高二下学期期中考试数学理科模拟试题.docx
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高二下学期期中考试数学理科模拟试题
高二下学期期中考试数学（理科）模拟试题
一、选择题：
（本大题共10小题，每小题5分，共60分）
1．设复数，则在复平面内对应的点在
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是
A．假设三内角都不大于于B.假设三内角都大于
C．假设三内角至多有一个大于于D.假设三内角至多有两个大于
3．若复数，则“是纯虚数”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．函数的图象如图所示，若，
则等于
A．B．C．0D．
5．复数满足，且，则等于
A．B．C．D．
6．的值为
A．B．C．D．
7．函数的图象如图所示，则的图象最有可能是
8．电视台某节目的现场观众来自四个单位，分别在图中四个区域内坐定，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色不受限制，那么不同着装的方法有几种。
A.80B.84C.108D.72
9．用数学归纳法证明，从“k到k+1”，左端需要乘的代数式为（）
A.2k+1B.2（2k+1）C.D.
10．若在上是减函数，则b的取值范围是（）
A．B．C．D．
11.对于函数，下列说法正确的是：
A既有极大值，又有极小值B只有极小值，没有极大值
C只有极大值，没有极小值D没有极值
12.定义：
若存在常数，使得对于定义域D内的任意两个不同的实数，均有成立，则称函数在定义域D上满足利普希茨条件，对于函数满足利普希茨条件，则常数的最小值应是
ABC1D2
二、填空题：
（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13.曲线与直线及直线所围成的曲边三角形的面积为
14.函数图像上的点到直线距离的最小值是
15.若复数为纯虚数，其中，则=
16．13．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图
（2），如此下去，得图（3）……，
试用n表示第n个图形的边数=______________.
三、解答题：
17.证明下列问题
（1）求证：
（2）设a,b,c,为均大于1的数，且；
求证：
18．已知函数
（I）若是的极值点，求在上的最大值；
（Ⅱ）若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围。
19．已知函数、，曲线经过点，且在点处的切线垂直于轴，设。
（I）用分别表示和；
（Ⅱ）当取得最小值时，求函数的单调递增区间。
20．已知数列的前项和为。
（I）求的值；
（Ⅱ）猜想的表达式；并用数学归纳法加以证明。
21．已知三次函数在处取得极大值，且是奇函数.
（1）若函数的图像在x=0处的切线与直线：
垂直，求的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
22.设函数给定数列，其中.
（1）若为常数列，求a的值；
（2）判断与2的大小，并证明你的结论；
（3）当时，求证：
＜2+
参考答案及评分标准
一、选择题：
DBBCBDCBBCCA
二、填空题：
三、解答题：
17.
（1）证明：
要证，
需要证1分
需证：
3分
需证5分
因为22<30所以,
故.6分
（2）证明：
要证
需证7分
由于c>1,只需要证8分
即证需证
需证9分
由于ab=10,则lgab=1即lga+lgb=1
而a,b均为大于1 的数，即lga>0
且lgb>0,则lga+lgb≥
11分
故12分
18．解：
（I）。
，即
，解得或（舍去）
当变化时，、的变化情况如下表：
1
3
（3，5）
5
0
15
因此，当时，在区间[1，5]上有最大值是
（Ⅱ）是上的单调递增函数转化为在上恒成立。
从而有的，解得。
19．解：
（I）经过点
；
由切线垂直于轴可知，从而有，
（Ⅱ）因为而，
当且仅当，即时取得等号。
因为
时为单调递增函数，即为单调递增区间
20．解：
（I）
（Ⅱ）猜想
数学归纳法证明：
（1）当时，猜想成立；
（2）假设时猜想成立，即有：
，
则时，因为，
即：
；
由假设可知；
从而有时，猜想成立；
由
（1）
（2）可知，成立
21.（满分14分）．解：
（1）f（x）-2是奇函数，f（-x）-2=-，
f（x）=ax3+bx2+cx+d,∴-ax3+bx2-cx+d-2=-ax3-bx2-cx-d+2,∴bx2+d-2=0,
xR,∴b=0,d=2,（2分）
∴f（x）=ax3+cx+2，∴f’（x）=3ax2+c
f（x）在x=-1处取得极大值，
∴f’（-1）=0，∴3a+c=0,∴c=-3a3分
又直线l：
x-3y+1=0的斜率为，f（x）的图像在原点处的切线与直线l垂直。
∴f’（0）=-3，c=-3∴a=1，5分
∴f’（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1），
当x＜-1时，f（x）=x3-3x+2。
f’（x）＞0，当-1＜x＜1时，f’（x）＜0，
∴f（x）在x=-1处取得极大值，符合题意。
7分
（2）由
（1）知f（x）=ax3-3ax+2，f’（x）=3ax2-3a=3a（x-1）（x+1），8分
令f’（x）=0，得x=1或x=-1。
f（x）在x=-1处取得极大值，9分
∴当x＜-1时，f’（x）＞0.当-1＜a＜1时，f’（x）＜0∴a＞0.当x时，不等式f（x）0恒成立等价于f（x）min0，11分
f（x）在上是减函数，∴f（x）的最小值为f
（1），12分
∴f
（1）0，∴2-2a0，∴a1。
13分
综上所述，a的取值范围是0＜a1。
14分
22.（满分14分）．解析：
（1）若为常数列，则an=a由an+1=f（an），
得：
a=f（a）（1分）
，，
a＞1，a=2（a-1），解得：
a=2（4分）
（2）当a=2时，有
（1）知an=2；（5分）
当a2时，a1=a，an+1==，∴a2==，
∴-2=-2==＞0，∴a2＞2，（6分）
a3-2=-2=＞0，a3＞2，猜想当n2时，an＞2。
（7分）
下面用数学归纳法证明：
1°当n=2时，a2＞2，故猜想成立;
2°假设当n=k（k2）时，猜想成立，即ak＞2，即当n=k+1时，（8分）
ak+1=f（ak）=，∴ak+1-2＞=（9分）
由1°2°可知，对于一切不小于2的正整数n都有an＞2.
综上所述，当a=2时，an=2；
当1＜a＜2时，a1＜2，an＞2（n）
当a＞2时，an＞2.（10分）
（3）由an+1==×=（an+1+）
当a＞2时，an＞2，＜1，
∴（an+1+）＜（an+1+1）=an+1，∴an+1＜an+1（11分）
∴0＜an+1-2＜（an-2），∴0＜＜，（12分）
∴an-2=×…××（a1-2）＜（a1-2）（）n-1=（a-2）（）n-1
∴an＜2+（a-2）（）n-1，（13分）
2＜a＜3，an＜2+（）n-1，（14分）
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