工业机器人学第三章习题.docx

1、工业机器人学第三章习题3-1.写出齐次变换矩阵 ，它表示相对固定坐标系A作以下变换。1) 绕Z轴旋转 90；2) 再绕X轴转-90；3) 最后做移动【3 7 9 】；3-2.写出齐次变换矩阵 ，它表示相对坐标系B做以下变换。1) 移动【3 7 9 】；2) 绕X轴旋转-90；3) 绕Z轴转 90。3-3.求下面齐次变换的逆变换10 1 0 1 0 0 1 21 0 0 0T = 0 0 0 13-4.已知0.25 0.43 0.86 5.0 0.87 0.50 0 4.0= 0.43 0.75 0.50 3.00 0 0 1 求 的第（2,4）元素3-5 已知矩阵？ 0 1 0？ 0 0 1？

2、 1 0 2？ 0 0 1 代表齐次坐标变换，求其中的未知元素值（第一列元素）。3-6 设工件相对于参考系U的描述为 ，机器人基座相对于参考系的描述为 ，已知0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 21 0 0 0 = 0 1 0 5 = 0 0 1 90 0 0 1 0 0 0 1要求机器人手爪坐标系H与工件坐标系P重合，试求变换3-7. 已知坐标变换矩阵 , .0.866 0.500 0 11 1 0 0 00.500 0.866 0 1 0 0.866 0.500 10 = = 0 0 1 8 0 0.500 0.866 200 0 0 1 0 0 0 1 0.866 0.500 0

3、 30.433 0.750 0.5 3 = 0.250 0.433 0.866 30 0 0 1画出空间尺寸链图，并求.3-8.如图 3-17 所示的多面体顶点坐标系，试求 4x4 的齐次变换矩阵1和0（i=1,2,3,4,5）.3-9. 如图 3-18 所示的多面体各顶点坐标系，试求 4x4 的齐次变换矩阵1和0（i=1,2,3,4）.3-10. 如图 3-19 所正方体的顶点和中心坐标系，试求 4x4 的齐次变换矩阵1和0（i=1,2,3）。注：正方形边长为 l。1是空间对角线的中点，2为棱边的中点。3-11.如图3-16a 所示的锲块要求变换到图 所示的位置，求运动算子。列 算 子 序

4、列 ， 每 次 运 动 仅 沿 某 轴 平 移 或 绕 某 轴 旋 转 。3-12 图 3-20a 中所示的两个相同的锲块，要求将其重新变换为图 3-20b 所示位置。1) 列出变换序列，每次变换表示沿某轴平移或绕某轴旋转，变换过程中两锲块不许碰撞；2) 作图说明从右到左的各个变换；3) 作图说明从左到右的各个变换。3-13 用一个描述旋转（或平移）的变换左乘与右乘同一表示坐标系的变换，所得结果是否相同？为什么？试举例作图说明。3-14 一个物体绕它的 X 轴转角，再绕他的新 Y 轴转角，按照欧拉角方法，我们知道其方位可表示为Rot（X, ）Rot（Y, ）假若两次转动是绕固定参考系的坐标轴，

5、结果是Rot（Y, ）Rot（X, ）可见，变换的顺序决定于转动是相对于固定框还是相对运动框描述的。由此可以得到，相对固定框转动变换与相对运动框描述之间的关系Rot（X, ）Rot（Y, ）1（X, ）.这是“相似变换”。推导这一相似变换的矩阵，它相当于欧拉角表示(，)，见式（3-55）。并利用所得结果导出旋转变换通式 （3-68）。3-16.已知位置矢量 BP和坐标系B0 1 0 1031 0 0 20P B = = 20 0 1 110 0 0 1试求：（1）同一点 P 在参考系U中的描述 UP；（2）,其中C是B绕基坐标系U的 y 轴旋转 90，再沿基坐标系Ux 轴方向平移 20 所得到

6、的的新坐标系；（3）点 P 在坐标系C的描述 P；（4）作图表示坐标系U、B和C，以及 UP、 P、 P。3-17 已知旋转矩阵R（K，） = 0 1 00 0 11 0 0试求其等效转轴 K 和等效转角。3-18 已知齐次变换矩阵0 1 0 10 0 0 1 20H = 1 0 0 10 0 0 1把它看成绕某一轴线（不过原点）的旋转变换，求轴线 K 的方向余弦，等效转角和轴线上的任一点。3-19 编写求旋转矩阵的等效转轴和等效转角的算法，并能处理 = 0和 = 180两种特殊情况（提示：可从（3-75）开始）。3-20 编写一个子程序，把旋转矩阵方位表示变为等效转轴一转角表示。当用 PAS

7、CAL 语言时，子程序说明开始如下：Procedure RMTOAA（VAR R；mat33；VAR K； vec3; VAR theta real）；再编写另一个子程序把等效转轴转角表示变为旋转矩阵表示；Procedure AATORM（VAR K；vec3; VAR theta real ;VAR R；mat33）；输入具体数据对所编程序进行考核（包括一些较难的情况），验证所编程序的正确性。3-21 仿照上题，编写旋转矩阵与 RPY 角、欧拉角法相互转变的子程序。3-22 设想使矢量 K 旋转角，得新矢量 Q,即Q=R（K, ）Q应用式（3-68）导出 Rodriques 公式Q=Q co

8、s+sin（KxQ）+（1-cos）（KQ）K3-23 证明旋转矩阵 R 的特征值为 1，和其中i = 1，说明与特征值 1 对应的特征向量的物理意义。3-24 坐标系B最初与A重合，然后绕过原点的单位矢量 K 旋转 角，即 =R（K，） 试证 = ，式中 0 K = 0 03-25 证明 Proper 正交矩阵的 Cayley 公式。3-26 设想刚体上固结有两个单位矢量1和2，因为不论刚体怎样旋转，此两矢量间的夹角不变，即刚体旋转是保角运算，由此证明，旋转矩阵的逆等于它的转置，旋转矩阵是正交的。3-27 编写构造坐标系的算法，坐标系A由三点 1、 2和 3决定，其中（1） 1是A的坐标原点

9、；（2） 2位于A的 X 正半轴上;（3） 3 位于A的 XY 坐标面上，并靠近 Y 的正半轴。3-28 写出位置矢量 的圆柱坐标、和 z 的表达式。3-29 写出位置矢量 的球（级）坐标、 和 的表达式，是经度，是纬度。3-30 对于微分转动， sin = ，cos = 1,2=0，利式（3-68）推导微分转动（绕 K 轴旋转）的公式。3-31 利用 3-29 题所得结果证明两个微分转动（无限小转角）是可交换的（与转动顺序无关）。3-32 用欧拉参数（四元数）也可表示刚体的方位，它与等效转轴一转角的关系为，1= sin22= sin23= sin24= cos2这四个数满足 ，因此称单位四元

10、数，欧拉参数与旋转矩阵的关系为1 2 2 2 23 2(1234) 2(13+24) 2(12+34) 1 2 12 2 32 2(2314) 2(1324) 2(23+14) 1 2 12 2 23 = 1=3223441=1331441=21124412=1 + 11 + 22 + 33注意： = 180 时，4 0 。证明 180是4的极限存在，位于-1,13-33 编写一种算法，根据旋转矩阵求解相应的单位四元数。3-34 刚体平面运动时有 3 个自由度，3 维空间运动时有 6 个自由度。12试证明 n 维空间的刚体有(2 + )个自由度。3-35 已知速度矢量 和 10 = 20300.866 0.500 0 11 0.500 0.866 0 3 = 0 0 1 9 0 0 0 1计算