一元二次方程的概念2.docx

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一元二次方程的概念2

一．解答题（共18小题）

1．已知方程（m﹣2）x

+（m﹣3）x+1=0．

（1）当m为何值时，它是一元二次方程？

（2）当m为何值时，它是一元一次方程？

2．试说明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．

3．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程，求m的值．

4．关于x的方程（k+1）x|k﹣1|+kx+1=0是一元二次方程，求k的值．

5．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．

6．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项

（1）2x2=1﹣3x

（2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x．

7．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．

8．教材或资料会出现这样的题目：

把方程

x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．

（1）下列式子中，有哪几个是方程

x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？

（答案只写序号）

①

x2﹣x﹣2=0；②﹣

x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤

x2﹣2

x﹣4

=0．

（2）方程

x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？

9．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0．

（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？

（2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？

并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项（用含m的代数式表示）

10．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣

+1）的值．

11．

（1）已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1=0的根，求代数式a2﹣2015a﹣

的值．

（2）先化简，再求值：

，y=

，求

的值．

（3）已知

与|a﹣2b+1|互为相反数，求（a﹣b）2013的值．

12．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．

13．观察下列一组方程：

①x2﹣x=0；②x2﹣3x+2=0；③x2﹣5x+6=0；④x2﹣7x+12=0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．

（1）若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；

（2）请写出第n个方程和它的根．

14．若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2=0的一个实数根．

（1）求a的值；

（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）•（m﹣

+1）的值．

15．若方程（m﹣2）x

﹣（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值．

16．将方程（3﹣2x）（x+5）=﹣6x+14化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a＞0）、b、c表示，请求式子

的值．

17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，然后写出其二次项系数、一次项系数和常数项．

（1）（x﹣

）（x+

）=0；

（2）

（x﹣3）2=

（x+4）2．

18．观察下列一元二次方程：

①x2+2x﹣3=0；②x2﹣7x+6=0；③3x2﹣2x﹣1=0；④5x2+3x﹣8=0．

（1）上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征；

（2）请你写出符合此特征的一个一元二次方程．

一元二次方程的概念2

参考答案与试题解析

一．解答题（共18小题）

1．已知方程（m﹣2）x

+（m﹣3）x+1=0．

（1）当m为何值时，它是一元二次方程？

（2）当m为何值时，它是一元一次方程？

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义解答本题；

（2）根据一次方程的定义可解答本题．

【解答】解：

（1）∵方程（m﹣2）x

+（m﹣3）x+1=0为一元二次方程，

∴

，

解得：

m=±

，

所以当m为

或﹣

时，方程方程（m﹣2）x

+（m﹣3）x+1=0为一元二次方程；

（2）∵方程（m﹣2）x

+（m﹣3）x+1=0为一元一次方程，

∴

或m2=1

解得，m=2或m=±1，

故当m为2或±1时，方程方程（m﹣2）x

+（m﹣3）x+1=0为一元一次方程．

【点评】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，能理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．

2．试说明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．

【分析】只要证明二次项系数不为零即可．

【解答】解：

∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4

又∵（a﹣4）2≥0，

∴a2﹣8a+20≠0，

∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．

【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，证得二次项系数不为零是解题的关键．

3．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程，求m的值．

【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0，据此即可求解．

【解答】解：

根据题意得，|m﹣1|=2，且m+1≠0，

解得：

m=3，

答：

m的值为3．

【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．

4．关于x的方程（k+1）x|k﹣1|+kx+1=0是一元二次方程，求k的值．

【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．

【解答】解：

由题意得，

，

解得k=3．

故k的值是3．

【点评】考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

5．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．

【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．

【解答】解：

由题意，得

m2+3m+2=0，且m+1≠0，

解得m=﹣2，

m的值是﹣2．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：

ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

6．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项

（1）2x2=1﹣3x

（2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x．

【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．

【解答】解：

（1）2x2=1﹣3x一般形式为2x2+3x﹣1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为﹣1；

（2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x．一般形式为x2﹣7x=0，二次项系数为1，一次项系数为﹣7，常数项为0．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：

7．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．

【分析】把a（x+1）2+b（x+1）+c=0去括号、合并同类项，化作一元二次方程的一般形式，对照3x2+2x﹣1=0，求出a、b、c的值，再代入计算．

【解答】解：

整理a（x+1）2+b（x+1）+c=0得ax2+（2a+b）x+（a+b+c）=0，

则

，

解得

，

∴a2+b2﹣c2=9+16=25，

∴a2+b2﹣c2的值的算术平方根是5．

【点评】此题主要考查一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），注意最后的一步是求算术平方根，容易忽略．

8．教材或资料会出现这样的题目：

把方程

x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．

（1）下列式子中，有哪几个是方程

x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？

（答案只写序号）

①

x2﹣x﹣2=0；②﹣

x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤

x2﹣2

x﹣4

=0．

（2）方程

x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？

【分析】

（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以﹣1，﹣2，2

即可变形得到正确选项；

（2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：

一次项系数：

常数项=1：

（﹣2）：

（﹣4）．

【解答】解：

（1）一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），因此①，②，④，⑤是方程

x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式．

（2）一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．若设方程

x2﹣x=2的二次项系数为a（a≠0），则一次项系数为﹣2a，常数项为﹣4a，因此二次项系数：

一次项系数：

常数项=1：

（﹣2）：

（﹣4）．

答：

这个方程的二次项系数：

一次项系数：

常数项=1：

（﹣2）：

（﹣4）．

【点评】一元二次方程的一般形式是：

9．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0．

（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？

（2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？

并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项（用含m的代数式表示）

【分析】

（1）利用一元一次方程的定义判断即可；

（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．

【解答】解：

（1）∵方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0为一元一次方程，

∴m2﹣1=0，且m+1≠0，

解得：

m=1；

（2）∵方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0为一元二次方程，

∴m2﹣1≠0，即m≠±1，

则二次项系数为m2﹣1；一次项系数为﹣（m+1）；常数项为m．

【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元一次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣

+1）的值．

【分析】根据m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，然后对题目中所求式子进行变形即可解答本题．

【解答】解：

∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，

∴m2﹣m﹣2=0，

∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，

∴（m2﹣m）（m﹣

+1）

=2×（1+1）

=2×2

=4．

【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答．

11．

（1）已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1=0的根，求代数式a2﹣2015a﹣

的值．

（2）先化简，再求值：

，y=

，求

的值．

（3）已知

与|a﹣2b+1|互为相反数，求（a﹣b）2013的值．

【分析】

（1）利用方程解的定义得到a2=2016a﹣1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值；

（2）先进行出x+y与xy的值，再利用通分和完全平方公式得到

，然后利用整体代入的方法计算；

（3）根据题意得到

+|a﹣2b+1|=0，再利用非负数的性质得到

，把两方程相加可得到a﹣b的值，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：

（1）∵a是方程x2﹣2016x+1=0根，

∴a2﹣2016a+1=0，

∴a2=2016a﹣1，

∴原式=2016a﹣1﹣2015a﹣

=a﹣1﹣a

=﹣1；

（2）∵x=

=2+

，y=

=2﹣

，

∴x+y=4，xy=1，

∴

=14；

（3）∵

与|a﹣2b+1|互为相反数，

∴

+|a﹣2b+1|=0，

∴

，

∴3a﹣3b﹣3=0，

∴a﹣b=1，

∴（a﹣b）2013=1．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解二元一次方程组．

12．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．

【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．

【解答】解：

把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，

解得a1=a2=1，

所以a的值为1

【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型

13．观察下列一组方程：

（1）若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；

（2）请写出第n个方程和它的根．

【分析】

（1）直接利用连根一元二次方程得出k的值；

（2）利用因式分解法得出符合题意的值．

【解答】解：

（1）由题意可得：

k=﹣15，

则原方程为：

x2﹣15x+56=0，

则（x﹣7）（x﹣8）=0，

解得：

x1=7，x2=8；

（2）第n个方程为：

x2+（2n﹣1）x+n（n﹣1）=0，

（x﹣n）（x﹣n+1）=0，

解得：

x1=n﹣1，x2=n．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义，正确得出规律是解题关键．

14．若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2=0的一个实数根．

（1）求a的值；

（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）•（m﹣

+1）的值．

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义来求a的值；

（2）由

（1）得到该方程为x2﹣x﹣2=0，把x=m代入可以求得（m2﹣m）、（m﹣

+1）的值；然后将其整体代入即可求得所求代数式的值．

【解答】解：

（1）由于x|a|﹣1﹣x﹣2=0是关于x的一元二次方程，所以|a|﹣1=2，

解得：

a=±3；

（2）由

（1）知，该方程为x2﹣x﹣2=0，

把x=m代入，得

m2﹣m=2，①

又因为m2﹣1﹣

=0，

所以m﹣

=1，②

把①②代入（m2﹣m）•（m﹣

+1），得

（m2﹣m）•（m﹣

+1）=2×（1+1）=4，即（m2﹣m）•（m﹣

+1）=4．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义．解题时，利用了整体代入是数学思想，减少了繁琐的计算过程，提高了解题的正确率．

15．若方程（m﹣2）x

﹣（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值．

【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．

【解答】解：

由题意，得

m2﹣5m+8=2且m﹣2≠0，

解得m=3，

m的值是3．

【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

16．将方程（3﹣2x）（x+5）=﹣6x+14化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a＞0）、b、c表示，请求式子

的值．

【分析】首先利用多项式乘法把方程化为3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14，再整理可得2x2+x﹣1=0，从而得到a=2，b=1，c=﹣1，再代入式子

即可求值．

【解答】解：

（3﹣2x）（x+5）=﹣6x+14，

3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14，

整理得：

2x2+x﹣1=0，

a=2，b=1，c=﹣1，

．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：

17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，然后写出其二次项系数、一次项系数和常数项．

（1）（x﹣

）（x+

）=0；

（2）

（x﹣3）2=

（x+4）2．

【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．

【解答】解：

（1）一般形式为x2+（

﹣

）x﹣

=0，

二次项系数是1、一次项系数是（

），常数项是﹣

；

（2）一般形式为

x2+6x+5=0，

二次项系数

，一次项系数是6，常数项是5．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：

18．观察下列一元二次方程：

①x2+2x﹣3=0；②x2﹣7x+6=0；③3x2﹣2x﹣1=0；④5x2+3x﹣8=0．

（1）上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征；

（2）请你写出符合此特征的一个一元二次方程．

【分析】

（1）观察方程可得到三个系数之和为0，可得出答案；

（2）由

（1）中所得出的结论写出一个方程即可．

【解答】解：

（1）在①中，a=1，b=2，c=﹣3，则a+b+c=0，

在②中，a=1，b=﹣7，c=6，则a+b+c=0，

在③中，a=3，b=﹣2，c=﹣1，则a+b+c=0，

在④中，a=5，b=3，c=﹣8，则a+b+c=0，

∴方程的系数公共的特征为a+b+c=0；

（2）由

（1）可知a+b+c=0，

∴所写方程为x2﹣x=0．

【点评】本题主要考查一元二次方程的一般形式，观察方程得出系数之间的关系是解题的关键．

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