)*2=188
4、移动成长4*3+5*3、宽5的长方形,再加上6个(5-3)
所以(12+15+5)*2+6*2=76
5、图一移动成长5宽3的长方形,周长段为(5+3)*2=16,周长为48,每段为48/16=3,图二移动后为(7+1)*2+4=20,每段为3,共60。
6、把长方形的宽看作一份,长为3份。
一个长方形的周长是8份,8份是16,1份是2,3份是6,正方形的周长是6*4=24
第四讲图形计数
(五)知识要点
小朋友,你想学会数图形的方法吗?
要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形……那就必须要有次序、有条理地数,从中发现规律,以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数,关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么,有多少个,然后再数出由基本图形组成的新的图形,并求出它们的和。
(六)例题选讲
例题1数出下面图中有多少条线段?
[精彩思路]
我们可以采用以线段左端点分数数的方法,我们还可以把图中线段AB、BC、CD看作基本线段来数,
[精妙解答]
采用以线段左端点分数数的方法。
以A点为左端点的线段有:
AB、AC、AD共3条;
以B点为左端点的线段有:
BC、BD共2条;
以C点为左端点的线段有:
CD共1条。
所以,图中共有线段3+2+1=6条。
我们还可以这样想:
把图中线段AB、BC、CD看作基本线段来数,那么:
由1条基本线段构成的线段:
AB、BC、CD共3条;
由2条基本线段构成的线段:
AC、BD共2条;
由3条基本线段构成的线段:
AD只1条。
所以,图中共有3+2+1=6条线段。
例题2数出下图中有几个角。
[精彩思路]
数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
[精妙解答]
以AO为一边的角有:
∠AOB、∠AOC、∠AOD三个;
以BO为一边的角有:
∠BOC、∠BOD两个;
以CO为一边的角有:
∠COD一个。
所以图中共有3+2+1=6个角。
小朋友,如果把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看作基本角,那应该怎样数呢?
动动脑筋。
例题3数出下面图中共有多少个三角形。
[精彩思路]
数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数,还可以数出图中三角形的个数,只需数出△ABE的底边中包含几条线段就可以了。
[精妙解答]
数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。
以AB为边的三角形有:
△ABC、△ABD、△ABE三个;
以AC为边的三角形有:
△ACD、△ACE二个;
以AD为边的三角形有:
△ADE一个。
所以图中共有三角形3+2+1=6个。
我们还发现,要数出图中三角形的个数,只需数出△ABE的底边中包含几条线段就可以了,即3+2+1=6条。
所以图中共有6个三角形。
例题4数出下图中有多少个长方形。
[精彩思路]
数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样,长方形是由长宽两对线段围成,线段CD上有3+2+1=6条线段,其中每一条与AC中一条线段对应,分别作为长方形的长和宽,这里共有6×1=6个长方形;而AC上共2+1=3条线段也就有6×3=18个长方形。
[精妙解答]
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
6×3=18(个)长方形
例题5有10个小朋友,每2个人照一张合影,一共要照多少张
[精彩思路]
这道题可以用数线段的方法来解答。
根据题意,画出线段图,每一个点代表一个小朋友:
从图上可以看出,第1个小朋友要与其余9个小朋友合影,要照9张照片;第2个小朋友还要与其余8个小朋友合影,再照8张照片……以此类推,第9个小朋友只要再与1个小朋友合影,再照1张照片。
[精妙解答]
一共要照9+8+7+6+5+4+3+2+1=45张照片。
练习
[初试牛刀]
1,数出下图中各有多少条线段?
2,数出下图中有几个角。
3、数出下面图中共有多少个三角形。
4、数出下图中有多少个长方形。
[挑战自我]
1,三年级有6个班,每两个班要比赛拔河一次,这样一共要组织多少场比赛?
2,有红、黄、蓝、白四只气球,如果每两只气球扎成一束,共有多少种不同的扎法?
3,有1——6六个数字,能组成多少个不同的两位数?
[参考答案]
[初试牛刀]
1、⑴4+3+2+1=10(条)
⑵5+4+3+2+1=15(条)
2、1+2+3=6(条)
3、⑴1+2=3(个)
⑵1+2+3+4=10(个)
4、⑴(1+2+3+4)×(1+2)=30(个)
⑵(1+2+3+4)×(1+2+3)=60(个)
[挑战自我]
1、假设班号为①、②、③、④、⑤、⑥。
①班和其他班比赛的场次是:
①②、①③、①④、①⑤、①⑥,5场;
②班因为已经和①班比赛过,不能重复计算,还可以比赛的场次是:
②③、②④、②⑤、②⑥,4场;
同理,③班还可以比赛的场次是:
③④、③⑤、③⑥,3场;
同理,④班还可以比赛的场次是:
④⑤、④⑥,2场;
同理,⑤班还可以比赛的场次是:
⑤⑥,1场
共计:
5+4+3+2+1=15(次)
2、可以扎的方法:
红黄、红蓝、红白、黄蓝、黄白、黄、蓝白。
共计:
3+2+1=6(种)
3、1可以和其他5个数组成5种:
12、13、14、15、16;
2可以和其他4个数组成4种:
23、24、25、26;
3可以和其他3个数组成3种:
34、35、36;
4可以和其他2个数组成2种:
45、46;
5可以和其他1个数组成1种:
56。
与前面题目类型不同的是,这两个数可以颠倒,比如1、2,可以组成12或者21。
此题共有:
(5+4+3+2+1)×2=30(种)
第五讲和差问题
(一)知识要点
和差问题是小学数学常见的一种应用题,它在日常生活中应用很广泛,解题的关键在于找出题目中的和与差,再利用以下的数量关系式去解答,就显得容易了。
(和+差)÷2=较大的数;(和-差)÷2=较少的数
或和-较大的数=较少的数;和-较少的数=较大的数
(二)例题选讲
[精彩思路]
[精妙解答]
(1)3△2=(3+2)÷2=2.5
[精妙思路]
[精妙解答]
[精彩思路]
[精妙解答]
[精彩思路]
[精妙解答]
[精妙思路]
[精妙解答]
练习
[初试牛刀]
1、学校做扫除,张娟和陈芳一共擦玻璃31块,又知张娟比陈芳少擦9块,张娟、陈芳各擦玻璃多少块?
2、小兰期末考试时语文和数学平均分是96分,数学比语文多4分,问小兰语文多少分?
数学多少分?
3、今年弟弟16岁,哥哥20岁,当两人的年龄和是52时,弟弟多少岁。
4、一个两位数由两个数字组成,两个数字之和是8,两个数字之差是2,这个数是多少?
[挑战自我]
1、甲框里有苹果30千克,乙框里有桔子若干千克,如果从乙框里取出12千克桔子,苹果就比桔子多10千克,乙框原有桔子多少千克。
2、甲乙两船共载客623人,若甲船增加34人,乙船少57人,这时两船乘客同样多,甲船原来有乘客多少人。
3、无线电厂、二厂共有工人864人,为了照顾工人就近上班,从一厂调入二厂32名工人,这样一厂工人数还比二厂多48,一厂、二厂原来各有工人多少人?
4、一部书有上、中、下三册,上册比中册贵5角,中册比下册贵7角,这样的四部书共值340角,上、中、下册多少角?
5、两筐苹果共重90千克,如果从第一框中取出6千克,放入第二筐后,两筐的重量相等,两筐苹果原来各多少千克?
6、两个水桶共盛水50千克,如果把第一桶里的水倒出6千克,两个水桶的水就一样多了。
第一桶原盛水多少千克?
[参考答案]
[初试牛刀]
1、陈芳;(31÷9)÷2=20(块)张娟;20-9=11块
2、数学(96×2+4)=98分语文98-4=94分
3、弟弟【52-(20-16)】÷2=24岁
4、(8+2)÷2=55-2=3
[挑战自我]
1、30-10+12=32千克
2(623+34-57)÷2=266
3、一厂;(864+48)÷2+32=488人
二厂;864-488=376人
4、上;(342+5+5+7)÷3=119角
中;119-5=114角
下;114-7=107角
5、90÷2-6=39(千克)90-39=51(千克)
答;第一筐有51千克,第二筐有39千克
6、(50-6)÷2=22(千克)50-22=28(千克)
答;第一桶原盛水28千克。
第六讲余数问题
(七)知识要点
在三年级上期的学生开始初步接触有余数的除法,知道了余数必须比除数小,余数是余下的不能够再分(整数)的数。
尽管学生初次接触,但余数这个概念在数学上有着非常重要的地位,故在此进行一些拓展。
这里,主要介绍一些在整数范围内的余数问题。
1、利用直观体验的方法,使学生会观察、学会深入思考问题,从中领悟如何利用余数解决一些有关余数的实际问题,提高学生学习的能力,激发学生进一步学习数学的兴趣。
2、弄清一些数量关系:
被除数÷除数=商……余数;商×除数+余数=被除数;进一步弄清余数的两个性质:
两个数相除,余数一定小于除数;两个数