空间解析几何与向量代数复习题答案.docx
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空间解析几何与向量代数复习题答案
间解析几何与
向量代数
1.
2.
3.
4.
5.
、选择题
已知A（1,0,2）,
设a=（1,-1,3
（-1,1,5）.
设a=（1,-1,3
-i-2j+5kB
B（1,2,1）
求两平面x2y
已知空间三点
是空间两点，向量AB的模是
（A）
b=（2,-1,2）,求c=3a-2b是（B）
（-1,-1,5）.C（1,-1,5
）.D（-1,-1,6）
b=（2,1,-2
-i-j+3kC
z30和2x
）,求用标准基i,j,k表示向量c=a-b为（A
-i-j+5kD-2i-j+5k
yz50的夹角是（c）
M（1,1,1）、A（2,2,1）
和B（2,1,2）,求/AMB1（C）
6.求点M（2,1,10）到直线L：
1z2
1的距离是：
（A）
A138B
118
158D
7.设aik,
rrrrr
2i3jk,求ab是：
（D）
D3i-3j+3k
A-i-2j+5kB-i-j+3kC-i-j+5k
8.设/ABC的顶点为A（3,0,2）,B（5,3,1）,C（0,
1,3）,
求三角形的面积是：
（A）
9.求平行于z轴,
且过点
M1（1,0,1）和M2（2,
1,1）的平面方程是：
（D）
A2x+3y=5=0
x-y+1=0
Cx+y+1=0
10、若非零向量a,b满足关系式
则必有
（C）；
11、设a,b为非零向量,
ab,则必有（C）
ab||a||b
Aab||a||b
aba
12、已知a=2,1,2
b=
1,3,2，则Prjba=
）；
a5；
5
■■14•
13、直线y1Z1与平面2xyz40的夹角为（B）
101
A
-；B
7
C
D
6
3
4
2
14、
点（1,1,1）在平面x2y
z1
0的投影为
（A）
（A）
丄,0,3；（B）
丄,0,
3；（C）
1,1,0；（D）
111
22
2
2
22
15、
向量a与b的数量积a
b=（C
）.
A
arjba；B
arj
ab；C
arjab；D
brjab.
16、
非零向量a,b满足ab
0，则有（C）.
Aa//b;Bab（为实数）；Cab;Dab0.
17、设a与b为非零向量，则ab0是（A）.
Aa//b的充要条件；Ba丄b的充要条件；
Cab的充要条件；Da//b的必要但不充分的条件.
18、设a2i3j4k,b5ijk，则向量c2ab在y轴上的分向量是（B）.
A7B7jC-1;D-9k
22.2
19、方程组2xy4z9表示（B）.
x1
A椭球面；Bx1平面上的椭圆；C椭圆柱面；D空间曲线在x1平面上的投影.
20、方程x2y20在空间直角坐标系下表示（C）
A坐标原点（0,0,0）；Bxoy坐标面的原点（0,0）；Cz轴；Dxoy坐标面.
22、设空间三直线的方程分别为
AL1//L2；BL1//L3；CL2L3；DL1L2.
23、直线J$4Z与平面4x2y2z3的关系为（A）.
273
A平行但直线不在平面上；B直线在平面上；
C垂直相交；D相交但不垂直.
24、已知a1,b.2,且（a,b）-,贝Uab=（D）.
4
A1；B12；C2；D5.
25、下列等式中正确的是（C）
26、曲面x2
z在xoz平面上的截线方程为
Ax2
x2y20.
z0；
x2
、计算题
解：
由题设知
2.设m3i
5j8k，n2i
4j7k和p5ij4k，求向量a
4m
3n
p在x轴上
的投影及在y轴上的分向量。
解：
a43i5j8k32i4j7k5ij4k13i7j15k
故a在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量为7j。
3.在xoz坐标面上求一与已知向量a2,3,4垂直的向量。
解：
设所求向量为bX0,O,z°，由题意,
取Z01,得X02，故b2,0,1与a垂直。
当然任一不为零的数
与b的乘积b
也垂直a。
4.求以A1,2,3,B3,4,5,C1,2,7为顶点的三角形的面积S。
由向量积的定义，
可知三角形的面积为S1
2
ABAC
因为
uuu
AB2,2,2,
uur
AC
2,4,4
，所以
uuuuuur
ABAC
16,12,4,
于是，S
6222
42269.
5.求与向量
2,0,1,
1,
1,2
都垂直的单位向量。
解：
由向量积的定义可各,
c，则c同时垂直于a和b，且
3j2k,
因此，与c
ab平行的单位向量有两个:
|c|
|ab|,12
―►—r-—►
i3j2k
22
A―k—fc-—b
i3j2k和
14
6.求球面x2
z29与平面xz1的交线在xoy面上的投影的方程。
解：
由x
1，得z1x，代入x2y2z29，消去z得x2y2
1x29，即
2x22xy28，这就是通过球面x2y2z29与平面xz1的交线，并且母线平行
22
于z轴的柱面方程，将它与z0联系，得：
2x2xy8，即为所求的投影方程。
z0
7、求过A1,1,1，B2,2,,2和C1,1,2三点的平面方程。
31,3,2
解一：
点法式：
AB3,3,3，AC0,2,3，取
nABAC
解法二：
用一般式，设所求平面方程为
将已知三点的坐标分别代入方程得
解得
3A
2A，得平面方程：
x3y2z0
解：
n2,2,1为此平面的法向量，设此平面与xoy的夹角为，则
9.分别按下列条件求平面方程
（1）平行于xoz面且经过点2,5,3;
⑵通过z轴和点3,1,2；
（3）平行于x轴且经过两点4,0,2和5,1,7。
解：
（1）因为所求平面平行于XOZ面，故rj0,1,0为其法向量，由点法式可得:
0x21y50z30，
即所求平面的方程：
y50。
⑵因所求平面通过z轴，其方程可设为AxBy0（*），已知点3,1,2在此平面上,
因而有3AB0,即B3A，代入（*）式得：
Ax3Ay0，即所求平面的方程为：
x3y0。
⑶从共面式入手，设Px,y,z为所求平面上的任一点，点4,0,2和5,1,7分别用A，
B表示，则AP，AB，i共面，从而AP,AB,i
x4yz2
1190，于是可得所求平
100
面方程为：
9yz20。
11•求过点0,2,4且与两平面x2z1和y3z2平行的直线方程。
从而sn，由此可知直线平等于平面或直线在平面上
再将直线上的点A（3,4,0）的坐标代入平面方程左边，得
43242043，即A不在平面上，故直线平行于平面
13.求过点1,2,1而与直线11:
2yz10
yz10
1,2,3为直线h的方向向量,
rrr
1
uu
s2
0,1,1直线l2的方向向量
jk
211
111
riruu
取n$s
rrr
ijk
123
011
1,1,1，则通过点
1,2,1并以n为法向量的平面方程
xyz0即为所求的平面方程。
17b与v3ab互相垂直.
14、已知a2,b5,（a,b）£,问为何值时，向量ua
解由uv0得（a
17b）（3ab）0，即卩3
2
a|（51
）ab17b
将a2,b5,（a,b）
2T代入得：
12
（51
）10cos—
3
4250,
40.
解得
15、求两平行面3x
6y
2z
14
0与3x6y2z
70之间的距离.
解在平面3x
6y
2z
14
0上取点M（0,0,7）,
则点M到平面
3x
6y
2z
70的距离
即为所求：
d暑2
（2）
16、求过点（3,2,5）且与两平面x4z30和2xy5z10的交线平行的直线方程.
解设sm,n,p为所求直线的一个方向向量，由题意知s与两个平面的法向量
n11,0,4和n22,1,5同时垂直，故有sn10,sn20,
故所求直线方程为3山乙_§
17、一平面过点（1,0,1）且平行向量a2,1,1和b1,1,0，试求这平面方程.
ijk
由条件可取nab211
110
于是1（x1）1（y0）3（z1）0，
即xy3z40为所求平面方程.
于是,
i：
2xyz0平行的平面方程
xyz0
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