第一章三角形证明导学案.docx

1、第一章三角形证明导学案第一章三角形的证明第一节 等腰三角形（一）【学习目标】1、进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，并用这些基本事实证明等腰三角形的性质定理；2、熟悉证明的基本步骤和书写格式；【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合【学习重难点】重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法。难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。【学习过程】模块一 预习反馈1：回忆已经学过的几何基本知识（1）证明的基本步骤： （2）我们已知道的8条基本事实：两点确定一条直线。两点之间线段最短。 同一平面内，过一点有且有一条直线与已知直线垂直。同

2、位角相等，两直线平行。 过直线外一点有且有一条直线与这条直线平行。两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。三边分别相等的两个三角形全等。还有等式的性质和等量代换也可以作为证明的依据。（3）请同学们阅读教材2页3的内容，并完成教材4页的随堂练习（4）预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。2.预习交流：能用所学知识进行规范证明（1）利用已有的公理和定理证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。”（画图、写出已知、求证、证明过程）已知：求证：证明：（2

3、）等腰三角形性质定理： （等边对等角）；（画图、写出已知、求证、证明过程）（3）推论（三线合一）： ；（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二 合作探究1.如图，已知D =C，A =B，且AE = BF。求证：AD = BC。2如图，在ABC中，D为AC上一点，并且AB = AD，DB = DC，若C = 29，求A。3.如图，E是ABC内的一点，AB = AC，连接AE、BE、CE，且BE = CE，延长AE，交BC边于点D。求证：ADBC。 模块三 形成提升1填空：（1）如图，在ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD。请找出所有的等腰三角形 。（2）等腰三角形的

4、顶角为50，则它的底角为 。（3）等腰三角形的一个角为40，则另两个角为 。2如图，在ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，且DEAB，DFAC。求证：1 =2。 模块四 小结反思这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？知识点：方法：本节易(混)错点：【课外作业】A层：1在等腰三角形中顶角为40时底角等于 ，一个底角为50，则顶角等于 。2.等腰三角形的两边分别是7 cm和3 cm，则周长为 。3.如右图，D在AC上，且AB=BD=DC，C=40，则A= ，ABD= 。B层：4、在ABC中，AB=AC，D是AB上一点，DEBC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，求证：AD=

5、AF.第一节 等腰三角形（二）【学习目标】1、利用全等三角形的判定证明等腰三角形中的一些线段相等。2、探索并证明等边三角形的性质定理。【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合。【学习重难点】重点：证明等腰三角形中的一些线段相等和证明等边三角形的性质。难点：进一步发展证明的推理能力。【学习过程】模块一 预习反馈1请同学们阅读教材5页6的内容，并完成教材6页的随堂练习。2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。3.预习交流等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；（画图、写出已知、求

6、证、证明过程）已知：求证：证明：等腰三角形腰上的中线相等；（画图、写出已知、求证、证明过程）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二 合作探究1. 在如图的等腰三角形ABC中，(1)如果ABD=ABC，ACE=ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么结论?模块三 形成提升1、已知：如图，在ABC中，AB=AC, BAC=90， ，DEAB，则图中等腰直角三角形共有（ ）（A）3个；(B)4个；（C）5个；（D）6个2、如图，在ABC中，ABC与ACB的平

7、分线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，则ABC的周长为（ ）（A）.30;(B).36;（C）.39;（D）.42。4、如图：下午14：00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.模块四 小结反思这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？知识点：方法：本节易(混)错点：【课外作业】A层：1.等边ABC的中线BD,CE相交于点O，则BOC等于 2.如图，等边ABC中，ADBC于D，点E是AC上的一点，且AD=AE，则CDE等于 B层：如图,已知ABC和B

8、DE都是等边三角形.求证:AE=CD 第一节 等腰三角形（三）【学习目标】1、经历等腰三角形的判定定理的过程，证明并掌握等腰三角形的判定定理。2、通过实例体会反证法，并能用反证法进行证明。【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合。【学习重难点】重点：掌握并应用等腰三角形的判定定理进行证明。难点：反证法的理解【学习过程】模块一 预习反馈1请同学们阅读教材8页9的内容，并完成教材9页的随堂练习。2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。3.预习交流定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形；（画图、写

9、出已知、求证、证明过程）已知：求证：证明：理解反证法的含义和具体步骤模块二 合作探究1、如图，中，BDAC于D，CEAB于E，BD = CE。求证：是等腰三角形。2、用反证法证明：一个三角形中至少有一个角大于或等于60模块三 形成提升1、如图，在ABC中，AB = AC，DEBC，求证：ADE是等腰三角形。2.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于1/5.模块四 小结反思这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？知识点：方法：本节易(混)错点：【课外作业】A层：1、如图，A =B，CEDA，CE交AB于E。求证：CE = CB。2、把下列命题用反证法证明时的第一步

10、写出来。a)我每天工作不超过24小时；b)我们班有62人，今天出席人数为61，有同学缺席；c)初三级有730人，有12个班，平均每个班都超过60人；d)三角形中必有一个内角不少于60度；e)一个三角形中不能有两个角是钝角；f)垂直于同一条直线的两条直线平行。B层：3、如图，在中，ABC的平分线交AC于点D，DEBC。求证：EBD是等腰三角形。第一节 等腰三角形（四）【学习目标】1、探索并证明等边三角形的判定定理2、探索并证明定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边是斜边的一半。【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合【学习重难点】重点：等边三角形的判定定理证明和应用。难点

11、：运用等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质解决实际问题。【学习过程】模块一 预习反馈1请同学们阅读教材10页12的内容，并完成教材12页的随堂练习2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。3.预习交流1、等边三角形的判定1）三条边都相等的三角形是等边三角形 。2）三个角都相等的三角形是等边三角形 。已知：求证：证明：3）有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形。已知：求证：证明：3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。已知：求证：证明：模块二 合作

12、探究1、 已知：如图，ABC是等边三角形，DEBC，交AB、AC于D、E。求证：ADE 是等边三角形。2、如图，ABC是等边三角形，BD = CE，1 =2。求证：ADE是等边三角形。3、如图，在Rt中，B = 30，BD = AD，BD = 12，求DC的长。模块三 形成提升1、填空：（1）如图1，BC = AC，若 ，则ABC是等边三角形。（2）如图2，AB = AC，BCAD，BD = 4，若AB = ，则ABC是等边三角形。（3）如图3，在Rt中，B = 30，AC = 6cm，则AB = ；若AB = 7，则AC = 。 图1 图2 图3（4）如图，RtABC中，A=30,AB+BC

13、=12 cm，则AB=_cm.2、已知：如图，在ABC中，AB=AC, BAC=120, D、E是BC上两点，且AD=BD，AE=CE，猜想ADE是 三角形并证明。模块四 小结反思这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？知识点：方法：本节易(混)错点：【课外作业】A层：1、填空：（1）如图1，AB = AC，AD是ABC的一条中线，AB = 5，若BD = ，则ABC是等边三角形。（2）如图2，BAC120，ABAC，AB14，则AD = 。图1 图22、已知：中，AB = 40，求DB的长。B层：3、在四边形ABCD中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，求：AB的长第二节 直角三

14、角形（一）【学习目标】1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。2、证明直角三角形的性质定理和判定定理3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合【学习重难点】重点：直角三角形性质定理和判定定理证明和应用难点：结合具体例子了解互逆命题的概念。【学习过程】模块一 预习反馈一预习要求1请同学们阅读教材14页16的内容，并完成教材16页的随堂练习2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。3.预习交流（1）直角三

15、角形的性质：直角三角形的两锐角互余（2）直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形（3）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。已知：求证：证明：（4）勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。已知：求证：证明：（5）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。（6）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。模块二 合作探究1、如图，BADA于A，AD = 12，DC

16、= 9，CA = 15，求证：BADC。2、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a，则a=_。3、已知：如图，ABC中，CDAB于D，AC=4，BC=3，DB=。（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：ABC是直角三角形.模块三 形成提升1、填空：（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为 。（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是 三角形。2、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。1）初三（6）班有62位同学；2）等边对等角；3）对顶角相等；4）平行四边形的两组对边相等；5

17、）正方形的四条边都相等；3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，ACB90，AC80米，BC60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？模块四 小结反思这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？知识点：方法：本节易(混)错点：【课外作业】A层：1、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来。（1）矩形是平行四边形 。 （2）内错角相等，两直线平行。（3）如果，则 。（4）全等三角形对应角相等。（5）对顶角相等2、如图，ABBC，DCBC，E是BC上一点，BAE=DEC=60，AB=3，

18、CE=4，则AD等于 。B层：3、如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得A=50，B=40，AB=5 km,BC=4 km，若每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？第二节 直角三角形（二）【学习目标】1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合【学习重难点】重点：直角三角形全等“HL”判定定理。难点：从图中找出隐含条件。【学习过程】模块一 预习反馈1请同学们阅读教材18页20的内容，并完成教材20页的随堂练习2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的

19、随堂练习和习题；数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。3.预习交流（1）一般三角形全等判定方法有： 。（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（“斜边、直角边”或“HL”）已知：求证：证明：模块二 合作探究1、在RtABC中，C = 90，且DEAB，CD = ED，求证：AD是BAC的角平分线。2、如图，ACB = ADB = 90，AC = AD，E是AB上的一点。求证：CE = DE。3、在ABCABC中，CD，CD分别分别是高，并且ACAC，CD=CDACB=ACB求证：ABCABC模块三 形成提升1、填空：.如下图，RtABC和RtDEF，C=F

20、=90。（1）若A=D，BC=EF，则RtABCRtDEF的依据是_.（2）若A=D，AC=DF，则RtABCRtDEF的依据是_.（3）若A=D，AB=DE，则RtABCRtDEF的依据是_.（4）若AC=DF，AB=DE，则RtABCRtDEF的依据是_.（5）若AC=DF，CB=FE，则RtABCRtDEF的依据是_.2、如下图，CDAD，CBAB，AB=AD，求证：CD=CB。四 小结反思这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？知识点：方法：本节易(混)错点：【课外作业】A层：1、如上右图，在RtABC和RtDCB中，AB=DC，A=D=90，AC与BD交于点O，则有_，其判定依据是

21、_，还有_，其判定依据是_.2、如图，B =E = 90，AC = DF，BF = EC。求证：BA = ED。B层：3、如图，AD是BAC的角平分线，DEAB，DFAC，BD = CD，AB = AC，求证：EB = FC。第三节 线段的垂直平分线（一）【学习目标】1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合【学习重难点】重点：线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用。难点：线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明。【学习过程】模块一 预习反馈1请同学们阅读教材22页23的内

22、容，并完成教材23页的随堂练习。2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。3.预习交流（1）、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。即：如图若P在线段AB的垂直平分线CD上，则有 。已知：求证：证明：（2）、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。即：如图若PA = PB，则P点在 。已知：求证：证明：模块二 合作探究1、如图，在ABC中，C = 90，DE是AB的垂直平分线。1）则BD = ；2）若B = 40，则BAC = ，DAB = ，DAC = ，CDA

23、 = ；3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = ，ACD的周长为 。2、如图，DE为ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E， AC = 5，BC = 8，求AEC的周长。3、在ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于D，ABC和DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。模块三 形成提升1、如图，已知AB = AC = 14cm，AB的垂直平分线交AC于D。1）若DBC的周长为24cm，则BC = cm；2）若BC = 8cm，则BCD的周长是 cm。2、已知在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 3cm，ABD的周长是13cm，求ABC的

24、周长。四 小结反思这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？知识点：方法：本节易(混)错点：【课外作业】A层：1、如图，ABC中，AB = AC，A = 40，DE为AB的中垂线，则1 = ，C = ，3 = ，2 = ；若ABC的周长为16cm，BC = 4cm，则AC = ，BCE的周长为 。2、如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC= 5cm，BC= 4cm，AE = 2cm，求CDB的周长。B层：3、如图，在ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，ABC的周长为12cm， ABD的周长为9cm，求AC的长度。第三节 线段的垂直平分线（二）【学习目标】1、能够利

25、用尺规作已知线段的垂直平分线。2、能够利用尺规作已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合【学习重难点】重点：用尺规作已知线段垂直平分线。难点：已知底边及底边上的高求作等腰三角形。【学习过程】模块一 预习反馈1请同学们阅读教材24页26的内容，并完成教材26页的随堂练习。2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。3.预习交流（1）、尺规作图是指用 作图。（2）、线段垂直平分线上的点到 。（3）、到一条线段两个端点距离相等的点，在 。（4）、三角形三

26、条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。已知：求证：证明：模块二 合作探究1、用尺规作线段的垂直平分线。2、已知直线和上一点P，利用尺规作的垂线，使它经过点P。3、已知：线段、求作：ABC，使AB = AC，且BC = ，高AD = 作法：模块三 形成提升1、ABC的三条边的垂直平分线相交于点P，若PA = 10，则PB = ，PC = 。2、已知：线段=4cm、=6cm求作：ABC，使AB = AC，且BC = ，高AD = 作法：四 小结反思这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？知识点：方法：本节易(混)错点：【课外作业】A层：1、分别作出直角三角形、锐角三角形、钝

27、角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置B层：2、已知：ABC中，AB=AC，AD是BC边一上的中线，AB的垂直平分线交AD于O。求证：OA=OB=OC 第四节 角平分线（一）【学习目标】1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理。2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合【学习重难点】重点：角平分线的性质定理、判定定理。难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。【学习过程】模块一 预习反馈1请同学们阅读教材28页29的内容，并完成教材29页的随堂练习。2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。3.预习交流（1）、点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。（2）、角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。即：如图，若点P在AOB的角平分线上，PEOA，PDOB。则有 。已知：求证：证明： （3）、定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。即如图，若PEOA，PDOB，且PD = PE，则 点P在 上。已知：求证：证明：模块二 合作探究1、如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且1 =2。求证：OB