高考数学总复习立体几何专项训练附解析.docx

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高考数学总复习立体几何专项训练附解析

2020高考数学总复习——立体几何专项训练（附解析）

空间几何体的结构特征、表面积与体积

[基础保分练]

1．给出下列4个命题：

①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；

②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；

③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；

④长方体一定是正四棱柱．

其中真命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

2．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为（　　）

A.πB.πC.πD.π

3．用平面α截球O所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（　　）

A.πB．4π

C．4πD．6π

4.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为（　　）

A.B.

C.D.

5．给出下列4个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中真命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

6．设三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B－APQC的体积为（　　）

A.VB.VC.VD.V

7．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

A.B.C.D．2π

8．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为（　　）

A．2B.C.D．3

9.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________cm.

10．已知圆柱M的底面半径与球O的半径相同，且圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比V圆柱∶V球＝________.

[能力提升练]

1．圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为（　　）

A．（＋1）πB．4π

C．3πD．5π

2．已知三棱锥P—ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为（　　）

A.B．2C.D．2

3．（2019·珠海摸底）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面△PAB，C为PA中点，PA＝4，PO＝6，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为（　　）

A．2B．2

C．6D．2

4．（2019·湛江调研）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝AC＝，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（　　）

A.B.C.D．8π

5．已知正四面体P－ABC的棱长为2，若M，N分别是PA，BC的中点，则三棱锥P－BMN的体积为________．

6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，线段EF，GH分别在AB，CC1上移动，且EF＋GH＝，则三棱锥F－HGE的体积最大值为________．

答案精析

基础保分练

1．A　2.C　3.B　4.A　5.B　6.C　7.C　8.C　9.4　10.

能力提升练

1．C　[∵圆锥的轴截面是边长为2的正△ABC，

∴圆锥的底面半径r＝1，

母线长l＝2，

表面积S＝πr2＋×2πr×l＝π＋2π＝3π.]

2．B　[取AB的中点O1，连接OO1，如图，

在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，所以OA＝2，所以OO1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为PB＝2OO1＝2.]

3．A　[先作出圆锥的侧面展开图如图所示，

由题得圆锥底面圆的半径为＝2，

所以AA1＝2π·2＝4π，

所以∠APA1＝＝π，

所以∠APB＝，

所以BC＝＝2.]

4．B　[根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1，小圆的圆心为Q，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ＝，∴DQ＝4，设球心为O，半径为R，则在Rt△AQO中，OA2＝AQ2＋OQ2，即R2＝12＋（4－R）2，∴R＝，则这个球的表面积为S＝4π2

＝.]

5.

解析　连接AN，作MD⊥PN，交PN于D，

∵正四面体P－ABC的棱长为2，M，N分别是PA，BC的中点，

∴AN⊥BC，PN⊥BC，MN⊥AP，且AN＝PN＝，

∵AN∩PN＝N，AN，PN⊂平面PNA，

∴BC⊥平面PNA，

∵MD⊂平面PNA，∴MD⊥BC，

∵BC∩PN＝N，BC，PN⊂平面PBN，

∴MD⊥平面PBN，

MN＝＝，

∵PN·MD＝PM·MN，

∴MD＝＝＝，

∴三棱锥P－BMN的体积

VP－BMN＝VM－PBN＝×S△PBN×MD＝××1××＝.

6.

解析　连接CE，CF，C1E，C1F，HE，HF，GE，GF，

设EF＝m，GH＝n（m>0，n>0），

则m＋n＝.

因为S△HGE∶S△C1CE＝n∶2，

所以V三棱锥F－HGE∶

＝n∶2.

又因为

＝

＝×2××2×m＝m，

所以V三棱锥F－HGE＝mn.

因为m＋n＝，

所以m·n≤＝，

故V三棱锥F－HGE≤

.

空间点、线、面的位置关系

[基础保分练]

1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（　　）

A．一定平行B．一定相交

C．一定是异面直线D．一定垂直

2．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.

①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；

②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；

③若a∥b，则必有a∥c；

④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.

其中正确的命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

3．已知E，F，G，H是空间内四个点，条件p：

E，F，G，H四点不共面，条件q：

直线EF和GH不相交．则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4.如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是BD的中点，直线AC1与平面A1BD相交于点M，则下列结论正确的是（　　）

A．A1，M，O三点共线

B．A，O，M，A1不共面

C．A1，M，C1，O不共面

D．B1，B，O，M共面

5.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（　　）

A．EF与GH平行

B．EF与GH异面

C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

D．EF与GH的交点M一定在直线AC上

6．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　）

A.B.C.D.

7.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，QM∥BD，则下列命题中，错误的是（　　）

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（　　）

A．直线AA1

B．直线A1B1

C．直线A1D1

D．直线B1C1

9．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．

10．给出下列四个说法：

①经过三点确定一个平面；

②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

其中正确说法的是________．（填序号）

[能力提升练]

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（　　）

A．不存在B．有且只有两条

C．有且只有三条D．有无数条

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的平面被正方体所截得的图形是（　　）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

3．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（　　）

A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）

4．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（　　）

5．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________.

6.如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

答案精析

基础保分练

1．D　2.C　3.A　4.A　5.D　6.A　7.C

8．D　9.5　10.②③

能力提升练

1．D　[如图所示，在EF上任意取一点M，

则直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点．]

2．D　[如图所示，连接QP并延长与CB的延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE，

则PE，RE为截面的两条边．作RG∥PQ交C1D1于G，

同理延长PQ交CD的延长线于N，连接NG交DD1于F，连接QF.

故截面为六边形PQFGRE.]

3．A　[此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，易知a大于0且小于.]

4．D　[A，B，C中四点一定共面，D中四点不共面．]

5．8

解析　观察知，直线CE与正方体的前后左右四个面所在的平面相交，所以m＝4；直线EF与正方体的上下前后四个面所在的平面相交，所以n＝4.

所以m＋n＝8.

6.

解析　如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.

∵M为AD的中点，

∴MK∥AN，

∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．

∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，

由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，

∴MK＝.

在Rt△CKN中，CK＝

＝.

在△CKM中，由余弦定理，得

cos∠KMC＝＝.

平行的判定与性质

[基础保分练]

1．若a，b表示直线，α表示平面，且b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，H，G分别为BC，CD的中点，则（　　）

A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形

3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）

A．①③B．②③C．①④D．②④

4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（　　）

A．不存在B．有1条

C．有2条D．有无数条

5．下列说法正确的是（　　）

A．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β

B．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β

C．若两直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2

D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α

6．有下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；

④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．

其中真命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

7．直线a∥平面α，则a平行于平面α内的（　　）

A．一条确定直线B．所有直线

C．无数条平行直线D．任意一条直线

8．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（　　）

A．只有一条，不在平面α内

B．只有一条，且在平面α内

C．有无数条，不一定在平面α内

D．有无数条，一定在平面α内

9．如图所示是某长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

第9题图　　　　　　　第10题图

10．如图是一个正方体的表面展开图，B，N，Q都是所在棱的中点，则在原正方体中有以下命题：

①AB与CD相交；②MN∥PQ；③AB∥PE；

④MN与CD异面；⑤MN∥平面PQC.其中为真命题的是________．（填序号）

[能力提升练]

1．下列说法中正确的是（　　）

①如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．

A．①②③B．①③C．②③D．①②

2．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是（　　）

3．已知直线a，b异面，给出以下命题：

①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；

②一定存在平行于a的平面α使b∥α；

③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；

④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．

则其中正确的命题是（　　）

A．①④B．②③C．①②③D．②③④

4.在四棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为（　　）

A.B.C．45D．45

5．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件：

①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.

如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．（把所有正确条件的序号都填上）

6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________.

答案精析

基础保分练

1．D　2.B　3.C　4.D　5.A　6.A　7.C

8．B　9.平行四边形　10.①②④⑤

能力提升练

1．D　[由线面平行的性质定理知①正确；由直线与平面平行的定义知②正确；③错误，经过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面与原直线平行．]

2．C　[在A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP，故选C.]

3．D　[对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面（除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外）均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，因此④正确．]

4．A　[如图所示，取AC的中点G，连接SG，BG.

易知SG⊥AC，BG⊥AC，

故AC⊥平面SGB，

所以AC⊥SB.

因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，

则SB∥HD.同理SB∥FE.

又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF∥AC且HF＝AC，

DE∥AC且DE＝AC，

所以四边形DEFH为平行四边形．

又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，

所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，

其面积S＝HF·HD＝·＝.]

5．①③

解析　①中，由b⊂β，b⊂γ，得β∩γ＝b，

又a∥γ，a⊂β，所以a∥b（线面平行的性质定理）．③中，由α∩β＝a，a⊂γ得β∩γ＝a，又b∥β，b⊂γ，所以a∥b（线面平行的性质定理）．

6．24或

解析　设BD＝x，由α∥β可得AB∥CD，则△PAB∽△PCD，即＝.

①当点P在两平面之间时，如图

（1）所示，则有＝，∴x＝24；②当点P在两平面外侧时，如图

（2），则有＝，∴x＝.

垂直的判定与性质

[基础保分练]

1．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（　　）

A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α

B．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α

C．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

D．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n

2．已知两个平面垂直，下列命题：

①一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；

②一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；

③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．

其中正确的个数是（　　）

A．3B．2C．1D．0

3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P－ABC中共有直角三角形个数为（　　）

A．4B．3C．2D．1

4．“直线l垂直于平面α”的一个必要不充分条件是（　　）

A．直线l与平面α内的任意一条直线垂直

B．过直线l的任意一个平面与平面α垂直

C．存在平行于直线l的直线与平面α垂直

D．经过直线l的某一个平面与平面α垂直

5．已知直线l，m和平面α，则下列结论正确的是（　　）

A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m

C．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l∥α，m⊂α，则l∥m

6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）

①若m⊥α，α⊥β，则m∥β；

②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n；

③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；

④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α.

A．①②B．③④C．①③D．②④

7．（2019·沈阳东北育才学校联考）设m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（　　）

A．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n

B．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n

D．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥n

8．已知在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不正确的是（　　）

A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC

9.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：

①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

其中真命题的序号是________．

10．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若a⊥α且a⊥β，则α∥β；

③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；

④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.

上面命题中，所有真命题的序号是________．

[能力提升练]

1．已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：

①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.

其中正确的是（　　）

A．①④B．②④C．②③D．③④

2.如图所示，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是（　　）

A．A1DB．AA1

C．A1D1D．A1C1

3．已知在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是锐角三角形，则必有（　　）

A．平面ABD⊥平面ADC

B．平面ABD⊥平面ABC

C．平面ADC⊥平面BDC

D．平面ABC⊥平面BDC

4．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在直线进行翻折，在翻折过程中（　　）

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直

5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；

②若m⊥α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；

④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.

其中的真命题是________．（填序号）

6.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′＝________.

答案精析

基础保分练

1．A　2.B　3.A　4.D　5.B　6.D　7.B

8．C　9.①②④　10.②③④

能力提升练

1．B　2.D

3．C　[∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BDC，

∴AD⊥平面BDC，

又AD⊂平面ADC，

∴平面ADC⊥平面BDC.]

4．B　[在矩形ABCD中，作AE⊥BD于E，连接CE.在翻折过程中，AE⊥BD，假设存在某个位置使AC⊥BD，则BD⊥平面AEC，则BD⊥CE，由条件知BD与CE不垂直，故A错误；对于C，在翻折过程中，若AD⊥BC，则AD⊥平面ABC，得AD⊥AC，从而△ACD为直角三角形，得∠CAD＝90°，而CD

5．①④

解析　若m⊥α，m⊂β，由线面垂直的相关性质可得面面垂直，即α⊥β，①正确；

若m⊥α，n⊂α，m∥β，n∥β，由线面垂直与线面平行的相关性质可得α⊥β，②错误；如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，也可出现n与α平行，