空间解析几何与向量代数复习题答案.docx

1、空间解析几何与向量代数复习题答案间解析几何与向量代数1.2.3.4.5.、选择题已知 A(1,0,2),设 a= (1,-1,3(-1,1,5 ).设 a= (1,-1,3-i -2 j +5k BB(1,2,1)求两平面x 2y已知空间三点是空间两点，向量AB的模是(A ),b= (2,-1,2 ),求 c=3a-2b 是(B )(-1,-1,5 ) . C (1,-1,5).D (-1,-1,6 ),b= (2, 1,-2-i -j +3k Cz 3 0 和2x）,求用标准基i , j , k表示向量c=a-b为（A-i -j +5k D -2i - j +5ky z 5 0的夹角是（c

2、）M(1,1,1) 、A(2,2,1)和 B (2, 1, 2),求/ AMB1( C)6.求点M （2, 1,10）到直线L：1 z 21的距离是：（A ）A 138 B,118158 D7.设 a i k,r r r r r2i 3j k,求 a b 是：(D )D 3i -3j+3kA -i -2j +5k B - i -j +3k C - i -j +5k8.设/ ABC 的顶点为 A(3,0,2), B(5,3,1), C(0,1,3),求三角形的面积是：（A ）9.求平行于z轴,且过点M1(1,0,1)和 M2(2,1,1）的平面方程是：（D）A 2x+3y=5=0x-y+1=0C

3、 x+y+1=010、若非零向量a,b满足关系式,则必有（C ）；11、设a,b为非零向量,a b,则必有（C ）a b| |a| |bA a b| |a| |baba12、已知 a= 2, 1,2,b =1, 3,2，则 Prjba =）；a5 ；5 14 13、直线y 1 Z 1与平面2x y z 4 0的夹角为 （B ）1 0 1A-； B7CD634214、点(1,1,1)在平面x 2yz 10的投影为(A )(A)丄,0,3 ； (B)丄,0,3 ； (C)1, 1,0 ； (D)1 1 12 2222 215、向量a与b的数量积ab= ( C).Aa rj ba ； Ba rjab

4、 ； Ca rj ab ； Db rj ab .16、非零向量a,b满足a b0，则有（C ）.A a / b; B a b （为实数）；C a b; D a b 0.17、 设a与b为非零向量，则a b 0是（A ）.A a / b的充要条件； B a丄b的充要条件；C a b的充要条件； D a / b的必要但不充分的条件.18、 设a 2i 3j 4k,b 5i j k，则向量c 2a b在y轴上的分向量是（B）.A 7 B 7 j C - 1; D -9 k2 2 .219、 方程组2x y 4z 9 表示（B ）.x 1A椭球面；B x 1平面上的椭圆；C椭圆柱面；D空间曲线在x 1

5、平面上的投影.20、方程x2 y2 0在空间直角坐标系下表示 （C ）A 坐标原点（0,0,0） ； B xoy坐标面的原点（0,0） ； C z轴；D xoy坐标面.22、设空间三直线的方程分别为A L1 / L2 ； B L1 / L3 ； C L2 L3 ； D L1 L2 .23、 直线 J $ 4 Z与平面4x 2y 2z 3的关系为（A ）.2 7 3A平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C 垂直相交； D 相交但不垂直.24、 已知 a 1,b .2,且（a,b）-,贝 U a b = （ D ）.4A 1 ； B 1 2 ； C 2 ； D 5 .25、下列等式中正确的是

6、（C ）26、曲面x2z在xoz平面上的截线方程为A x2x2 y2 0.z 0 ；x2、计算题解：由题设知2.设 m 3 i5j 8k，n 2i4j 7k和p 5 i j 4k，求向量a4m3np在x轴上的投影及在y轴上的分向量。解：a 43i 5j 8k 32i 4j 7k 5 i j 4k 13i 7j 15k故a在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量为7j。3.在xoz坐标面上求一与已知向量a 2,3,4垂直的向量。解：设所求向量为b X0,O,z，由题意,取Z0 1,得X0 2，故b 2,0,1与a垂直。当然任一不为零的数与b的乘积b也垂直a。4.求以A 1,2,3 , B 3,4,

7、5 , C 1, 2,7为顶点的三角形的面积S。由向量积的定义，可知三角形的面积为S 12AB AC,因为uuuAB 2,2,2 ,uurAC2, 4,4，所以uuu uuurAB AC16, 12, 4 ,于是， S62 2 24 2 2 69.5.求与向量2,0,1 ,1,1,2都垂直的单位向量。解：由向量积的定义可各,c，则c同时垂直于a和b，且3j 2k ,因此，与ca b平行的单位向量有两个:|c|a b | ,12 r- i 3j 2k2 2A k fc- bi 3j 2k 和146 .求球面x2z2 9与平面x z 1的交线在xoy面上的投影的方程。解：由x1，得 z 1 x，代

8、入 x2 y2 z2 9，消去 z得 x2 y21 x 2 9，即2x2 2x y2 8，这就是通过球面x2 y2 z2 9与平面x z 1的交线，并且母线平行2 2于z轴的柱面方程，将它与z 0联系，得：2x 2x y 8，即为所求的投影方程。z 07、求过A 1,1, 1，B 2, 2,2和C 1, 1,2三点的平面方程。3 1, 3, 2解一：点法式：AB 3, 3,3，AC 0, 2,3，取n AB AC解法二：用一般式，设所求平面方程为将已知三点的坐标分别代入方程得解得3A2A，得平面方程：x 3y 2z 0解：n 2, 2,1为此平面的法向量，设此平面与 xoy的夹角为，则9.分别

9、按下列条件求平面方程(1)平行于xoz面且经过点2, 5,3 ;通过z轴和点 3,1,2 ；（3）平行于x轴且经过两点4,0, 2和5,1,7。解：（1）因为所求平面平行于XOZ面，故rj 0,1,0为其法向量，由点法式可得:0x2 1y5 0z3 0，即所求平面的方程：y 5 0。因所求平面通过z轴，其方程可设为Ax By 0 （*），已知点 3,1, 2在此平面上,因而有3A B 0,即B 3A，代入（*）式得：Ax 3 Ay 0，即所求平面的方程为：x 3y 0。 从共面式入手，设P x,y,z为所求平面上的任一点，点 4,0, 2和5,1,7分别用A，B表示，则AP，AB， i共面，从

10、而 AP,AB, ix 4 y z 21 1 9 0，于是可得所求平1 0 0面方程为：9y z 2 0。11 求过点0,2,4且与两平面x 2z 1和y 3z 2平行的直线方程。从而s n，由此可知直线平等于平面或直线在平面上再将直线上的点A( 3, 4,0)的坐标代入平面方程左边，得4 3 2 4 2 0 4 3，即A不在平面上，故直线平行于平面13.求过点1,2,1而与直线11 :2y z 1 0y z 1 01, 2, 3为直线h的方向向量,r r r1uus20, 1, 1直线l2的方向向量j k21 11 1 1r ir uu取 n $ sr r ri j k1 2 30 1 11

11、,1, 1，则通过点1,2,1并以n为法向量的平面方程x y z 0即为所求的平面方程。17b与v 3a b互相垂直.14、已知a 2, b 5,（a,b） ,问为何值时，向量u a解 由u v 0得（a17b) (3a b) 0，即卩 32a| (51)a b 17b将 a 2, b 5,(a,b)2T代入得：12(51)10cos 3425 0 ,40 .解得15、求两平行面3x6y2z140 与 3x 6y 2z7 0之间的距离.解在平面3x6y2z140 上取点 M (0,0,7),则点M到平面3x6y2z7 0的距离即为所求：d暑2(2)16、求过点（3,2,5）且与两平面x 4z 3 0和2x y 5z 1 0的交线平行的直线方程.解 设s m,n,p为所求直线的一个方向向量，由题意知 s与两个平面的法向量n1 1,0, 4 和 n2 2,1, 5 同时垂直，故有 s n1 0,s n2 0,故所求直线方程为 3山乙_17、一平面过点（1,0, 1）且平行向量a 2,1,1和b 1, 1,0，试求这平面方程.i j k由条件可取nab 2 1 11 1 0于是 1 (x 1) 1 (y 0) 3 (z 1) 0，即 x y 3z 4 0为所求平面方程.于是,i ： 2x y z 0平行的平面方程x y z 0