一元二次方程的概念2.docx

1、一元二次方程的概念2一元二次方程的概念2一解答题（共18小题）1已知方程（m2）x+（m3）x+1=0（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？2试说明关于x的方程（a28a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程3关于x的方程（m+1）x|m1|+mx1=0是一元二次方程，求m的值4关于x的方程（k+1）x|k1|+kx+1=0是一元二次方程，求k的值5关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值6把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项（1）2x2=13x（

2、2）5x（x2）=4x23x7一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x1=0，试求a2+b2c2的值的算术平方根8教材或资料会出现这样的题目：把方程x2x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答（1）下列式子中，有哪几个是方程x2x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）x2x2=0；x2+x+2=0；x22x=4；x2+2x+4=0；x22x4=0（2）方程x2x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？9已知关于x的方程（m21）

3、x2（m+1）x+m=0（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项（用含m的代数式表示）10已知m是方程x2x2=0的一个实数根，求代数式（m2m）（m+1）的值11（1）已知实数a是一元二次方程x22016x+1=0的根，求代数式a22015a的值 （2）先化简，再求值：x=，y=，求的值（3）已知与|a2b+1|互为相反数，求（ab）2013的值12已知x=1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值13观察下列一组方程：x2x=0；x23x+2=0；x25x+6=0；x27x+

4、12=0；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”（1）若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根14若m是一元二次方程方程x|a|1x2=0的一个实数根（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2m）（m+1）的值15若方程（m2）x（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值16将方程（32x）（x+5）=6x+14化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a0）、b、c表示，请求式子的值17将下列方程化成一元二次方程的一般形式，然后写出其二次项系数、一次项

5、系数和常数项（1）（x）（x+）=0；（2）（x3）2=（x+4）218观察下列一元二次方程：x2+2x3=0；x27x+6=0；3x22x1=0；5x2+3x8=0（1）上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征；（2）请你写出符合此特征的一个一元二次方程一元二次方程的概念2参考答案与试题解析一解答题（共18小题）1已知方程（m2）x+（m3）x+1=0（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；（2）根据一次方程的定义可解答本题【解答】解：（1）方程（m2）x+（m3）x+1=0为一元二次方程，解得：

6、m=，所以当m为或时，方程方程（m2）x+（m3）x+1=0为一元二次方程；（2）方程（m2）x+（m3）x+1=0为一元一次方程，或m2=1解得，m=2或m=1，故当m为2或1时，方程方程（m2）x+（m3）x+1=0为一元一次方程【点评】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，能理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面2试说明关于x的方程（a28a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程【分析】只要证明二次项系数不为零即可【解答】解：a28a+20=（a4）2+4又（a4）20，a28a+200

7、，关于x的方程（a28a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，证得二次项系数不为零是解题的关键3关于x的方程（m+1）x|m1|+mx1=0是一元二次方程，求m的值【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，据此即可求解【解答】解：根据题意得，|m1|=2，且m+10，解得：m=3，答：m的值为3【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0），特别要注意a0的条件4关于x的方程（k+1）x|k1|+kx

8、+1=0是一元二次方程，求k的值【分析】本题根据一元二次方程的定义求解一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可【解答】解：由题意得，解得k=3故k的值是3【点评】考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点5关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数

9、项【解答】解：由题意，得m2+3m+2=0，且m+10，解得m=2，m的值是2【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项6把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项（1）2x2=13x（2）5x（x2）=4x23x【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项【解答】解：（1）2x2=13x一般

10、形式为2x2+3x1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为1；（2）5x（x2）=4x23x一般形式为x27x=0，二次项系数为1，一次项系数为7，常数项为0【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项7一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x1=0，试求a2+b2c2的值的算术平方根【分析】把a（x+1）2+b（x+1）+c=0去括号、合并同类项，化作一元

11、二次方程的一般形式，对照3x2+2x1=0，求出a、b、c的值，再代入计算【解答】解：整理a（x+1）2+b（x+1）+c=0得ax2+（2a+b）x+（a+b+c）=0，则，解得，a2+b2c2=9+16=25，a2+b2c2的值的算术平方根是5【点评】此题主要考查一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0），注意最后的一步是求算术平方根，容易忽略8教材或资料会出现这样的题目：把方程x2x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答（1）下列式子中，有哪几个是方程x2x=2所化的一元二次方程的

12、一般形式？（答案只写序号）x2x2=0；x2+x+2=0；x22x=4；x2+2x+4=0；x22x4=0（2）方程x2x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？【分析】（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以1，2，2即可变形得到正确选项；（2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：一次项系数：常数项=1：（2）：（4）【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0），因此，是方程x2x=2所化的一元二次方程的一般形式（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+

13、c=0（a，b，c是常数且a0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项若设方程x2x=2的二次项系数为a（a0），则一次项系数为2a，常数项为4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：（2）：（4）答：这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（2）：（4）【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项9已知关于x的方程（m21）x2（

14、m+1）x+m=0（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项（用含m的代数式表示）【分析】（1）利用一元一次方程的定义判断即可；（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可【解答】解：（1）方程（m21）x2（m+1）x+m=0为一元一次方程，m21=0，且m+10，解得：m=1；（2）方程（m21）x2（m+1）x+m=0为一元二次方程，m210，即m1，则二次项系数为m21；一次项系数为（m+1）；常数项为m【点评】此题考查了一元二次方程的一般

15、形式，以及一元一次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键10已知m是方程x2x2=0的一个实数根，求代数式（m2m）（m+1）的值【分析】根据m是方程x2x2=0的一个实数根，然后对题目中所求式子进行变形即可解答本题【解答】解：m是方程x2x2=0的一个实数根，m2m2=0，m2m=2，m22=m，（m2m）（m+1）=2（1+1）=22=4【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答11（1）已知实数a是一元二次方程x22016x+1=0的根，求代数式a22015a的值 （2）先化简，再求值：x=，y=，求的值（3）已知与|a2b+1|互为相反数，求（a

16、b）2013的值【分析】（1）利用方程解的定义得到a2=2016a1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值；（2）先进行出x+y与xy的值，再利用通分和完全平方公式得到=，然后利用整体代入的方法计算；（3）根据题意得到+|a2b+1|=0，再利用非负数的性质得到，把两方程相加可得到ab的值，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：（1）a是方程x22016x+1=0根，a22016a+1=0，a2=2016a1，原式=2016a12015a=a1a=1；（2）x=2+，y=2，x+y=4，xy=1，=14；（3）与|a2b+1|互为相反数，+|a2b+1|=0，3a3b3=0，ab=1，（ab）

17、2013=1【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了解二元一次方程组12已知x=1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程12a+a2=0，然后解此一元二次方程即可【解答】解：把x=1代入x2+2ax+a2=0得12a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值为1【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型13观察下列一组方程：x2x=0；x23x+2=0；x25x+6=0；x2

18、7x+12=0；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”（1）若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根【分析】（1）直接利用连根一元二次方程得出k的值；（2）利用因式分解法得出符合题意的值【解答】解：（1）由题意可得：k=15，则原方程为：x215x+56=0，则（x7）（x8）=0，解得：x1=7，x2=8；（2）第n个方程为：x2+（2n1）x+n（n1）=0，（xn）（xn+1）=0，解得：x1=n1，x2=n【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义，正确得出

19、规律是解题关键14若m是一元二次方程方程x|a|1x2=0的一个实数根（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2m）（m+1）的值【分析】（1）根据一元二次方程的定义来求a的值；（2）由（1）得到该方程为x2x2=0，把x=m代入可以求得（m2m）、（m+1）的值；然后将其整体代入即可求得所求代数式的值【解答】解：（1）由于x|a|1x2=0是关于x的一元二次方程，所以|a|1=2，解得：a=3；（2）由（1）知，该方程为x2x2=0，把x=m代入，得m2m=2，又因为m21=0，所以m=1，把代入（m2m）（m+1），得（m2m）（m+1）=2（1+1）=4，即（m2m）（m+1）=4【

20、点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义解题时，利用了整体代入是数学思想，减少了繁琐的计算过程，提高了解题的正确率15若方程（m2）x（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可【解答】解：由题意，得m25m+8=2且m20，解得m=3，m的值是3【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中

21、容易忽视的知识点16将方程（32x）（x+5）=6x+14化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a0）、b、c表示，请求式子的值【分析】首先利用多项式乘法把方程化为3x+152x210x=6x+14，再整理可得2x2+x1=0，从而得到a=2，b=1，c=1，再代入式子即可求值【解答】解：（32x）（x+5）=6x+14，3x+152x210x=6x+14，整理得：2x2+x1=0，a=2，b=1，c=1，=【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点

22、在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项17将下列方程化成一元二次方程的一般形式，然后写出其二次项系数、一次项系数和常数项（1）（x）（x+）=0；（2）（x3）2=（x+4）2【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项【解答】解：（1）一般形式为x2+（）x=0，二次项系数是1、一次项系数是（），常数项是；（2）一般形式为x2+6x+5=0，二次项系数，一次项系数是6，常数项是5【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且

23、a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项18观察下列一元二次方程：x2+2x3=0；x27x+6=0；3x22x1=0；5x2+3x8=0（1）上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征；（2）请你写出符合此特征的一个一元二次方程【分析】（1）观察方程可得到三个系数之和为0，可得出答案；（2）由（1）中所得出的结论写出一个方程即可【解答】解：（1）在中，a=1，b=2，c=3，则a+b+c=0，在中，a=1，b=7，c=6，则a+b+c=0，在中，a=3，b=2，c=1，则a+b+c=0，在中，a=5，b=3，c=8，则a+b+c=0，方程的系数公共的特征为a+b+c=0；（2）由（1）可知a+b+c=0，所写方程为x2x=0【点评】本题主要考查一元二次方程的一般形式，观察方程得出系数之间的关系是解题的关键