NOIP普及组复赛试题附题解.docx
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NOIP普及组复赛试题附题解
noip2005普及组解题报告
陶陶摘苹果
【文件名】:
apple.pas/c/cpp
【问题描述】
陶陶家的院子里有一棵苹果树，每到秋天树上就会结出10个苹果。
苹果成熟的时候，陶陶就会跑去摘苹果。
陶陶有个30厘米高的板凳，当她不能直接用手摘到苹果的时候，就会踩到板凳上再试试。
现在已知10个苹果到地面的高度，以及陶陶把手伸直的时候能够达到的最大高度，请帮陶陶算一下她能够摘到的苹果的数目。
假设她碰到苹果，苹果就会掉下来。
【输入文件】
输入文件apple.in包括两行数据。
第一行包含10个100到200之间（包括100和200）的整数（以厘米为单位）分别表示10个苹果到地面的高度，两个相邻的整数之间用一个空格隔开。
第二行只包括一个100到120之间（包含100和120）的整数（以厘米为单位），表示陶陶把手伸直的时候能够达到的最大高度。
【输出文件】
输出文件apple.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示陶陶能够摘到的苹果的数目。
【样例输入】
100 200 150 140 129 134 167 198 200 111
110
【样例输出】
5
分析：
拿到这道题，我觉得还是比较简单的。
由于数据范围都不超过200，用integer完全就足够了，具体步骤如下：
1． 读入
2． 循环 1 to 10
3． 判断，找出最优解
4． 输出
【程序清单】
program apple;
var
i,n,s:
integer;
a:
array[1..10] of integer;
begin
assign（input,'apple.in'）;
reset（input）;
for i:
=1 to 10 do read（a[i]）;
read（n）;
s:
=0;
for i:
=1 to 10 do
if n+30>=a[i] then s:
=s+1;
close（input）;
assign（output,'apple.out'）;
rewrite（output）;
write（s）;
close（output）;
end.
校门外的树
【文件名】tree.pas/c/cpp
【问题描述】
某校大门外长度为L的马路上有一排树，每两棵相邻的树之间的间隔都是1米。
我们可以把马路看成一个数轴，马路的一端在数轴0的位置，另一端在L的位置；数轴上的每个整数点，即0，1，2，……，L，都种有一棵树。
由于马路上有一些区域要用来建地铁。
这些区域用它们在数轴上的起始点和终止点表示。
已知任一区域的起始点和终止点的坐标都是整数，区域之间可能有重合的部分。
现在要把这些区域中的树（包括区域端点处的两棵树）移走。
你的任务是计算将这些树都移走后，马路上还有多少棵树。
【输入文件】
输入文件tree.in的第一行有两个整数L（1 <= L <= 10000）和 M（1 <= M <= 100），L代表马路的长度，M代表区域的数目，L和M之间用一个空格隔开。
接下来的M行每行包含两个不同的整数，用一个空格隔开，表示一个区域的起始点和终止点的坐标。
【输出文件】
输出文件tree.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示马路上剩余的树的数目。
【样例输入】
500 3
150 300
100 200
470 471
【样例输出】
298
【数据规模】
对于20%的数据，区域之间没有重合的部分；
对于其它的数据，区域之间有重合的情况。
分析：
由于这道题存在着区域之间重合的情况，所以最好用一个数组表示状态，现将其全部置为1，若在区域之间就将其置为0。
再在最后进行判断，计算值为1的个数。
【程序清单】
program tree;
var
b:
array[0..10000] of integer;
a:
array[1..500,1..2] of integer;
j,s,l,i,m:
integer;
begin
assign（input,'tree.in'）;
reset（input）;
assign（output,'tree.out'）;
rewrite（output）;
read（l,m）;
for i:
=1 to m do
begin
read（a[i,1]）;
read（a[i,2]）;
end;
for i:
=0 to l do b[i]:
=1;
for i:
=1 to m do
for j:
=a[i,1] to a[i,2] do b[j]:
=0;
s:
=0;
for i:
=0 to l do
if b[i]=1 then s:
=s+1;
writeln（s）;
close（input）;
close（output）;
end.
采药
【文件名】：
medic.pas/c/cpp
【问题描述】
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。
为此，他想拜附近最有威望的医师为师。
医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。
医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：
“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。
我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。
如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。
”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
【输入文件】
输入文件medic.in的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。
接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
【输出文件】
输出文件medic.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
【样例输入】
70 3
71 100
69 1
1 2
【样例输出】
3
【数据规模】
对于30%的数据，M <= 10；
对于全部的数据，M <= 100。
分析：
由于其中的数据比较大，用普通简单的搜索肯定无法在限定时间内完成，所以本题采用了动态规划来完成。
这样就容易多了。
【程序清单】
方法一：
type
data=record
time,price:
longint;
end;
var
t,m,ans:
longint;
med:
array[1..100]ofdata;
countline:
array[0..1000]oflongint;
procedureindata;
var
i:
integer;
begin
assign（input,'medic.in'）;
reset（input）;
readln（t,m）;
fori:
=1tomdo
readln（med[i].time,med[i].price）;
close（input）;
end;
procedureoutdata;
begin
assign（output,'medic.out'）;
rewrite（output）;
writeln（ans）;
close（output）;
end;
procedurecount;
var
i,j,k:
longint;
begin
fillchar（countline,sizeof（countline）,0）;
fori:
=1tomdo
forj:
=tdownto1do
begin
if（j>=med[i].time）and（med[i].price+countline[j-med[i].time]>countline[j]）then
countline[j]:
=med[i].price+countline[j-med[i].time];
end;
ans:
=countline[t];
end;
begin
indata;
count;
outdata;
end.
解法二：
program medic;
var
max,t,m,i,j:
Integer;
a,b:
array[0..1000,0..1000] of integer;
begin
assign（input,'medic.in'）;
reset（input）;
assign（output,'medic.out'）;
rewrite（output）;
read（t,m）;
for i:
=1 to m do
begin
read（b[i,1]）;
read（b[i,2]）;
end;
for i:
=1 to m do
begin
for j:
=1 to b[i,1]-1 do a[i,j]:
=a[i-1,j];
for j:
=b[i,1] to t do
begin
if （b[i,1]=j） and （b[i,2]>a[i-1,j]） then a[i,j]:
=b[i,2];
if b[i,2]+a[i-1,j-b[i,1]]>a[i-1,j] then
a[i,j]:
=b[i,2]+a[i-1,j-b[i,1]]
else a[i,j]:
=a[i-1,j];
end;
end;
writeln（a[m,t]）;
close（input）;
close（output）;
end.
circle.pas/c/cpp
【问题描述】
乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。
他总喜欢探求事物的规律。
一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。
众所周知，2的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复2，4，8，6，2，4，8，6……我们说2的正整数次幂最后一位的循环长度是4（实际上4的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。
类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：
循环
循环长度
2
2、4、8、6
4
3
3、9、7、1
4
4
4、6
2
5
5
1
6
6
1
7
7、9、3、1
4
8
8、4、2、6
4
9
9、1
2
这时乐乐的问题就出来了：
是不是只有最后一位才有这样的循环呢？
对于一个整数n的正整数次幂来说，它的后k位是否会发生循环？
如果循环的话，循环长度是多少呢？
注意：
1． 如果n的某个正整数次幂的位数不足k，那么不足的高位看做是0。
2． 如果循环长度是L，那么说明对于任意的正整数a，n的a次幂和a+L次幂的最后k位都相同。
【输入文件】
输入文件circle.in只有一行，包含两个整数n（1<=n<10100）和k（1<=k<=100），n和k之间用一个空格隔开，表示要求n的正整数次幂的最后k位的循环长度。
【输出文件】
输出文件circle.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示循环长度。
如果循环不存在，输出-1。
【样例输入】
322
【样例输出】
4
【数据规模】
对于30%的数据，k<=4；
对于全部的数据，k<=100。
刚刚看到这个题目，就知道要进行高精度的运算，这个地球人都知道。
如果用直接模拟的算法，我们来计算一下时间复杂度。
1、每计算一次高精度乘法需要O（k2）//这个算法在网上有相关的优化，本人水平太差，没能掌握
2、总共需要进行至少L次高精度乘法，而L的最大值为10^100。
期望得分：
30。
由此，我们不得不对这个算法进行改进。
请看下面的推理。
因为如果循环长度是L，那么说明对于任意的正整数a，n的a次幂和a+L次幂的最后k位都相同。
所以如果循环长度是L，那么说明对于任意的正整数a，n的a次幂和a+L次幂的最后k-1位都相同。
为了方便，我们把循环长度为K的时候对应的L记为F（K）。
那么可以找出一个关系
F（K）=m*F（K-1），
其中m是整数。
由抽屉原则，我们可以容易地想到，m<=10。
由此，我们可以从F（K-1）轻易模拟求出F（K）。
需要说明的是，在求m的时候判断时要先乘上一个n。
这样我们的算法就诞生了。
它的时间复杂度是
。
实践证明，这个算法比传说中的标程要快好多。
在我小小的C31.0G上面竟然只需要1.73s。
给出源代码：
（写程序的时候没看原来的题目，变量名起得比较乱。
）
programcircle;
varstart,//一开始的n
time,//每一次要向当前的运算结果上去乘的那个数。
want,//其实want=start，具体的不同请看程序，want的作用是和now进行比对，检查是否找到了合适的m
now,//现在已经运算到的数
ans:
string;//答案
add,//m
n:
integer;//k
i:
integer;
procedureinit;
vars2,s:
string;t:
integer;
begin
assign（input,'circle.in'）;reset（input）;
readln（s）;
close（input）;
t:
=pos（'',s）;
now:
=copy（s,1,t-1）;
time:
=now;
want:
=now;
whilelength（want）<101dowant:
='0'+want;//为了避免越界，在want前面加0（如果n的某个正整数次幂的位数不足k，那么不足的高位看做是0。
）
s2:
=copy（s,t+1,255）;
val（s2,n,t）;
start:
=copy（now,length（now）-n+1,255）;
end;
functionmin（a,b:
integer）:
integer;
begin
ifa<=bthenmin:
=aelsemin:
=b;
end;
functionmultiply（a,b:
string）:
string;//一个高精度乘高精度的function
vara1,a2,a3:
array[1..128]ofinteger;
k,t,l1,l2:
integer;
begin
l1:
=length（a）;l2:
=length（b）;
fort:
=1tol1doa1[t]:
=ord（a[l1-t+1]）-48;
fort:
=1tol2doa2[t]:
=ord（b[l2-t+1]）-48;
fillchar（a3,sizeof（a3）,0）;
fort:
=1tol1do
fork:
=1tomin（103-t,l2）do
inc（a3[t+k-1],a1[t]*a2[k]）;
t:
=1;
whilet<102dobegin
ifa3[t]>=10thenbegin
inc（a3[t+1],a3[t]div10）;
a3[t]:
=a3[t]mod10;
end;
inc（t）;
end;
a:
='';
k:
=100;
whilea3[k]=0dobegin
dec（k）;
ifk=0thenbreak;
end;//如果高精度的乘法结果只有0的话就直接输出0
ifk=0thena:
='0';
whilek>0dobegin
a:
=a+chr（48+a3[k]）;
dec（k）;
end;
multiply:
=a;
end;
functioncheck（k:
integer）:
boolean;//检查最后k位是否已经得到了循环长度L
varnow2:
string;
begin
now2:
=multiply（now,start）;
check:
=（now2[length（now2）-k+1]=want[length（want）-k+1]）
end;
functionmulinteger（a:
string;b:
integer）:
string;//高乘单
vara1,a3:
array[1..128]ofinteger;
t,k,l1:
integer;
begin
l1:
=length（a）;
fort:
=1tol1doa1[t]:
=ord（a[l1-t+1]）-48;
fillchar（a3,sizeof（a3）,0）;
fort:
=1tol1do
a3[t]:
=a1[t]*b;
t:
=1;
whilet<102dobegin
ifa3[t]>=10thenbegin
inc（a3[t+1],a3[t]div10）;
a3[t]:
=a3[t]mod10;
end;
inc（t）;
end;
a:
='';
k:
=100;whilea3[k]=0dodec（k）;
whilek>0dobegin
a:
=a+chr（48+a3[k]）;
dec（k）;
end;
mulinteger:
=a;
end;
procedurenoanswer;//无解
begin
assign（output,'circle.out'）;rewrite（output）;
writeln（-1）;
close（output）;
halt;
end;
begin
init;
ans:
='1';//F（0）=1
i:
=0;
while（（check（i+1））and（i。
。
ifirepeat
inc（i）;
add:
=1;
repeat
inc（add）;
now:
=multiply（now,time）;
ifadd>10thennoanswer;
until（check（i））and（add>1）;
ans:
=mulinteger（ans,add）;
while（（check（i+1））and（itime:
=now;
untili>=n;
assign（output,'circle.out'）;rewrite（output）;
writeln（ans）;
close（output）;
end.
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