第一章三角形证明导学案.docx

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第一章三角形证明导学案

第一章　三角形的证明

第一节等腰三角形

（一）

【学习目标】

1、进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，并用这些基本事实证明等腰三角形的性质定理；

2、熟悉证明的基本步骤和书写格式；

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

【学习重难点】重点：

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法。

难点：

明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

【学习过程】

模块一预习反馈

1：

回忆已经学过的几何基本知识

（1）证明的基本步骤：

①②③

（2）我们已知道的8条基本事实：

两点确定一条直线。

②两点之间线段最短。

③同一平面内，过一点有且有一条直线与已知直线垂直。

④同位角相等，两直线平行。

⑤过直线外一点有且有一条直线与这条直线平行。

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

三边分别相等的两个三角形全等。

还有等式的性质和等量代换也可以作为证明的依据。

（3）请同学们阅读教材2页～3的内容，并完成教材4页的随堂练习

（4）预习过程中请注意：

⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

2.预习交流：

能用所学知识进行规范证明

（1）利用已有的公理和定理证明：

两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

”

（画图、写出已知、求证、证明过程）

已知：

求证：

证明：

（2）等腰三角形性质定理：

（等边对等角）；

（画图、写出已知、求证、证明过程）

（3）推论（三线合一）：

；

（画图、写出已知、求证、证明过程）

模块二合作探究

1.如图，已知∠D=∠C，∠A=∠B，且AE=BF。

求证：

AD=BC。

2．如图，在△ABC中，D为AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=29°，求∠A。

3.如图，E是△ABC内的一点，AB=AC，连接AE、BE、CE，且BE=CE，延长AE，交BC边于点D。

求证：

AD⊥BC。

模块三形成提升

1．填空：

（1）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。

请找出所有的等腰三角形。

（2）等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为。

（3）等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为。

2．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC。

求证：

∠1=∠2。

模块四小结反思

这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？

知识点：

方法：

本节易（混）错点：

【课外作业】

A层：

1．在等腰三角形中顶角为40°时底角等于，一个底角为50°，则顶角等于。

2.等腰三角形的两边分别是7cm和3cm，则周长为。

3.如右图，D在AC上，且AB=BD=DC，∠C=40°，则∠A=，

∠ABD=。

B层：

4、在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，求证：

AD=AF.

第一节等腰三角形

（二）

【学习目标】

1、利用全等三角形的判定证明等腰三角形中的一些线段相等。

2、探索并证明等边三角形的性质定理。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合。

【学习重难点】重点：

证明等腰三角形中的一些线段相等和证明等边三角形的性质。

难点：

进一步发展证明的推理能力。

【学习过程】

模块一预习反馈

1．请同学们阅读教材5页～6的内容，并完成教材6页的随堂练习。

2．预习过程中请注意：

⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

3.预习交流

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

（画图、写出已知、求证、证明过程）

已知：

求证：

证明：

等腰三角形腰上的中线相等；

（画图、写出已知、求证、证明过程）

等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°

（画图、写出已知、求证、证明过程）

模块二合作探究

1.在如图的等腰三角形ABC中，

（1）如果∠ABD=

∠ABC，∠ACE=

∠ACB呢?

由此，你能得到一个什么结论?

（2）如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE吗?

如果AD=

AC，AE=

AB呢?

由此你得到什么结论?

模块三形成提升

1、已知：

如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，，DE⊥AB，则图中等腰直角三角形共有（）

（A）3个；（B）4个；（C）5个；（D）6个

2、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分

线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，

则△ABC的周长为（）

（A）.30;（B）.36;（C）.39;（D）.42。

4、如图：

下午14：

00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：

00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.

模块四小结反思

这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？

知识点：

方法：

本节易（混）错点：

【课外作业】

A层：

1.等边△ABC的中线BD,CE相交于点O，则∠BOC等于

2.如图，等边△ABC中，AD⊥BC于D，点E是AC上的一点，且AD=AE，则∠CDE等于

B层：

如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.

求证:

AE=CD

第一节等腰三角形（三）

【学习目标】

1、经历等腰三角形的判定定理的过程，证明并掌握等腰三角形的判定定理。

2、通过实例体会反证法，并能用反证法进行证明。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合。

【学习重难点】重点：

掌握并应用等腰三角形的判定定理进行证明。

难点：

反证法的理解

【学习过程】

模块一预习反馈

1．请同学们阅读教材8页～9的内容，并完成教材9页的随堂练习。

2．预习过程中请注意：

⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

3.预习交流

定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形；

（画图、写出已知、求证、证明过程）

已知：

求证：

证明：

理解反证法的含义和具体步骤

模块二合作探究

1、如图，

中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD=CE。

求证：

是等腰三角形。

2、用反证法证明：

一个三角形中至少有一个角大于或等于60°

模块三形成提升

1、如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求证：

△ADE是等腰三角形。

2.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：

这五个数中至少有一个大于或等于1/5.

模块四小结反思

这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？

知识点：

方法：

本节易（混）错点：

【课外作业】

A层：

1、

如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于E。

求证：

CE=CB。

2、把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。

a）我每天工作不超过24小时；

b）我们班有62人，今天出席人数为61，有同学缺席；

c）初三级有730人，有12个班，平均每个班都超过60人；

d）三角形中必有一个内角不少于60度；

e）一个三角形中不能有两个角是钝角；

f）垂直于同一条直线的两条直线平行。

B层：

3、如图，在

中，∠ABC的平分线交AC于点D，DE∥BC。

求证：

△EBD是等腰三角形。

第一节等腰三角形（四）

【学习目标】

1、探索并证明等边三角形的判定定理

2、探索并证明定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边是斜边的一半。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

【学习重难点】重点：

等边三角形的判定定理证明和应用。

难点：

运用等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质解决实际问题。

【学习过程】

模块一预习反馈

1．请同学们阅读教材10页～12的内容，并完成教材12页的随堂练习

2．预习过程中请注意：

⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

3.预习交流

1、等边三角形的判定

1）三条边都相等的三角形是等边三角形。

2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

已知：

求证：

证明：

3）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。

已知：

求证：

证明：

3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

已知：

求证：

证明：

模块二合作探究

1、已知：

如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E。

求证：

△ADE是等边三角形。

2、如图，△ABC是等边三角形，BD=CE，∠1=∠2。

求证：

△ADE是等边三角形。

3、如图，在Rt

中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求DC的长。

模块三形成提升

1、填空：

（1）如图1，BC=AC，若，则△ABC是等边三角形。

（2）如图2，AB=AC，BC⊥AD，BD=4，若AB=，则△ABC是等边三角形。

（3）如图3，在Rt

中，∠B=30°，AC=6cm，则AB=；若AB=7，则AC=。

图1图2图3

（4）如图，Rt△ABC中，∠A=30°,AB+BC=12cm，则AB=__________cm.

2、已知：

如图，在△ABC中，AB=AC,

∠BAC=120°,D、E是BC上两点，且

AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是三角形并证明。

模块四小结反思

这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？

知识点：

方法：

本节易（混）错点：

【课外作业】

A层：

1、填空：

（1）如图1，AB=AC，AD是△ABC的一条中线，AB=5，若BD=，则△ABC是等边三角形。

（2）如图2，∠BAC＝120°，AB＝AC，AB＝14，则AD=。

图1图2

2、已知：

中，

，

，

，AB=40，

求DB的长。

B层：

3、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，

求：

AB的长

第二节直角三角形

（一）

【学习目标】

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、证明直角三角形的性质定理和判定定理

3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

【学习重难点】重点：

直角三角形性质定理和判定定理证明和应用

难点：

结合具体例子了解互逆命题的概念。

【学习过程】

模块一预习反馈一．预习要求

1．请同学们阅读教材14页～16的内容，并完成教材16页的随堂练习

2．预习过程中请注意：

⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

3.预习交流

（1）直角三角形的性质：

直角三角形的两锐角互余

（2）直角三角形的判定：

有两个角互余的三角形是直角三角形

（3）勾股定理：

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

已知：

求证：

证明：

（4）勾股定理逆定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

已知：

求证：

证明：

（5）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

（6）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

模块二合作探究

1、如图，BA⊥DA于A，AD=12，DC=9，CA=15，求证：

BA∥DC。

2、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a，则a=__________。

3、已知：

如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=

。

（1）求DC的长；

（2）求AD的长；（3）求AB的长；

（4）求证：

△ABC是直角三角形.

模块三形成提升

1、填空：

（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为。

（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是三角形。

2、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

1）初三（6）班有62位同学；

2）等边对等角；

3）对顶角相等；

4）平行四边形的两组对边相等；

5）正方形的四条边都相等；

3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？

最低造价是多少？

模块四小结反思

这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？

知识点：

方法：

本节易（混）错点：

【课外作业】

A层：

1、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来。

（1）矩形是平行四边形。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）如果

，则

。

（4）全等三角形对应角相等。

（5）对顶角相等

2、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于。

B层：

3、如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5km,BC=4km，若每天凿隧道0.3km，问几天才能把隧道凿通？

第二节直角三角形

（二）

【学习目标】

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

【学习重难点】重点：

直角三角形全等“HL”判定定理。

难点：

从图中找出隐含条件。

【学习过程】

模块一预习反馈

1．请同学们阅读教材18页～20的内容，并完成教材20页的随堂练习

2．预习过程中请注意：

⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

3.预习交流

（1）一般三角形全等判定方法有：

。

（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（“斜边、直角边”或“HL”）

已知：

求证：

证明：

模块二合作探究

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，且DE⊥AB，CD=ED，求证：

AD是∠BAC的角平分线。

2、如图，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E是AB上的一点。

求证：

CE=DE。

3、在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．

求证：

△ABC≌△A'B'C'．

模块三形成提升

1、填空：

.如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°。

（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

2、如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：

CD=CB。

四小结反思

这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？

知识点：

方法：

本节易（混）错点：

【课外作业】

A层：

1、

如上右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.

2、如图，∠B=∠E=90°，AC=DF，BF=EC。

求证：

BA=ED。

B层：

3、如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD，AB=AC，求证：

EB=FC。

第三节线段的垂直平分线

（一）

【学习目标】

1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

【学习重难点】重点：

线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用。

难点：

线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明。

【学习过程】

模块一预习反馈

1．请同学们阅读教材22页～23的内容，并完成教材23页的随堂练习。

2．预习过程中请注意：

⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

3.预习交流

（1）、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

即：

如图若P在线段AB的垂直平分线CD上，则有。

已知：

求证：

证明：

（2）、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

即：

如图若PA=PB，则P点在。

已知：

求证：

证明：

模块二合作探究

1、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线。

1）则BD=；

2）若∠B=40°，则∠BAC=°，∠DAB=°，∠DAC=°，∠CDA=°；

3）若AC=4，BC=5，则DA+DC=，△ACD的周长为。

2、如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，AC=5，BC=8，求△AEC的周长。

3、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。

模块三形成提升

1、如图，已知AB=AC=14cm，AB的垂直平分线交AC于D。

1）若△DBC的周长为24cm，则BC=cm；

2）若BC=8cm，则△BCD的周长是cm。

2、已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长是13cm，求△ABC的周长。

四小结反思

这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？

知识点：

方法：

本节易（混）错点：

【课外作业】

A层：

1、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE为AB的中垂线，则∠1=°，∠C=°，∠3=°，∠2=°；若△ABC的周长为16cm，BC=4cm，则AC=，△BCE的周长为。

2、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，AE=2cm，求△CDB的周长。

B层：

3、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABC的周长为12cm，△ABD的周长为9cm，求AC的长度。

第三节线段的垂直平分线

（二）

【学习目标】

1、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。

2、能够利用尺规作已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

【学习重难点】重点：

用尺规作已知线段垂直平分线。

难点：

已知底边及底边上的高求作等腰三角形。

【学习过程】

模块一预习反馈

1．请同学们阅读教材24页～26的内容，并完成教材26页的随堂练习。

2．预习过程中请注意：

⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

3.预习交流

（1）、尺规作图是指用作图。

（2）、线段垂直平分线上的点到。

（3）、到一条线段两个端点距离相等的点，在。

（4）、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

已知：

求证：

证明：

模块二合作探究

1、用尺规作线段的垂直平分线。

2、已知直线

和

上一点P，利用尺规作

的垂线，使它经过点P。

3、已知：

线段

、

求作：

△ABC，使AB=AC，且BC=

，高AD=

作法：

模块三形成提升

1、△ABC的三条边的垂直平分线相交于点P，若PA=10，则PB=，PC=。

2、已知：

线段

=4cm、

=6cm

求作：

△ABC，使AB=AC，且BC=

，高AD=

作法：

四小结反思

这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？

知识点：

方法：

本节易（混）错点：

【课外作业】

A层：

1、分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置．

B层：

2、已知：

△ABC中，AB=AC，AD是BC边一上的中线，AB的垂直平分线交AD于O。

求证：

OA=OB=OC．

第四节角平分线

（一）

【学习目标】

1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理。

2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

【学习重难点】重点：

角平分线的性质定理、判定定理。

难点：

利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。

【学习过程】

模块一预习反馈

1．请同学们阅读教材28页～29的内容，并完成教材29页的随堂练习。

2．预习过程中请注意：

⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

3.预习交流

（1）、点到直线的距离：

这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。

（2）、角平分线性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

即：

如图，若点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB。

则有。

已知：

求证：

证明：

（3）、定理：

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

即如图，若PE⊥OA，PD⊥OB，且PD=PE，则点P在上。

已知：

求证：

证明：

模块二合作探究

1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1=∠2。

求证：

OB