高考数学一轮复习知识点与练习直线平面垂直的判定和性质.docx

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高考数学一轮复习知识点与练习直线平面垂直的判定和性质

1．直线与平面垂直

图形

条件

结论

判

定

a⊥b，b⊂α（b为α内的任意一条直线）

a⊥α

a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O

a⊥α

a∥b，a⊥α

b⊥α

性

质

a⊥α，b⊂α

a⊥b

a⊥α，b⊥α

a∥b

2.平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

性质

定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（　　）

（2）若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．（　　）

（3）直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.（　　）

（4）若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.（　　）

（5）a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.（　　）

（6）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．（　　）

1．（教材改编）下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是____________．

①l与平面α内的两条直线垂直；

②l与平面α内无数条直线垂直；

③l与平面α内的某一条直线垂直；

④l与平面α内任意一条直线垂直．

2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的____________条件．

3．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________．

4．（教材改编）PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_________对．

5．（教材改编）在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，

（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．

（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

题型一　直线与平面垂直的判定与性质

例1　（2014·辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．

（1）求证：

EF⊥平面BCG；

（2）求三棱锥D－BCG的体积．

思维升华　

（1）证明直线和平面垂直的常用方法：

①判定定理；②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；④面面垂直的性质．

（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

（3）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．

如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证：

PA⊥CD.

题型二　平面与平面垂直的判定与性质

例2　如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.

求证：

（1）CD⊥平面PBD.

（2）平面PBC⊥平面PDC.

思维升华　面面垂直的性质应用技巧

（1）两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．

（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．

　（2015·重庆）如图，三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.

（1）证明：

AB⊥平面PFE；

（2）若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长．

题型三　垂直关系中的探索性问题

例3　（2015·合肥质量检测）如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.

（1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：

DF∥a；

（2）若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？

若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．

思维升华　同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．

　如图

（1）所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图

（2）所示．

（1）求证：

DE∥平面A1CB；

（2）求证：

A1F⊥BE；

（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？

说明理由．

17．立体几何证明问题中的转化思想

典例　（14分）如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．

求证：

（1）AN∥平面A1MK；

（2）平面A1B1C⊥平面A1MK.

思维点拨　

（1）要证线面平行，需证线线平行．

（2）要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．

温馨提醒　

（1）线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；

（2）线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；

（3）证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．

[方法与技巧]

1．三类论证

（1）证明线线垂直的方法

①定义：

两条直线所成的角为90°；

②平面几何中证明线线垂直的方法；

③线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

④线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义：

a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

②判定定理1：

⇒l⊥α；

③判定定理2：

a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

④面面平行的性质：

α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

⑤面面垂直的性质：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

（3）证明面面垂直的方法

①利用定义：

两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

②判定定理：

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．

[失误与防范]

1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．

2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．

A组　专项基础训练

（时间：

40分钟）

1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，AD/∈l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________．

①AB∥m;②AC⊥m；

③AB∥β；④AC⊥β.

2．（2014·浙江改编）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．

①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；

②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；

③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；

④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.

3．（2015·天津滨海新区模拟）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.

其中正确的是________．

4．（2015·福建改编）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的______条件．

5．（2015·镇江模拟）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

6.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．

7．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是________．

8．点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：

①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；

③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.

其中正确的命题序号是________．

9．（2014·湖北）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：

（1）直线BC1∥平面EFPQ；

（2）直线AC1⊥平面PQMN.

10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点．

求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

B组　专项能力提升

（时间：

30分钟）

11．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在_________．

①直线AB上；②直线BC上；③直线AC上；④△ABC内部．

12．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：

______（用代号表示）．

13．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．

14．如图，四边形ABCD和ABEF为直角梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，且AD∥BC，AF∥BE，∠ABC＝∠ABE＝90°，AF＝AB＝BE＝1，M，N分别为BC，AF的中点．

（1）证明：

EM∥平面ADF；

（2）证明：

平面BMN⊥平面MAE.

15．（2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连结DE、BD、BE.

（1）证明：

DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（2）记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体