大象种群的管理数学建模论文.doc
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东南大学第二届
大学生数学建模竞赛
2008年5月29日12时－6月3日12时
参赛题目AB
（在所选题目上打勾）
参赛队员1
参赛队员2
参赛队员3
姓名
皋宇
王迪臻
于荣
学号
学院
专业
年级
电话
Email
东南大学教务处
东南大学数学建模竞赛组委会
大象种群的管理
摘要
一家大型自然公园散养了大约11000头大象，为了给大象创造一个健康的生存环境，需要将大象的总数控制在11000头左右。
本文通过一系列的研究，算出了大象的存活率，推测了大象的年龄结构，提出了大象的总数的控制方案。
第一问：
通过过去两年运走的大象数目，根据随机抽样的规律知，抽样大象的数目反应了大象当前的年龄结构（详见问题一中的年龄结构图表），再用分组求平均值的方法测出大象2~60岁的存活率为：
98.14%，之后的存活率线性递减，到70岁之后存活率为0.
第二问：
本题中通过leslie模型，对大避孕针后新的有效生育率进行求解，进而得出每年需要避孕的大象头数。
而其中又讨论了三种情况：
（1）不考虑重复避孕的母象头数，直接对13~60岁间的大象避孕，所需避孕的头数为1143。
（2）不考虑重复避孕的母象头数，大避孕针可能打到所有的年龄段，此时得出需要避孕的大象增多，为1757头。
（3）考虑重复避孕的情况,整个年龄段都可以打避孕药，则每年需要避孕2195头大象。
第三问:
如果考虑每年可以迁出50~300头大象，此处我们有两种理解，建立了两个模型：
（1）每年大象的头数稳定增加，增长率为0.004545~0.02727，然后在每年的年末移出50~300头大象，这样就可以控制大象的头数稳定在11000头，根据leslie模型，这样就可以算出特征值为1.004545~1.02727，根据特征值求出此时避孕后的有效生育率为0.0609~0.1224，若不考虑重复避孕，可得每年需避孕13~60岁间的大象217~1009头，亦可以避孕所有年龄大象中的425~1593头；如果考虑重复避孕，则：
可得每年需避孕所有年龄大象中的443~1933头。
（2）考虑leslie模型的特征值是一定的，为1，但其存活率因为大象的移走而不断变化，对此分析考虑，所得结果具体见论文中表格。
第四问：
研究可得，因为避孕使得种群年龄结构老龄化，导致种群的稳定性减弱。
假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,总数恢复到期望值也需要很长时间，并且会对大象群的种群结构产生很大影响，对于恢复存在不良影响。
最后，对所设立的方案模型通过蒙特卡罗随机模拟法进行计算机模拟，验证以上计算的理论结果，模拟结果表明，结果是合理的。
问题背景：
一家大型自然公园散养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。
每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。
过去20年里，公园每年都要移去一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现的。
统计表明，每年约处理600-800头大象。
近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。
但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。
一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。
1建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构.
2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响。
3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少。
4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题.
模型假设：
1几乎没有大象迁入或迁出；
2性别比接近1：
1，采取控制后，也维持这个比例；
3初生象的性别比也是大约1：
1；
4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月，可以假设母象均在11岁怀孕，且从13岁开始生出小象。
5取按年循坏的方案；
6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；
7假设初生象存活到1岁的比例为75%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁，设其在60~70之间的存活率线性递减，而70岁往后的死亡率为100%。
8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑。
符号说明：
1、：
第i年龄组母象个体在1个时段内平均繁殖的数量。
2、：
第i年龄组母象个体在1个时段内的存活率。
3、L:
leslie矩阵。
4、n：
移出大象的头数。
5、r：
特征值。
6、q1：
母象的总数。
7、为岁数为t的大象在第i年时的个数
问题一
建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构.
模型1：
过去两年迁出的大象时从随机抽样中来的，所以它的结构可以反应向群总体的年龄结构。
将过去两年迁移出的总的大象的数目两个向量表示如下
X1=[1037771……02]
X2=[987469……00]
令x为x1与x2的和（或平均值，效果一样）
X=X1+X2
则x的结构即可以表示目前的大象年龄结构。
将x中各值的范围控制在合理的范围内利于输出观察，令y0=x/norm（x,1）;利用matlab显示其年龄结构即为：
a=0:
70;
bar（a,y0,'stacked'）;
则年龄结构如图所示：
其2~60岁大象可能的存活率可以根据结构向量的后项与前项比得到，本题中，具体做法是，将2~60岁年龄的大象分为前项为2~9岁，10~19岁，20~29岁，30~39岁，40~49岁，50~60岁，求出大致的存活率，再求出平均值，可以得到：
求得ans平均值=（0.9672+0.9851+0.9962+0.9789+0.9749+0.9859）/6=0.9814
所以说，2~60岁的存活率为98.14%，与题目中所给的>95%一致。
求得ans平均值=（0.9672+0.9851+0.9962+0.9789+0.9749+0.9859）/6=0.9814
所以说，2~60岁的存活率为98.14%，与题目中所给的95%接近。
（程序代码见附录）
问题2：
在问题二中我们分为不考虑重复打针与考虑重复打针两种情况在这一种情况中我们建立了三个模型序号为2，3，模型2讨论了打针时区分有效年龄，模型3讨论了不区分年龄段的情况；第二种情况我们考虑了重复打针的情况
模型2：
1不考虑两年内被重复注射的雌性数量。
（重复的稍复杂，下面再分析）
2假设打避孕针的时候能够区分有效年龄段13～61
1，13~60岁母象生幼年母象率=1/3.5*（1+0.0135）/2=0.1448
可得，leslie模型中的leslie矩阵为：
=
通过matlab求其特征值：
l=zeros（71,71）;l（2,1）=0.75;
fori=14:
61
l（1,i）=0.1448;
end
forj=3:
61
l（j,j-1）=0.9814;
end;l;
fork=62:
71
l（k,k-1）=0.9814-0.9814*（k-61）/10;
end
eig（l）
ans=0……
1.0333……
如上，求得特征根为1.0333，大于1，如果不进行避孕注射，该大象种群将无限增长下去，所以要进行避孕注射。
2、求避孕繁殖率
根据Leslie矩阵的性质知道，要保持种群稳定，必须使得特征根为1，即使得下面式子成立：
而此题中
，，
带入数据：
解得：
b=0.0523
所以打完避孕针的繁殖率为0.0523
3、验证b的正确性：
l=zeros（71,71）;l（2,1）=0.75;
fori=14:
61
l（1,i）=0.0523;
end
forj=3:
61
l（j,j-1）=0.9814;
end;l;
fork=62:
71
l（k,k-1）=0.9814-0.9814*（k-61）/10;
end
eig（l）
ans=
0……
1.0000
0.9501+0.1205i
0.9501-0.1205i……
4、求生育母象的比例
解得特征向量为：
>>n1=zeros（1,71）;
n1
（1）=1;
n1
（2）=0.75;
fori=3:
61
n1（i）=n1（i-1）*0.9814;
end;
fori=62:
71
n1（i）=n1（61）*（1-（i-61）/10）;
end;
>>n1
>>a=norm（n1）
a=
3.8515
>>a=norm（n1,1）
a=
29.3663
>>b=n1（:
[14:
61]）
>>norm（b,1）
ans=
19.1174
>>c=ans/a
c=0.6510
知：
稳定后，可生孕的母象的比例为：
65.10%
5、求每年需要避孕的母象数量（不考虑重复打针，在有效年龄打针）
由以上知道：
打避孕药后leslie矩阵中第一行的所有0.1448应该替换为0.0523，而这样的调整需要对母象大避孕药后实现，设每年被打避孕针的13~60岁的母象数为n。
一次注射可以使得一头成熟的母象在两年内不会受孕，所以实际上每年共有2n头大象处于避孕期
方案1：
设此系统中13~61岁避孕的母象的比例为k，13~61母象总数为5500*65.10%（N），则，因为一次注射可以使得一头成熟的母象在两年内不会受孕，所以实际上每年共有2kN头大象处于避孕期。
所以新的出生率应该为：
=0.0523
即为b可以求得：
k=31.941%，
每年要避孕的大象总数n为：
65.10%*5500*k=1143头。
方案2：
具有（b-b0）繁殖率母象所生的幼象的数目应该等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目：
解之得=1143头。
即每年大约需要给1143头母象大避孕针。
分析：
用两种不同的方案得到的结果是一致的故该数据是正确的
模型3
两点假设：
1不考虑两年内被重复注射的雌性数量。
2抽取打避孕药的大象完全是随机的，可以是任意年龄的大象
如果不区分小象大象老象，直接抽取所有母象中百分比为k的象打避孕药，母象总数q1，则，
其他分析均同模型1，只有求出的n值不一样：
=0.0523
可以解得，k=0.319，所以n=q1*0.319=1755头。
2、假设我们在打避孕针时是随机的，即大象的年龄<=12岁时也有打到避孕针的可能性时
用利用蒙特卡罗随机模拟法来模拟十次避孕大象为1755头的结果如下
第一次b=0.0522
第二次b=0.0522
第三次b=0.0525
第四次b=0.0526
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