一元二次方程的概念2.docx
《一元二次方程的概念2.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一元二次方程的概念2.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![一元二次方程的概念2.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-1/30/60b03ad2-fbf5-4d78-b210-e688d7311655/60b03ad2-fbf5-4d78-b210-e688d73116551.gif)
一元二次方程的概念2
一元二次方程的概念2
一.解答题(共18小题)
1.已知方程(m﹣2)x
+(m﹣3)x+1=0.
(1)当m为何值时,它是一元二次方程?
(2)当m为何值时,它是一元一次方程?
2.试说明关于x的方程(a2﹣8a+20)x2+2ax+1=0无论a取何值,该方程都是一元二次方程.
3.关于x的方程(m+1)x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程,求m的值.
4.关于x的方程(k+1)x|k﹣1|+kx+1=0是一元二次方程,求k的值.
5.关于x的一元二次方程(m+1)x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0,求m的值.
6.把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
(1)2x2=1﹣3x
(2)5x(x﹣2)=4x2﹣3x.
7.一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0,试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根.
8.教材或资料会出现这样的题目:
把方程
x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
现在把上面的题目改编为下面的两个小题,请解答.
(1)下列式子中,有哪几个是方程
x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式?
(答案只写序号)
①
x2﹣x﹣2=0;②﹣
x2+x+2=0;③x2﹣2x=4;④﹣x2+2x+4=0;⑤
x2﹣2
x﹣4
=0.
(2)方程
x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式,它的二次项系数,一次项系数,常数项之间具有什么关系?
9.已知关于x的方程(m2﹣1)x2﹣(m+1)x+m=0.
(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)当m满足什么条件时,此方程是一元二次方程?
并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项(用含m的代数式表示)
10.已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根,求代数式(m2﹣m)(m﹣
+1)的值.
11.
(1)已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1=0的根,求代数式a2﹣2015a﹣
的值.
(2)先化简,再求值:
x=
,y=
,求
的值.
(3)已知
与|a﹣2b+1|互为相反数,求(a﹣b)2013的值.
12.已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根,求a的值.
13.观察下列一组方程:
①x2﹣x=0;②x2﹣3x+2=0;③x2﹣5x+6=0;④x2﹣7x+12=0;…它们的根有一定的规律,都是两个连续的自然数,我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”.
(1)若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”,写出k的值,并解这个一元二次方程;
(2)请写出第n个方程和它的根.
14.若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2=0的一个实数根.
(1)求a的值;
(2)不解方程,求代数式(m2﹣m)•(m﹣
+1)的值.
15.若方程(m﹣2)x
﹣(m+3)x+5=0是一元二次方程,求m的值.
16.将方程(3﹣2x)(x+5)=﹣6x+14化为一般形式,其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a(a>0)、b、c表示,请求式子
的值.
17.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,然后写出其二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)(x﹣
)(x+
)=0;
(2)
(x﹣3)2=
(x+4)2.
18.观察下列一元二次方程:
①x2+2x﹣3=0;②x2﹣7x+6=0;③3x2﹣2x﹣1=0;④5x2+3x﹣8=0.
(1)上面方程的系数有一个公共的特征,请你用等式表示这个特征;
(2)请你写出符合此特征的一个一元二次方程.
一元二次方程的概念2
参考答案与试题解析
一.解答题(共18小题)
1.已知方程(m﹣2)x
+(m﹣3)x+1=0.
(1)当m为何值时,它是一元二次方程?
(2)当m为何值时,它是一元一次方程?
【分析】
(1)根据一元二次方程的定义解答本题;
(2)根据一次方程的定义可解答本题.
【解答】解:
(1)∵方程(m﹣2)x
+(m﹣3)x+1=0为一元二次方程,
∴
,
解得:
m=±
,
所以当m为
或﹣
时,方程方程(m﹣2)x
+(m﹣3)x+1=0为一元二次方程;
(2)∵方程(m﹣2)x
+(m﹣3)x+1=0为一元一次方程,
∴
或m2=1
解得,m=2或m=±1,
故当m为2或±1时,方程方程(m﹣2)x
+(m﹣3)x+1=0为一元一次方程.
【点评】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义,能理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键,尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面.
2.试说明关于x的方程(a2﹣8a+20)x2+2ax+1=0无论a取何值,该方程都是一元二次方程.
【分析】只要证明二次项系数不为零即可.
【解答】解:
∵a2﹣8a+20=(a﹣4)2+4
又∵(a﹣4)2≥0,
∴a2﹣8a+20≠0,
∴关于x的方程(a2﹣8a+20)x2+2ax+1=0无论a取何值,该方程都是一元二次方程.
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义,证得二次项系数不为零是解题的关键.
3.关于x的方程(m+1)x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程,求m的值.
【分析】根据一元二次方程的定义,必须满足两个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0,据此即可求解.
【解答】解:
根据题意得,|m﹣1|=2,且m+1≠0,
解得:
m=3,
答:
m的值为3.
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义,一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),特别要注意a≠0的条件.
4.关于x的方程(k+1)x|k﹣1|+kx+1=0是一元二次方程,求k的值.
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解.一元二次方程必须满足两个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0.由这两个条件得到相应的关系式,再求解即可.
【解答】解:
由题意得,
,
解得k=3.
故k的值是3.
【点评】考查了一元二次方程的定义,一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
5.关于x的一元二次方程(m+1)x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0,求m的值.
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.
【解答】解:
由题意,得
m2+3m+2=0,且m+1≠0,
解得m=﹣2,
m的值是﹣2.
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
6.把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
(1)2x2=1﹣3x
(2)5x(x﹣2)=4x2﹣3x.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.
【解答】解:
(1)2x2=1﹣3x一般形式为2x2+3x﹣1=0,二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为﹣1;
(2)5x(x﹣2)=4x2﹣3x.一般形式为x2﹣7x=0,二次项系数为1,一次项系数为﹣7,常数项为0.
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
7.一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0,试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根.
【分析】把a(x+1)2+b(x+1)+c=0去括号、合并同类项,化作一元二次方程的一般形式,对照3x2+2x﹣1=0,求出a、b、c的值,再代入计算.
【解答】解:
整理a(x+1)2+b(x+1)+c=0得ax2+(2a+b)x+(a+b+c)=0,
则
,
解得
,
∴a2+b2﹣c2=9+16=25,
∴a2+b2﹣c2的值的算术平方根是5.
【点评】此题主要考查一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),注意最后的一步是求算术平方根,容易忽略.
8.教材或资料会出现这样的题目:
把方程
x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
现在把上面的题目改编为下面的两个小题,请解答.
(1)下列式子中,有哪几个是方程
x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式?
(答案只写序号)
①
x2﹣x﹣2=0;②﹣
x2+x+2=0;③x2﹣2x=4;④﹣x2+2x+4=0;⑤
x2﹣2
x﹣4
=0.
(2)方程
x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式,它的二次项系数,一次项系数,常数项之间具有什么关系?
【分析】
(1)把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以﹣1,﹣2,2
即可变形得到正确选项;
(2)通过观察可找到的二次项系数,一次项系数,常数项之间具有的关系是,二次项系数:
一次项系数:
常数项=1:
(﹣2):
(﹣4).
【解答】解:
(1)一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),因此①,②,④,⑤是方程
x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式.
(2)一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.若设方程
x2﹣x=2的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为﹣2a,常数项为﹣4a,因此二次项系数:
一次项系数:
常数项=1:
(﹣2):
(﹣4).
答:
这个方程的二次项系数:
一次项系数:
常数项=1:
(﹣2):
(﹣4).
【点评】一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
9.已知关于x的方程(m2﹣1)x2﹣(m+1)x+m=0.
(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)当m满足什么条件时,此方程是一元二次方程?
并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项(用含m的代数式表示)
【分析】
(1)利用一元一次方程的定义判断即可;
(2)利用一元二次方程的定义判断确定出m的值,进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可.
【解答】解:
(1)∵方程(m2﹣1)x2﹣(m+1)x+m=0为一元一次方程,
∴m2﹣1=0,且m+1≠0,
解得:
m=1;
(2)∵方程(m2﹣1)x2﹣(m+1)x+m=0为一元二次方程,
∴m2﹣1≠0,即m≠±1,
则二次项系数为m2﹣1;一次项系数为﹣(m+1);常数项为m.
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式,以及一元一次方程的定义,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
10.已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根,求代数式(m2﹣m)(m﹣
+1)的值.
【分析】根据m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根,然后对题目中所求式子进行变形即可解答本题.
【解答】解:
∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根,
∴m2﹣m﹣2=0,
∴m2﹣m=2,m2﹣2=m,
∴(m2﹣m)(m﹣
+1)
=
=
=2×(1+1)
=2×2
=4.
【点评】本题考查一元二次方程的解,解答本题的关键是明确题意,利用方程的思想解答.
11.
(1)已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1=0的根,求代数式a2﹣2015a﹣
的值.
(2)先化简,再求值:
x=
,y=
,求
的值.
(3)已知
与|a﹣2b+1|互为相反数,求(a﹣b)2013的值.
【分析】
(1)利用方程解的定义得到a2=2016a﹣1,然后利用整体代入的方法计算代数式的值;
(2)先进行出x+y与xy的值,再利用通分和完全平方公式得到
=
,然后利用整体代入的方法计算;
(3)根据题意得到
+|a﹣2b+1|=0,再利用非负数的性质得到
,把两方程相加可得到a﹣b的值,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:
(1)∵a是方程x2﹣2016x+1=0根,
∴a2﹣2016a+1=0,
∴a2=2016a﹣1,
∴原式=2016a﹣1﹣2015a﹣
=a﹣1﹣a
=﹣1;
(2)∵x=
=2+
,y=
=2﹣
,
∴x+y=4,xy=1,
∴
=
=
=
=14;
(3)∵
与|a﹣2b+1|互为相反数,
∴
+|a﹣2b+1|=0,
∴
,
∴3a﹣3b﹣3=0,
∴a﹣b=1,
∴(a﹣b)2013=1.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了解二元一次方程组.
12.已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根,求a的值.
【分析】根据一元二次方程解的定义,把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0,然后解此一元二次方程即可.
【解答】解:
把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0,
解得a1=a2=1,
所以a的值为1
【点评】本题考查一元二次方程的解,解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义,本题属于基础题型
13.观察下列一组方程:
①x2﹣x=0;②x2﹣3x+2=0;③x2﹣5x+6=0;④x2﹣7x+12=0;…它们的根有一定的规律,都是两个连续的自然数,我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”.
(1)若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”,写出k的值,并解这个一元二次方程;
(2)请写出第n个方程和它的根.
【分析】
(1)直接利用连根一元二次方程得出k的值;
(2)利用因式分解法得出符合题意的值.
【解答】解:
(1)由题意可得:
k=﹣15,
则原方程为:
x2﹣15x+56=0,
则(x﹣7)(x﹣8)=0,
解得:
x1=7,x2=8;
(2)第n个方程为:
x2+(2n﹣1)x+n(n﹣1)=0,
(x﹣n)(x﹣n+1)=0,
解得:
x1=n﹣1,x2=n.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义,正确得出规律是解题关键.
14.若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2=0的一个实数根.
(1)求a的值;
(2)不解方程,求代数式(m2﹣m)•(m﹣
+1)的值.
【分析】
(1)根据一元二次方程的定义来求a的值;
(2)由
(1)得到该方程为x2﹣x﹣2=0,把x=m代入可以求得(m2﹣m)、(m﹣
+1)的值;然后将其整体代入即可求得所求代数式的值.
【解答】解:
(1)由于x|a|﹣1﹣x﹣2=0是关于x的一元二次方程,所以|a|﹣1=2,
解得:
a=±3;
(2)由
(1)知,该方程为x2﹣x﹣2=0,
把x=m代入,得
m2﹣m=2,①
又因为m2﹣1﹣
=0,
所以m﹣
=1,②
把①②代入(m2﹣m)•(m﹣
+1),得
(m2﹣m)•(m﹣
+1)=2×(1+1)=4,即(m2﹣m)•(m﹣
+1)=4.
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义.解题时,利用了整体代入是数学思想,减少了繁琐的计算过程,提高了解题的正确率.
15.若方程(m﹣2)x
﹣(m+3)x+5=0是一元二次方程,求m的值.
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解,一元二次方程必须满足两个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0.由这两个条件得到相应的关系式,再求解即可.
【解答】解:
由题意,得
m2﹣5m+8=2且m﹣2≠0,
解得m=3,
m的值是3.
【点评】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
16.将方程(3﹣2x)(x+5)=﹣6x+14化为一般形式,其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a(a>0)、b、c表示,请求式子
的值.
【分析】首先利用多项式乘法把方程化为3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14,再整理可得2x2+x﹣1=0,从而得到a=2,b=1,c=﹣1,再代入式子
即可求值.
【解答】解:
(3﹣2x)(x+5)=﹣6x+14,
3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14,
整理得:
2x2+x﹣1=0,
a=2,b=1,c=﹣1,
=
=
=
.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
17.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,然后写出其二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)(x﹣
)(x+
)=0;
(2)
(x﹣3)2=
(x+4)2.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.
【解答】解:
(1)一般形式为x2+(
﹣
)x﹣
=0,
二次项系数是1、一次项系数是(
),常数项是﹣
;
(2)一般形式为
x2+6x+5=0,
二次项系数
,一次项系数是6,常数项是5.
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
18.观察下列一元二次方程:
①x2+2x﹣3=0;②x2﹣7x+6=0;③3x2﹣2x﹣1=0;④5x2+3x﹣8=0.
(1)上面方程的系数有一个公共的特征,请你用等式表示这个特征;
(2)请你写出符合此特征的一个一元二次方程.
【分析】
(1)观察方程可得到三个系数之和为0,可得出答案;
(2)由
(1)中所得出的结论写出一个方程即可.
【解答】解:
(1)在①中,a=1,b=2,c=﹣3,则a+b+c=0,
在②中,a=1,b=﹣7,c=6,则a+b+c=0,
在③中,a=3,b=﹣2,c=﹣1,则a+b+c=0,
在④中,a=5,b=3,c=﹣8,则a+b+c=0,
∴方程的系数公共的特征为a+b+c=0;
(2)由
(1)可知a+b+c=0,
∴所写方程为x2﹣x=0.
【点评】本题主要考查一元二次方程的一般形式,观察方程得出系数之间的关系是解题的关键.