小学数学解题策略18图解法.docx
《小学数学解题策略18图解法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小学数学解题策略18图解法.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![小学数学解题策略18图解法.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-1/31/797d1fe4-90d8-49ed-bcee-c936bebcb161/797d1fe4-90d8-49ed-bcee-c936bebcb1611.gif)
小学数学解题策略18图解法
小学数学解题策略(18)——图解法
第十八讲图解法
图形是数学研究的对象,也是数学思维和表达的工具。
在解答应用题时,如果用图形把题意表达出来,题中的数量关系就会具体而形象。
图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用,有利于尽快找到解题思路。
有时,作出了图形,答案便在图形中。
(一)示意图
示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。
小学数学中的示意图简单、直观、形象,使人容易理解图中的数量关系。
例1妈妈给兄弟二人每人10个苹果,哥哥吃了8个,弟弟吃了5个。
谁剩下的苹果多?
多几个?
(适于四年级程度)
解:
作图18-1。
哥哥吃了8个后,剩下苹果:
10-8=2(个)
弟弟吃了5个后,剩下苹果:
10-5=5(个)
弟弟剩下的苹果比哥哥的多:
5-2=3(个)
答:
弟弟剩下的苹果多,比哥哥的多3个。
例2一桶煤油,倒出40%,还剩18升。
这桶煤油原来是多少升?
(适于六年级程度)
解:
作图18-2。
从图中可看出,倒出40%后,还剩:
1-40%=60%
这60%是18升所对应的百分率,所以这桶油原来的升数是:
18÷60%=30(升)
答略。
例3把2米长的竹竿直立在地面上,量得它的影长是1.8米,同时量得电线杆的影长是5.4米。
这根电线杆地面以上部分高多少米?
(适于六年级程度)
解:
根据题意画出如图18-3(见下页)的示意图。
同一时间,杆长和影长成正比例。
设电线杆地面以上部分的高是x米,得:
1.8∶5.4=2∶x
答略。
(二)线段图
线段图是以线段的长短表示数量的大小,以线段间的关系反映数量间关系的一种图形。
在小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。
例1王明有15块糖,李平的糖是王明的3倍。
问李平的糖比王明的糖多多少块?
(适于三年级程度)
解:
作图18-4(见下页)。
从图18-4可看出,把王明的15块糖看作1份数,那么李平的糖就是3份数。
李平比王明多的份数是:
3-1=2(份)
李平的糖比王明的糖多:
15×2=30(块)
综合算式:
15×(3-1)
=15×2
=30(块)
答略。
例2托尔斯泰是俄罗斯伟大作家,享年82岁。
他在19世纪中度过的时间比在20世纪中度过的时间多62年。
问托尔斯泰生于哪一年?
去世于哪一年?
(适于四年级程度)
解:
作图18-5。
从图18-5可看出,他在20世纪度过的时间是:
(82-62)÷2
=20÷2
=10(年)
由此看出,他死于1910年。
他出生的时间是:
1910-82=1828(年)
答略。
解:
作图18-6。
综合算式:
答略。
(三)思路图
小学数学中的许多应用题,需要用综合法或分析法分析解答。
如果把思维的过程用文字图形表示出来,就有助于正确选择已知数量,提出中间问题,理清数量关系,从而顺利解题。
这种表示思维过程的图形就是思路图。
例题参见前面的分析法和综合法。
(四)正方形图
借助正方形图解应用题,就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量,使应用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来,从而达到便于解题的目的。
例1农民张成良,把自己承包的土地的一半种了玉
承包了多少公顷土地?
(适于四年级程度)
解:
根据题意作图18-7。
所以,他承包的土地是:
2×8=16(公顷)
答略。
例2有大小两个正方形,其中大正方形的边长比小正方形的边长多4厘米,面积比小正方形的面积大96平方厘米。
求大、小正方形的面积各是多少平方厘米?
(适于六年级程度)
解:
求大、小正方形的面积,应知道大、小正方形的边长,但题中没有说,也不好直接求出来。
借助画图形的方法可轻易解决这个问题。
根据题意作图18-8。
图中大正方形ABCD的面积比小正方形的面积大96平方厘米。
这96平方厘米的面积是由两个长方形a及比长方形还小的正方形c构成。
从96平方厘米减去正方形c的面积,再除以2就可求出长方形a的面积。
(96-4×4)÷2=40(平方厘米)
因为长方形a的宽是4厘米,所以长方形a的长是:
40÷4=10(厘米)
因为10厘米也是小正方形的边长,所以小正方形的面积是:
10×10=100(平方厘米)
大正方形的边长是:
4+10=14(厘米)
大正方形的面积是:
14×14=196(平方厘米)
答略。
(五)长方形图
借助长方形图解应用题,是以长方形的长表示一种数量,以长方形的宽表示另一种数量,以长方形的面积表示这两种数量的积。
它能把抽象的数量关系转化为具体形象的面积来计算问题。
*例1甲、乙两名工人做机器零件,每天甲比乙多做10个。
现在甲工作15天,乙工作12天,共做出1500个零件。
问甲、乙两人每天各做多少个零件?
(适于五年级程度)
解:
根据题意作图18-9(见下页)。
图18-9中,以左边长方形的长表示甲工作15天,以左边长方形的宽表示甲每天做多少个;以右边长方形的长表示乙工作12天,以右边长方形的宽表示乙每天做多少个。
图中右上角那个长方形的宽表示甲每天比乙多做10个,所以,乙在12天中比甲少做零件:
10×12=120(个)
图中全部阴影部分的面积表示甲、乙共做的零件1500个。
从图18-9可以看出,整个大长方形面积所表示的零件的个数是:
1500+120=1620(个)
这个长方形的长表示甲、乙共同工作的天数:
15+12=27(天)
因为大长方形的宽表示甲每天做零件的个数,所以甲每天做零件的个数是:
1620÷27=60(个)
乙每天做零件的个数是:
60-10=50(个)
答略。
*例2某商店卖出苹果、鸭梨和桔子共25筐,其中鸭梨的筐数是桔子筐数的2倍。
苹果每筐卖90元,鸭梨每筐卖72元,桔子每筐卖60元,共卖得1854元。
问卖出苹果、鸭梨和桔子各多少筐?
(适于六年级程度)
解:
根据题意作图18-10。
图18-10中阴影部分表示,如果25筐都是苹果,则所造成的差价是:
90×25-1854=396(元)
每卖出1筐桔子、2筐鸭梨、3筐苹果的差价是:
(90-72)×2+(90-60)
=36+30
=66(元)
因此,桔子的筐数是:
396÷66=6(筐)
鸭梨的筐数是:
6×2=12(筐)
苹果的筐数是:
25-6-12=7(筐)
答略。
(六)条形图
条形图是把长方形的长画得比较长,把长方形的宽画得比较短的一种图形。
条形图一般以长方形的长表示数量。
条形图可以画成竖的,也可以画成横的。
题中不同的数量可用不同的阴影线或不同的颜色表示。
题中的数量可写在长方形内,也可写在长方形外面。
条形图比线段图更直观一些,在用来解某些应用题时效果要比线段图好。
吨后,两场所剩煤的数量相等。
甲、乙两个煤场原来各存煤多少吨?
(适于六年级程度)
解:
作图18-11。
从图中可看出,从875吨中减去75吨后,甲煤场的煤就相当于乙煤场煤的3倍,两个煤场所存煤共分为4份。
其中一份是:
(875-75)÷(3+1)
=800÷4
=200(吨)
乙煤场原来的存煤吨数是:
200+75=275(吨)
甲煤场原来存煤的吨数是:
200×3=600(吨)
答略。
解:
作图18-12。
但是,实际上是运出125吨。
这140吨比实际运出的多:
140-125=15(吨)
所以15吨所对应的分率是:
甲库原来的存粮吨数是:
420-180=240(吨)
答略。
*例3一组割草人要把大、小两块草地的草割掉,其中大块草地的面积是小块草地面积的2倍。
全体组员用半天的时间割大块草地的草。
下午一半的组员仍停留在大块草地上割,另一半到小块草地上割。
到傍晚时,大块草地的草全部割完,而小块草地还剩下一小块。
这剩下的一小块,第二天一个人用一天的时间就割完了。
这组割草的一共有多少人?
(适于六年级程度)
全体组员割一个上午后,一半的组员又割一个下午就把大块地的草割完,这就是说,要是用一半的组员单独割大块草地的草,就要用3个半天,而在
这剩下的一小块是大块草地的:
这就是说,6个人一天可以把大块草地割完,一个人一天割大块地的
答略。
(七)圆形图
借助圆形图解应用题,是以圆的面积或周长表示题中的数量,并在圆周内、外标上数字、符号,从而达到便于分析数量关系的目的。
例1甲、乙两个学生同时从同一起点沿着一个环形跑道相背而跑。
甲每秒钟跑8米,乙每秒钟跑7米,经过20秒钟两人相遇。
求环形跑道的周长。
(适于五年级程度)
解:
作图18-14。
从图中可看出,甲、乙两人跑的路程的总和就是圆的周长。
根据“速度和×相遇时间=相遇路程”,可求出环形跑道的周长:
(7+8)×20=300(米)
答略。
问这块土地有多少公倾?
(适于六年级程度)
解:
作图18-15。
从图中可看出,第二天耕完这块土地的:
例3有三堆棋子,这三堆棋子所含棋子的个数一样多,且都只有黑、白两色棋子。
第一堆里的黑子与第二堆的白子一样多,第
棋子的几分之几?
(适于六年级程度)
解:
作图18-16。
从图中可看出,把第一堆里的黑子与第二堆里的白子交换,则第一堆全是白子,第二堆全是黑子。
因为第一堆与第二堆的棋子数相同,所以第一堆的白子数与第二堆的黑
所以,白子占全部棋子的:
*例4甲、乙两人同时从环形路的同一点出发,同向环行。
甲每分钟走70米,乙每分钟走46米。
环形路的长是300米。
他们出发后,在1小时20分里相会几次?
到1小时20分时两人的最近距离是多少米?
(适于五年级程度)
解:
作图18-17。
甲、乙二人1分钟的速度差是:
70-46=24(米)
由二人出发到第一次相会所需的时间是:
300÷24=12.5(分)
1小时20分钟即为80分钟。
80分钟内包含几个12.5分钟,二人即相会几次。
80分钟内包括6个12.5分钟,还多5分钟,即二人相会6次。
由于第六次相会后还走5分钟,所以甲乙之间相隔:
24×5=120(米)
此时,甲、乙之间还有一个距离是:
300-120=180(米)
180>120米
答:
在1小时20分钟里两人相会6次;到1小时20分钟时,两人的最近距离是120米。
(八)染色图
在图中用不同的颜色表示不同的内容或不同的数量,以利于解题的图形叫染色图。
染色图是解决数学题和智力题常用的一种图形。
*例1图18-18是某湖泊的平面图,图中的所有曲线都表示湖岸。
某人从岸边A点到B点至少要趟几次水?
B点是在水中还是在岸上?
(适于高年级程度)
解:
这个问题好像很难解答。
但我们按“图中所有曲线都是表示湖岸”的已知条件,将湖面染上色,湖岸部分就显示出来了,答案也就一目了然了(图18-19)。
答:
他至少要趟3次水才能达到B处,B点在湖岸上。
*例2如图18-20,某展览馆有36个展室,每两个相邻展室之间均有门相通。
问你能否从图中入口进去,不重复地参观完每个展室后,再从出口处出来?
(适于高年级程度)
解:
作图18-21。
把图中36个方格相间地染上黑色。
因入口处是白格,参观时若依顺序将展室编号,那么进入第奇数号展室时,应是白格位置;进第偶数号展室应是黑格。
即应按白→黑→白→黑→……顺序交替参观。
参观者最后离开的是第36号展室,它是偶数,按上面的分析它应是黑格,但图中实际为白色方格。
这说明题中要求的参观方式是不可能实现的。
答略。
*例3将图18-22矩形ABCD的一边AD分成6小段,其中线段1+线段3+线段5=线段2+线段4+线段6。
连结对角线BD,用红(图中用横线表示)、蓝(图中用坚线表示)两色将图形分别染色。
问图中染红色部分面积与染蓝色部分面积哪个大?
(适于高年级程度)
解:
此题利用三角形、梯形面积公式可算出结果,但较麻烦。
用染色的方法解此题比较简捷。
先将图中BD线左下面的空白处染上黑色,用S红、S蓝、S黑分别表示染红、蓝、黑三种颜色图形的面积(图18-23)。
从图18-23很容易看到:
另外,S蓝+S黑等于3个小矩形面积的和,而它恰好等于矩形ABCD面积的一半,即:
这就是说:
S红+S黑=S蓝+S黑
从上面算式的两边同时减去S黑,得:
S红=S蓝
答:
图中染红色部分的面积与染蓝色部分的面积一样大。
*例4图18-24的图形是从4×4的正方形纸上剪去两个1×1的小方纸片后得到的。
它们的面积都是14。
若把它们剪成1×2的小矩形,最多能剪几个?
为什么?
(适于高年级程度)
解:
图18-24的三个图形除了
(1)可以剪出7个1×2的小矩形外,
(2)、(3)不管怎么剪,至多都只能剪出6个来。
原因是:
分别用黑白两色对图形
(1)、
(2)、(3)相间地涂色(图18-25)。
从它们上面剪下来的每一个小矩形都由两个相邻的小方格组成,这两个小方格上涂有不同的颜色,如图18-25中
(4)。
既然每个1×2的小矩形都由一个白色格和一个黑色格组成(因为三个图形的面积都是14个方格,把它们剪成1×2的小矩形,照面积来算,似乎都应剪出7个来),要想剪出7个小矩形,当然得有7个白格和7个黑格,但在图18-25中,只有图形
(1)是这样的,图形
(2)、(3)都有8个白格和6个黑格。
故它们只能剪出6个小矩形。
答略。
=3.2(公顷)
答略。