工业机器人学第三章习题.docx
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工业机器人学第三章习题
Ａ
3-1.写出齐次变换矩阵Ｔ，它表示相对固定坐标系{A}作以下变换。
Ｂ
1）绕Z퐴轴旋转90°；
2）再绕X퐴轴转-90°；
푇
3）最后做移动【379】
；
Ａ
3-2.写出齐次变换矩阵Ｔ，它表示相对坐标系{B}做以下变换。
Ｂ
푇
1）移动【379】
；
2）绕X퐵轴旋转-90°；
3）绕Z퐵轴转90°。
3-3.求下面齐次变换的逆变换푇−1
010−1
00−12
−1000
T=[
]
0001
3-4.已知
0.250.430.865.0
Ａ
Ｂ
Ｔ
0.87−0.500−4.0
=[]
0.430.75−0.503.0
0001
Ａ求Ｔ
的第（2,4）元素．
Ｂ
3-5已知矩阵
？
0−10
？
001
？
−102
？
001][
代表齐次坐标变换，求其中的未知元素值（第一列元素）。
푈
3-6设工件相对于参考系{U}的描述为Ｔ
，机器人基座相对于参考系
푃
푈
的描述为Ｔ，已知
Ｂ
010−11001
00−12
−1000
푈=[
푇
푃
0105
푈
]푃=[]
퐵
0019
00010001
要求机器人手爪坐标系{H}与工件坐标系{P}重合，试求变换퐻퐵푇
3-7.已知坐标变换矩阵푈퐴푇,퐵퐴푇,푈퐶푇.
0.866−0.5000111000
0.5000.8660−100.866−0.50010
푈=[]퐵퐴푇=[
푇]퐴
001800.5000.866−20
00010001
0.866−0.5000−3
0.4330.750−0.5−3
퐶=[
푇]푈
0.2500.4330.8663
0001
画出空间尺寸链图，并求퐵퐶푇.
3-8.如图3-17所示的多面体顶点坐标系，试求4x4的齐次变换矩
阵푖−1푖푇和0푖푇（i=1,2,3,4,5）.
3-9.如图3-18所示的多面体各顶点坐标系，试求4x4的齐次变换
矩阵푖−1푖푇和0푖푇（i=1,2,3,4）.
3-10.如图3-19所正方体的顶点和中心坐标系，试求4x4的齐次变换
矩阵푖−1푖푇和0푖푇（i=1,2,3）。
注：
正方形边长为l。
푂1是空间对角线的中
点，푂2为棱边的中点。
3-11.如图3-16a所示的锲块要求变换到图所示的位置，求运动算子。
列算子序列，每次运动仅沿某轴平移或绕某轴旋转。
3-12图3-20a中所示的两个相同的锲块，要求将其重新变换为图3-
20b所示位置。
1）列出变换序列，每次变换表示沿某轴平移或绕某轴旋转，变换过
程中两锲块不许碰撞；
2）作图说明从右到左的各个变换；
3）作图说明从左到右的各个变换。
3-13用一个描述旋转（或平移）的变换左乘与右乘同一表示坐标系的
变换，所得结果是否相同？
为什么？
试举例作图说明。
3-14一个物体绕它的X轴转∅角，再绕他的新Y轴转φ角，按照欧拉
角方法，我们知道其方位可表示为
Rot（X,∅）Rot（Y,φ）
假若两次转动是绕固定参考系的坐标轴，结果是
Rot（Y,φ）Rot（X,∅）
可见，变换的顺序决定于转动是相对于固定框还是相对运动框描述的。
由此可以得到，相对固定框转动变换与相对运动框描述之间的关系
Rot（X,∅）Rot（Y,φ）푅표푡−1（X,∅）.
这是“相似变换”。
推导这一相似变换的矩阵，它相当于欧拉角表示
퐴푅푍푌푍（훼，훽，훾），见式（3-55）。
并利用所得结果导出旋转变换通式퐵
（3-68）。
3-16.已知位置矢量BP和坐标系{B}
0−1010
3
10020
P]퐵푇]B=[푈=[
2
0011
1
0001
试求：
（1）同一点P在参考系{U}中的描述UP；
（2）푈퐶푇,其中{C}是{B}绕基坐标系{U}的y轴旋转90°，再沿基坐标系
{U}x轴方向平移20所得到的的新坐标系；
（3）点P在坐标系{C}的描述퐶P；
（4）作图表示坐标系{U}、{B}和{C}，以及UP、퐵P、퐶P。
3-17已知旋转矩阵
R（K，θ）=[
010
00−1]
−100
试求其等效转轴K和等效转角θ。
3-18已知齐次变换矩阵
01010
00−120
H=[]
−1001
0001
把它看成绕某一轴线（不过原点）的旋转变换，求轴线K的方向余弦，
等效转角θ和轴线上的任一点。
3-19编写求旋转矩阵的等效转轴和等效转角的算法，并能处理θ=0°
和θ=180°两种特殊情况（提示：
可从（3-75）开始）。
3-20编写一个子程序，把旋转矩阵方位表示变为等效转轴一转角表
示。
当用PASCAL语言时，子程序说明开始如下：
ProcedureRMTOAA（VARR；mat33；VARK；vec3;VARthetareal）；
再编写另一个子程序把等效转轴转角表示变为旋转矩阵表示；
ProcedureAATORM（VARK；vec3;VARthetareal;VARR；mat33）；
输入具体数据对所编程序进行考核（包括一些较难的情况），验证所
编程序的正确性。
3-21仿照上题，编写旋转矩阵与RPY角、欧拉角法相互转变的子程
序。
3-22设想使矢量K旋转θ角，得新矢量Q’,即
Q’=R（K,θ）Q
应用式（3-68）导出Rodriques公式
Q’=Qcosθ+sinθ（KxQ）+（1-cosθ）（K·Q）K
3-23证明旋转矩阵R的特征值为1，푒훼푖和푒−훼푖其中i=√−1，说明与
特征值1对应的特征向量的物理意义。
3-24坐标系{B}最初与{A}重合，然后绕过原点的单位矢量K旋转角，
即
푅
퐴=R（K，θ）퐵
试证퐵퐴푅=푒푘휃，式中
0−퐾푋퐾푌
K=[퐾푍0−퐾푋]
−퐾푌퐾푋0
3-25证明Proper正交矩阵的Cayley公式。
3-26设想刚体上固结有两个单位矢量푣1和푣2，因为不论刚体怎样旋
转，此两矢量间的夹角不变，即刚体旋转是保角运算，由此证明，旋
转矩阵的逆等于它的转置，旋转矩阵是正交的。
3-27编写构造坐标系푈퐴푇的算法，坐标系{A}由三点푈푃1、푈푃2和푈푃3决
定，其中
（1）푈푃1是{A}的坐标原点；
（2）푈푃2位于{A}的X正半轴上;
（3）푈푃3位于{A}的XY坐标面上，并靠近Y的正半轴。
3-28写出位置矢量퐴푃的圆柱坐标θ、γ和z的表达式。
3-29写出位置矢量퐴푃的球（级）坐标α、β和γ的表达式，α是经度，
β是纬度。
3-30对于微分转动，sin휃=휃，cos휃=1,휃2=0，利式（3-68）推导
微分转动（绕K轴旋转θ）的公式。
3-31利用3-29题所得结果证明两个微分转动（无限小转角）是可交
换的（与转动顺序无关）。
3-32用欧拉参数（四元数）也可表示刚体的方位，它与等效转轴一转
角的关系为，
∈1=푘푥sin
휃
2
∈2=푘푦sin
휃
2
∈3=푘푧sin
휃
2
∈4=cos
휃
2
这四个数满足，因此称单位四元数，欧拉参数与旋转矩阵的关系为
1−2∈2−2∈232（∈1∈2−∈3∈4）2（∈1∈3+∈2∈4）
2（∈1∈2+∈3∈4）1−2∈12−2∈322（∈2∈3−∈1∈4）
2（∈1∈3−∈2∈4）2（∈2∈3+∈1∈4）1−2∈12−2∈23
푅∈=[]
∈1=
푟32−푟23
4∈4
∈1=
푟13−푟31
4∈4
∈1=
푟21−푟12
4∈4
1
2
=
√1+푟11+푟22+푟33
注意：
θ=180°时，∈4→0。
证明θ→180°是∈4的极限存在，位于
[-1,1]
3-33编写一种算法，根据旋转矩阵求解相应的单位四元数。
3-34刚体平面运动时有3个自由度，3维空间运动时有6个自由度。
1
2
试证明n维空间的刚体有
（푛2+푛）个自由度。
3-35已知速度矢量퐵푉和푇
퐴
퐵
10퐵=[
푉20]
30
0.866−0.5000110.5000.8660−3
퐴=[
푇]퐵
00190001
计算퐴푉
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