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湍流降阻应用实例资料
湍流降阻
湍流减阻技术有泥沙减阻[1]、微汽泡及吹气和吸气减阻[2,3]、聚合物减阻[4]、涂层减阻[5]、磁减阻[6]、仿生非光滑减阻[7-12]等,这些技术主要是控制边界层内的湍流结构,特别是拟序结构,从而达到控制湍流动能损耗,实现减阻目的。
仿生学研究发现鱼类等水生动物和有翼昆虫等飞行动物经历了近亿年进化过程,形成了一种满足自身生存需要的非光滑减阻表面。
如Reif教授在研究40多种不同生长阶段的鲨鱼后,发现当鲨鱼快速游动时,表皮上有精细间隔的鳞脊,鳞脊间有圆谷,鳞脊的排列基本上与流动方向平行,Reif认为,鲨鱼皮上的鳞脊可以使边界层稳定,减小快速游动阻力[9]。
受此启发,用仿生非光滑技术改变近壁区流场,减小壁面摩擦阻力,不会给使用体带来附加设备、额外能量消耗和污染物,仅改变壁面形状就达到减阻效果,在各种减阻技术中被认为是最有前途的方法。
图1为三角形、扇贝形和刀刃形三种仿生非光滑沟槽形状参数示意图,其中s=0.1mm,h=0.05mm,刀刃形沟槽刃宽t=0.2×h。
三种模型在相同的计算域中模拟,将光滑表面与沟槽表面置于同一流场中,便于结果对比,减小计算误差。
先在ANSYS中建立几何模型,对其进行离散化,再将离散单元导入GAMBIT中,进行网格平滑处理和区域划分,最后将网格导入FLUENT中进行计算及结果显示。
为了便于观察流场运动情况,沿流向布置8个沟槽。
三角形和扇贝形用六面体网格离散,刀刃形用三角形网格离散。
流向均匀划分40个网格点,垂向不等间距划分40个网格点,中心处网格最稀,从中心向两边网格间距以0.25倍等比速度减小,沟槽表面划分变尺寸网格,沟槽网格密度在谷底最稀,谷顶最密,网格间距从谷顶到谷底以0.5等比速度减小。
三种情况下沟槽表面所划分的网格密度相同,并等于光滑表面。
图2CFD模型
表1三种沟槽表面上网格点数列表
形状
顶角
s
h
沟槽表面网格数
网格总数
沟槽表面积
三角形
90°
0.1
5×10-2
14
181023
4.53×10-6
扇贝形
-
0.1
5×10-2
16
197821
4.95×10-6
刀刃形
-
0.1
5×10-2
21
240005
6.00×10-6
在ANSYS中建立的几何模型如图2（a）所示,计算域展向长度为0.8mm,流向长度为4mm,垂向高度为4mm。
图2（b）~2（f）为离散后的CFD模型,扇贝形和三角形离散的六面体网格图相似,在此只列出三角形的CFD模型,沟槽表面所划分的网格点数列于表1中,刀刃形沟槽表面形状比较特殊,很难划分六面体网格,只能划分四面体网格。
2.2边界条件
流场分析时认为流场稳定,各参数不随时间变化;流体为不可压缩流,密度和黏性等物理性质不随时间变化;不涉及传热问题;采用各向异性假设。
用有限体积法求解N-S方程,近壁区采用B-L两层湍流模型,远离壁面区采用雷诺应力湍流模型（RSM）,边界条件为光滑表面与沟槽表面施加固壁无滑移条件,即上下壁面X,Y,Z三个方向速度为零,入口处给定质量流率m=0.2kg/s,流向和垂直于流向的方向施加周期边界条件。
计算温度t=20℃,流体介质为水,动力黏度μ=0.001N×s/m2,密度ρ=998kg/m,运动黏度υ=1×10-6m2/s,雷诺数Re=6.0×105,雷诺数计算时取过流断面水力直径为特征长度。
3三种仿生非光滑沟槽表面流场分析
3.1剪应力分析
计算结果表明三种沟槽表面剪应力均小于光滑表面,具有减阻效果,但由于沟槽形状的不同减阻效果不同,三角形沟槽减阻效果最差,刀刃形沟槽减阻效果最佳。
图3沟槽表面应力云图
光滑表面单元平均剪应力为1.2×104N/m2。
由沟槽表面剪应力云图3可以看出三角形沟槽表面
最大剪应力为1.07×104N/m2,,比光滑表面减小10.8%;扇贝形沟槽表面最大剪应力为5.1×103N/m2,比光滑表面减小57.5%;刀刃形沟槽表面最大剪应力为4.5×103N/m2,比光滑表面减小62.5%。
由图3~4可见三种沟槽表面高应力区出现位置及面积不同,三角形沟槽高应力区起始位置最低并且面积最大,壁面总阻力最大,减阻效果最不明显;刀刃形沟槽高应力区出现在刀刃尖端非常窄的带形区域内,起始位置最高并且面积最小,壁面阻力最小,减阻效果最好。
图5三种沟槽表面及光滑表面展向及垂向速度矢量图
3.2速度场分析
图5给出了三角形、扇贝形和刀刃形沟槽表面和光滑表面展向和垂向速度矢量图,通过对比可见沟槽表面对湍流结构产生影响。
三种沟槽表面流向涡的展向运动都产生分离并生成二次涡,但是二次涡的位置、近壁区流体上冲和下扫运动的强度不同。
Choi曾指出沟槽减阻与否与沟槽面漩涡有很大关系[12]。
三角形沟槽表面二次涡位置最低,壁面受高强度流体上冲和下扫运动强度最大,动量传输最强,故壁面受高应力影响区域的面积最大,由于沟槽谷底间距及壁面曲线斜率最小,谷底附近流体受壁面阻碍并且安静流区域面积最小,所以层流底层厚度最小,壁面总阻力最大,减阻效果最差。
刀刃形沟槽表面二次涡停留在沟槽尖顶附近,位置最高,与壁面相接触的流体运动强度最弱,壁面几乎不受高强度流体上冲和下扫运动影响,壁面流体的动量传输较低,由于沟槽谷底间距及壁面曲线斜率最大,谷底附近安静流体的运动比较自由并且区域最大,所以层流底层厚度最大,整个非光滑表面剪应力最低,总阻力最小,减阻效果最好。
图6雷诺剪应力曲线图
3.3雷诺应力分析
由图6雷诺剪应力曲线可知三种沟槽表面的雷诺应力均小于光滑表面。
光滑表面、三角形、扇贝形和刀刃形沟槽雷诺应力最大值分别为8m2/s2、7.8m2/s2、7m2/s2和6.2m2/s2。
雷诺应力是横向脉动在剪切场中的体现,横向脉动体现了平均剪切率产生的流向脉动动能的传递。
故三角形沟槽表面附近横向脉动最大,对流向脉动动能的传递功能最强,流体对壁面的作用力最大,壁面摩擦阻力最大,减阻效果最差;刀刃形沟槽表面横向脉动最小并且流向脉动动能的传递功能最弱,流体对壁面的作用力最小,壁面总阻力最小,减阻效果最好。
3.4湍流统计分析
图7为光滑表面与三种沟槽涡量曲线图。
由计算结果可知光滑表面流向涡量、展向涡量和垂向涡量平均值分别为1.5×1051/s、3.8×1061/s和5×1051/s。
三角形沟槽表面流向涡量、展向涡量和垂向涡量的最大值分别为1.25×1051/s、2.5×1061/s和2.0×1061/s;扇贝形沟槽三个方向涡量的最大值分别为1.05×1051/s、2.0×1061/s和1.5×1061/s,小于三角形沟槽表面上相应涡量值;刀刃形沟槽三个方向涡量的最大值分别为1.0×1051/s、1.8×1061/s和2.4×1061/s,在三种情况下最小。
由此可见三种沟槽表面流向涡量和展向涡量的最大值小于光滑表面附近相应涡量的最大值,垂向涡量最大值大于光滑表面,即沟槽抑制流向涡的展向运动。
由于三角形沟槽流向涡量和展向涡量的最大值在三种沟槽中最大,与光滑表面相应涡量值的差距最小,流向和展向涡量被三角形沟槽表面减小的程度最小,故其对流向涡的展向运动的抑制作用最不明显,对湍流拟序结构的影响程度最差,减阻率最低[13]。
刀刃形沟槽流向涡量和展向涡量的最大值在三种沟槽中最小,与光滑表面相应涡量值差距最大,流向和展向涡量值被刀刃形沟槽表面减小的程度最大,故其对流向涡的展向运动的抑制作用及对湍流拟序结构的影响程度最大,减阻率最高。
图7沟槽三个方向涡量图
表2计算结果与实验结果对比表
形状
光滑表面阻力FS（N）
非光滑表面阻力FNS（N）
减阻率
FNS-FS/FS
WALSH
BECHERT
三角形
0.0378
0.0366
-3.2
-2
-2.5
扇贝形
0.0372
0.0338
-9.1
-8
-7
刀刃形
0.0375
0.0339
-9.7
-9
-8
通过分析同一流态中沟槽表面的剪应力、速度场及涡量,可知三种沟槽表面高应力区起始点位置、区域面积、二次涡位置及流体对壁面上冲和下扫运动强度、层流底层厚度、横向脉动速度、流向涡量和展向涡量的不同,使沟槽减阻效果不同。
三角形沟槽减阻效果最差,刀刃形减阻效果最佳。
造成减阻效果不同的主要原因是沟槽形态不同,对湍流拟序结构的扰动不同。
沟槽顶角越小,沟槽谷底间距和沟槽表面形状曲线的斜率越大,则二次涡被抬的越高,层流底层厚度越大,沟槽对湍流拟序结构中流向涡的展向涡卷影响越大,沟槽表面减阻效果越好,为设计最佳减阻沟槽表面提供依据。
4计算结果与实验结果对比
通过对剪应力进行面积积分得到壁面阻力F。
WALSH（1982）等的风洞实验[11]和BECHERT（1997）等的油槽实验[8]为沟槽表面流场特性的研究提供了必要的实验基础。
采用与该实验条件相同的计算条件,通过对比可以看出,计算结果与实验结果有较好吻合,在相同的特征尺寸下,沟槽形状不同导致减阻效果有很大差异。
湍流降组应用实例
4.1沟槽降阻
早期,对于减阻现象的研究一般集中在利用测力天平等设备直接测量壁面所受阻力的大小。
随着研究的深入,研究者们越来越多地将目光集中在沟槽面湍流边界层内部流动结构及其相关规律的研究。
由于在层流流动中未曾发现沟槽的减阻效应,同时,又由于流体输运设备中大多数流体的流动状态为湍流,因此就其根本而言,沟槽面的湍流减阻技术是湍流理论研究的一个重要组成部分。
迄今为止,沟槽面湍流减阻技术仍未成熟,目前还未真正走出实验室。
其应用范围归纳起来主要有三方面:
飞行器、流体驱动设备、管道输运系统。
早期见诸报道的是20世纪80年代德国飞机制造商利用带沟槽的飞机机身能使飞机节省燃料8%。
而空中客车公司在A320试验机面积的70%贴上沟槽薄膜,达到了节油1%～2%的效果。
在国外,如美国、欧洲乃至我们的邻居印度近些年陆续开展的飞行器沟槽面减阻的实验研究,已经取得了较大的进展。
国内对其在飞行器上的应用研究正处于起步阶段。
如北京航空航天大学的王晋军[1]、杨弘炜[2],西北工业大学的李育斌[3],南京航空航天大学的潘家正[4]等均作了一定的工作;KSB公司[5]在多级泵的叶片表面加工成一定形状的沟槽后综合效率提高了1.5%;在管道输运中,1984年,Nitschke[6]通过测量具有流向沟槽面衬里管道的两端压差获得了一定的减阻效果。
DLRBerlin的研究机构及日本的研究人员各自对内衬沟槽面的输油或输水管道进行了减阻实验研究均发现管输量有不同程度的提高。
由上可见沟槽减阻技术具有广阔的应用前景和发展空间。
4.1.1影响沟槽面湍流减阻的因素
影响沟槽面减阻效能的因素,概括起来有沟槽面自身特性和沟槽面所处的流场环境两类。
沟槽面自身因素包括尺度和形状。
沟槽面所处流场环境因素主要有流场压力梯度、过流截面形状、来流速度等。
a.沟槽几何特性
沟槽的几何尺寸对湍流减阻的影响始终是人们研究的一个重点。
Choi[7]认为沟槽面阻力的减小或增加取决于沟槽与近壁区拟流向涡之间的相互作用。
当沟槽的无量纲尺度与流向涡的平均尺度相当时就有减阻发生。
Walsh[8-9]也认为具有减阻效应的沟槽必须具有锐利的峰脊而且沟槽间距与低速条带间距必定存在某种关系。
通过将沟槽的间距与湍流猝发时条带的间距尺寸相比得出这样的推测:
沟槽形状尺寸的设计是要以抑制低速条带的振荡与成长为目的。
因此,较为一致的看法是:
当沟槽的无量纲间距和高小于30个粘性长度时（ν/u定义为粘性单元,ν为流体的运动粘性系数;u为当地摩擦速度）,沟槽面具有减阻效应。
为了获得最大的减阻效果,人们对截面为各种形状的沟槽进行了研究。
目前所知用于试验的槽型有:
V字形（对称和非对称）、半圆形、U形、矩形、不规则四边形、齿形等。
尽管用做试验的槽型很多,但Walsh[8]发现对称V字形的减阻效果最好且当s+=15,h+=13（s+=su/ν,h+=hu/ν,分别为采用粘性单元无量纲化后沟槽的槽间距及峰高）时可得到8%的减阻率。
而高横比为1的V型沟槽为最优几何尺寸。
同样Walsh[10]对一系列峰脊形状不一的对称V字槽型研究后发现槽底为等边三角形的槽型弱化了减阻效果,槽底为某一曲率弧线的则增强了减阻效果。
La2zos&Wilkinson[11]对高/横比不同的不规则四边形沟槽面研究后发现减阻量大致与槽的高度成正比而与间距成反比,最大减阻量发生在大“高横比”沟槽面上,且与对称V型沟槽的8%相当,这一点与Walsh[8]实验结论相近,也与Berchert[12]的理论探讨结果相一致。
b.流场压力梯度
在大多数工况下,边界层流场中存在某一压力梯度,因此,需要考虑压力梯度对于沟槽面的减阻效果是否存在影响。
Walsh[13]对这一问题进行了讨论。
他认为:
小压力梯度下,沟槽表面仍然具有减阻效应,效果与零压力梯度下相比基本不变,这一点基本上取得共识;而对于中等或强压力梯度下,人们的意见就发生了分歧——Squire&Savill[14],Truong&Pulvin[15]认为沟槽减阻的效果不明显,而另一些研究者如Choi[16],Walsh[13]等则认为还是具有一定的效果,至少不变。
Debisschop&Nieuwstadt[17]发现风洞中负压力梯度下不规则沟槽面最大可获得13%的减阻效果,这要比零压力梯度下8%的减阻效果增加了6%～7%。
c.沟槽面放置方式
在他人实验中,沟槽面有顺流向和垂直流向两种放置方法。
梁在潮[18]在水洞中分别进行了横、纵两向沟槽面边界层的流动显示实验。
他发现流向沟槽面可以控制低速条带的数量;而横向沟槽则控制低速条带的长度,槽愈深,条带长度愈短。
王晋军则认为横向沟槽的减阻效果不明显。
但潘家正[4]在横向沟槽面实验中却获得了近10.2%的减阻效果。
而沟槽面顺流向放置时又可分为将沟槽峰脊与基础面平齐和沟底与基础面平齐两种方式。
Lazos&Wilkinson[11]的矩形沟槽板实验中发现两种放置方式对阻力的影响没有显著差别。
但事实上,Bacher&Smith[19],Vukoslavcevic[20],Gallagher&Thomas[21]在实验中都将沟槽的峰脊与基础面保持平齐,这样做可尽量避免来流流场受到沟槽锐利断面的影响。
4.1.2沟槽面湍流面减阻的机理
沟槽面湍流减阻机理的研究人们从NASA兰利的发现及鲨鱼等快速游动鱼类的鳞片上获得这样的启示:
光滑表面并非经典Darcy实验所描述的那样是减阻的最佳表面。
研究者通过对沟槽面所受表面阻力的测量和对局部流场流动结构的研究均能得出阻力相对减小的结论,得知“沟槽面能在一定流动条件下减阻”是一个事实。
剩下的问题是沟槽面减阻机理是什么。
由于沟槽的减阻机理直接涉及到湍流流动结构,因此在湍流结构未搞清楚以前不可能真正明了它的机理。
这也是为什么各家所提出的沟槽面减阻机理多为猜想。
将各家观点归纳起来主要有以下几类:
①单纯从壁面剪切阻力角度出发提出减阻机理。
Gallagher&Thomas[21]认为由于粘性底层厚度的增加而产生减阻。
②从湍流拟序结构理论出发。
Choi[7]通过对瞬时流场的研究提出具有微小间距的沟槽通过限制流向涡的位置来降低粘性阻力;Bacher&Smith[19]认为流向涡能加强低速条带的展向聚集和低动量流体的向外“猝发”。
而减阻沟槽的作用在于通过在槽内形成的“二次涡”来抑制低速条带的展向聚集。
这样就削弱了流向涡将低动量流体进行展向积聚的能力,也就抑制了动量交换。
另外由于沟槽的存在使因剪切层的不稳定所致的“猝发”强度变弱。
③从机械减阻原理出发,提出类似“空气轴承理论”。
潘家正[4]在解释减阻机理时提出了“微型空气轴承”的概念。
他认为在湍流边界层底部按一定间距安置尺寸适当的横向小沟槽,有可能“锁住”流动的小涡。
小涡本身具有旋转的涡能,被沟槽挡住后,滞留在合适的凹坑内继续转动（或不动）,就像一支支微型的空气轴承。
Lazos&Wilkinson[11]认为沟槽减阻的唯一机理在于适当形状、尺寸的沟槽面近壁区形成了低动量、几近于Stokes流,是槽内的微小空间“锁住”了低动量流体。
④具有减阻效应的沟槽面不但能通过控制低速制条带间距来降低湍流“猝发”频率,而且在“猝发”后的高速“下扫”过程中因其几何结构使“藏”在槽内相对安静的流体避免或部分避免因高速“下扫”而“诱导”出较大速度剪切层,从而实现减阻。
4.1.3沟槽面对湍流边界层流动特征的影响
a.流向平均速度的变化
大多数研究者发现具有减阻（或增阻）效应的沟槽面湍流边界层流场速度分布与光滑板一样仍然遵守“标准速度律”,只是对数区要上抬（或下降）,即:
U+=Alny++B中的B增加（或减小）了（其中,U+=u/u*、y+=yu*/ν分别为无量纲化速度及横向距离;A、B在平板流动中为卡门常数）。
王晋军[1],Choi[7],Tang[12],Hooshmand[23],Choi[24]都发现减阻沟槽面的对数区明显上抬,说明沟槽面湍流边界层的粘性底层要比光滑面的厚。
这一现象与长链聚合物减阻剂所形成的边界层很相似[25-26]。
但Bacher&Smith[19]的流动显示实验却发现沟槽面的平均速度分布与光滑面在总体上很相似,两者之间的差别很小。
为了深入了解沟槽内部的流动特性,Seong-RyongVukoslavcevic[20]和Park[27]等人分别选用大尺度沟槽进行研究。
他们发现在相同流动条件下峰脊处的速度梯度u/9y要比光滑面上同一位置的稍大,这表明当地剪切应力较大;而沟底处的情况则相反。
YujiSuzuki[28]发现当槽间距s+=15时,平均速度在展向分布的不均匀性限定在（y+-y+P）<9（式中y+P为沟槽峰处的无量纲高度）范围内,沟槽面对平均速度分布的影响只限定在粘性底层;而当时s+=31过渡层也受到了影响,对数廓线较比光滑面的略有下移,这一结果与Choi[7]对s+=40的沟槽面进行数值模拟所得的结果相一致。
b. 沟槽面对湍流脉动强度的影响
湍流脉动的强弱与湍流所致的混合程度密切相关。
具有减阻效应的沟槽面应当能够有效降低近壁区湍流脉动强度以抑制湍流的“旺盛”。
Debisschop&Nieuwstadt[17]发现流向速度脉动强度只在近壁处才受到沟槽的影响,而在“外部”,沟槽面与光滑面的流向速度脉动强度则大致相同。
他们认为近壁区湍流度的降低水平与摩擦速度的降低成正比。
这一结果还表明近壁处的湍流度测量可以作为测量沟槽减阻的替代方法。
Choi[29],Vukoslavcevic[20]也通过实验发现沟槽近壁区特别是沟底处的湍流脉动强度显著地减弱。
但Bacher&Smith[19]以及Hoosh2mand[23]却发现沟槽面上流向速度脉动强度没有多少改变。
这可能是由于他们在采用热线测量时离壁面不足够近的原因。
王晋军[1]则发现:
虽然沟槽面的流向脉动强度基本没有变化,但最大值所对应的位置却较光滑面降低了。
c.高阶矩特性
湍流的高阶矩特性是指正则化的三阶矩和四阶矩,分别被称为偏斜因子和平坦因子。
用此两者来判断流向速度脉动的概率密度函数p（u′）（u′为流向速度脉动）于高斯分布的轴对称性和形状变化,并以此来研究边界层内的流动变化。
Choi[7]对V字形沟槽进行了直接数值模拟发现:
偏斜因子及平坦因子在y+>30的区域内基本与光滑面一致。
但在沟槽附近却发生显著的改变。
u′的偏斜因子及平坦因子在槽内减小而在峰脊处则增加了。
Vukoslavcevic[20]在研究大尺度V字形沟槽时发现:
在槽内高度约一半的位置处（y/δ≈0.02,式中δ为湍流边界层厚度,mm）u′的偏斜因子和平坦因子变得很大（正值）。
考虑到该处的湍流脉动强度很小,他认为该处有少量但带有强脉动的流体微团从较高流层“冲击”下来。
Bacher&Smith[19],Hoosh2mand[23],王晋军[1]却发现沟槽面对近壁区的偏斜因子及平坦因子没有影响。
这个差别在于文献[1,23]中测量区域只局限在y+>10的区域。
4.2肋条减阻
自从20世纪70年代NASA兰利研究中心发现具有顺流向微小肋条的表面（以下简称肋条表面）能有效地降低壁面摩阻,突破了表面越光滑阻力越小的传统思维方式,肋条减阻成为湍流减阻技术中的研究焦点。
4.2.1减阻效能研究
近些年,为了最大限度的实现减阻,人们对肋条形状进行了大量实验和优化设计。
柏林的Bechert和Brused等利用一种测量阻力精确度可达0.3%的油管对各种肋条表面的减阻效能进行了研究[1]。
他们测试了多种形状的肋条,包括三角形的,半圆形的、刃形的,以及三维的肋条。
结果表明,V形肋条减阻效果最好,最大可得到10%的减阻幅度。
Bechert和他的同事设计并测试了刃形肋条与喷射状狭长切口复合的表面。
他们设想通过湍流边界层的压力波动驱动流体在小的切口里如同喷射般的进出,从而产生推力,进一步增大减阻幅度。
最终利用这种形状的肋条,测得的最大减阻幅度将近9%。
米兰大学的Lunchini等对肋条的形状优化进行了技术和理论上的探讨[2]。
他们认为通过最大化肋条顺流向的突起高度与其沿横向流动方向的突起高度之间的差距,就可以实现优化减阻。
因为这样就能使肋条对横向流动的阻抗最大而对纵向流动的阻抗最小。
北京航空航天大学的杨弘炜等、提出了一种菱形网状的小圆坑点阵结构,水洞实验表明这种结构应用于NACA-16012翼型表面的减阻效果最高可达22%[3]。
此外,人们还研究了压力梯度对肋条表面减阻效能的影响。
荷兰代夫特科技大学的DeBisschop和Nieuwstadt通过直接测量阻力和速度,发现在逆压力梯度的湍流边界层中,采用肋条表面可以得到高达13%的减阻[4]。
这进一步验证了Choi先前的研究结果。
他曾对肋条面在不同压力梯度条件下湍流边界层中的速度剖面进行过详细的测量。
4.2.2肋条对边界层的影响研究
为了利用肋条控制湍流和层流边界层,人们进行了大量的实验研究。
Choi和Orchard在诺丁汉姆大学的低速边界层流道中进行试验,研究了热的肋条表面的传热加强以及肋条的转捩延迟作用[5]。
结果显示在转捩的非线性阶段,动量厚度上升速率伴随着肋条面上湍流强度的减弱而减小。
从而表明肋条面对活跃的层流边界层向湍流的转捩有明显的延迟作用。
俄罗斯理论与应用力学学会也进行了肋条面层流边界层的实验研究[6]。
结果表明肋条面能使A-涡转化为湍流斑点的过程延迟,并能使转捩点向下游移动。
在转捩的线性阶段采用肋条面时,T-S波的生长速率的增加与Luchini.的数值计算结果符合得很好。
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