七年级秋季班第1讲整式的基本概念教师版.docx
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七年级秋季班第1讲整式的基本概念教师版
整式的基本概念
代数式是七年级数学上学期第一节内容，主要根据题意，会用规范的格式用字母表示数，掌握代数式的值的概念，能用具体数值代替代数式中的字母，求出代数式的值，理解单项式．多项式和整式的定义．重点是理解代数式的值的意义并能准确求出代数式的值，正确理解单项式．多项式及整式的概念，会把一个多项式按某个字母降幂排列或升幂排列．难点是会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数，能够正确区分单项式和多项式，通过这节课的学习为我们后期学习整式计算提供依据．
1．字母表示数
字母可以表示运算律；字母可以表示公式；字母可以表示数量关系或方程里的求知量；字母可以表示探究得出规律的数．
2．字母表示数的规范要求
（1）数字与字母及字母与字母间的乘号省略，且数字要写在字母之前；
（2）当数字是带分数时，要写成假分数；
（3）除法运算中的除号要用分数线来表示．
【例1】下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（）．
①1⋅x2y
②ab÷c2
③2⨯（a+b）
④ab⋅2
27a
1xy
34
A．1个B．2个C．3个D．4个
【难度】★
【答案】A．
【解析】①、③、④数字应该写在字母前面，乘号省略；②要书写成分数的形式；⑤中带分数要化成假分数．
【总结】本题考查了用字母表示数的规范要求．
【例2】某种商品降价x％后，售价为a元，则原售价是（）．
A．ax元B．a⎛1+
x⎫元C．100a元D．a元
100ç100⎪xx
⎝⎭
【难度】★
【答案】D．
【解析】现价=原价×（1-x%）．
1-
100
【总结】本题考查了用字母表示数的规范要求，同时考查了成本问题．
【例3】某次数学测试，班级中男生20名平均得a分，女生25名平均得b分，此次测验全班的平均分是多少？
【难度】★★
【答案】4a+5b．
9
【解析】解：
班级的总分：
（20a+25b）分
全班的平均分为：
（20a+25b）÷45=4a+5b
9
【总结】书写代数式时，要注意运算中的除号要用分数线表示，另外注意要进行约分．
【例4】一个两位数为x，三位数为y，将x放在y的左边得到一个五位数，用含x．y代数式表示这个五位数．
【难度】★★
【答案】1000x+y．
【解析】解：
x移向y的左边，因为y是三位数，所以x扩大了1000倍，所以是1000x，而
y没有改变还是原来的三位数，所以这个五位数是：
1000x+y．
【总结】本题考查代数式的表示．
【例5】画一个正方形，使它的边长为2厘米，它的面积是平方厘米．
再取各边中点，再连成第2个正方形，它的面积是平方厘米．
再取第2个正方形的各边中点，连成第3个正方形，它的面积是平方厘米．
如果依此方法画出第4个．第5个正方形······那么第20个正方形的面积是平方厘米，第n个正方形的面积是平方厘米．
【难度】★★★
【答案】4；2；1；
1
217
；1．
2n-3
【解析】第一个正方形面积：
2×2=4平方厘米；第二个正方形面积：
4×1
2
=2平方厘米；
第三个正方形面积：
4×1×1=1平方厘米；第20个正方形面积：
4×1=1平方厘米
22
第n个正方形面积：
4×1=1
平方厘米．
219
217
2n-12n-3
【总结】本题不仅考查了代数式的表示，还要注意正方形的性质，求出前几个正方形的面积再寻找它们之间的关系．
b2b5
【例6】
（1）一组按规律排列的式子：
-，
aa2
b8
，-，
a3
b11a4
，…（ab≠0），其中第7个
式子是，第n个式子是（n为正整数）．
（2）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②．图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管.
【难度】★★★
b20
①②③
nb3n-1
【答案】-
a7
；（-1）⋅
an
；83．
b20
nb3n-1
【解析】
（1）由给出的规律可得：
第7个式子是-
a7
，第n个式子是（-1）⋅；
an
（2）第一个帐篷需要17根钢管，第二个帐篷需要：
17+11=28根，
第三个帐篷需要：
17+11+11=39根:
所以第7帐篷需要：
17+11×6=83根．
【总结】本题属于找规律的题型，要注意式子之间的规律，推算出后面的式子．
1．代数式
（1）用运算符号和括号把数或字母连结而成的式子叫做代数式．（这里的运算符号一般指加、减、乘、除，以及以后要学的乘方，开方）
（2）单独一个数字或者一个字母也是代数式．
（3）因为等号和不等号不是运算符号，所以等式和不等式不是代数式．
【例7】下列各式中，是代数式的有（）．
①3xy2
②2πR
③S=πr2
④b⑤5+1>2
⑥ab
2
A．3个B．4个C．5个D．6个
【难度】★
【答案】B．
【解析】③是等式，⑤是不等式，都不是代数式．
【总结】本题查考了代数式的概念．
【例8】下列代数式中，书写规范的是（）．
A．51⨯7ab
3
【难度】★
【答案】D．
B．2a2⨯b-6
C．6ab÷9
D．1a2b
3
【解析】A正确的写法是112ab；B正确的写法是2a2b-6；C正确的写法是2ab．
33
【总结】本题考查了代数式的书写要求．
【例9】下列代数式的值一定是正数的是（）．
A．2
x+y2
B．x-y
C．2x2+3
D．（x+y）2
【难度】★★
【答案】C．
【解析】B、D是非负数，可以为0．A可以为负．
【总结】本题考查了非负数的表示方法，初中常见的非负数的表示方法有①某数或某式子的偶次方；②绝对值；③根式．
【例10】某项工程，甲队完成需要a小时，乙队完成需要b小时，则甲．乙两队合作1小时可完成该工程的（）．
A．1+1
ab
【难度】★★
【答案】A．
B．1
a+b
C．1
ab
D．1÷⎛1+1⎫
⎝⎭
【解析】解：
甲的工作效率：
1÷a=1,乙的工作效率：
1÷b=1，
ab
甲、乙合作1个小时完成的工作量：
1×（1+1）=1+1．
abab
【总结】工程问题中的等量关系：
工作总量=工作时间×工作效率；
工作时间=工作总量÷工作效率；工作效率=工作总量÷工作时间．
【例11】用语言描述3a-15的数量关系，其中错误的是（）．
A．a的3倍与15的差B．3a与15的相反数的和
C．a与5的差的3倍D．a与15的差的3倍
【难度】★★
【答案】D．
【解析】D答案的表示是：
3（a-15）．
【总结】本题主要考查的是代数式的意义，属于基础题型．
【例12】下列语句中，不正确的是（）．
A．代数式x2-y2的意义是x与y的平方差．
B．代数式1（x-y）的意义是x与y的差的一半．
2
C．x的7倍与y的和的一半，用代数式表示是7x+y．
2
D．x的1
6
与y的1
8
差，用代数式表示是
1x-1y．
68
【难度】★★
【答案】C．
【解析】C答案代数式的表示为：
1（7x+y）．
2
【总结】要注意语句中的关键字，注意平方差和差的平方的区别．
【例13】用文字语言表示下列式子：
（1）2a+1；
（2）3（a-2）；（3）a-5．
【难度】★★
【答案】
（1）a的2倍与1的和；
（2）a与2的差的3倍；（3）a与5的差的绝对值．
【解析】
（1）中是一个求和的式子；
（2）中是乘积，3倍的关系；（3）中是绝对值．
【总结】本题主要考查的是代数式的意义，属于基础题型．
【例14】汽车每小时耗油10升，油箱中已装油a升．
（1）当a=80时，汽车行驶多少小时后，油箱中剩余油为20升？
（2）用代数式表示汽车行驶x小时后，油箱中剩余的油量y．
【难度】★★
【答案】
（1）6；
（2）y=a-10x．
【解析】解：
（1）（80-20）÷10=6（小时）
（2）y=a-10x．
【总结】应用题中，要找到等量关系，抓住关键字，再列式计算．
【例15】正方形的边长为acm，边长增加2cm后，面积增加（）．
A．4cm2
B．（a2+4）cm2
C．（a+2）2cm2
D．⎡（a+2）2-a2⎤cm2
⎣⎦
【难度】★★
【答案】D．
【解析】解：
原来正方形的面积是：
a⨯a=a2cm2，
⎣⎦
边长增加2cm后面积为：
（a+2）⨯（a+2）=（a+2）2cm2，增加的面积为：
⎡（a+2）2-a2⎤cm2．
【总结】注意正方形的面积公式，边长增加2cm后的图形还是正方形．注意代数式的书写要求，规范表示．
【例16】船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为2千米/时（x>2），若A、B两地相距
s千米，则在A、B间往返一次共需小时．
【难度】★★★
【答案】⎛s+s⎫．
çx+2x-2⎪
⎝⎭
【解析】解：
当船顺水而行时：
s÷（x+2）=
当船逆水而行时：
s÷（x-2）=
s
x+2
s
x-2
（小时）；
（小时）
往返一次的时间为：
⎛s+s⎫（小时）．
çx+2x-2⎪
⎝⎭
【总结】行船问题公式：
顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速，时间=航行路程÷航行速度．
【例17】浓度为80％的酒精a克，加水10克后的浓度是多少？
【难度】★★★
【答案】4a．
5a+50
【解析】浓度为80％的酒精a克中纯酒精为80%a克，加水后的浓度是80%⋅a=4a克．
a+105a+50
【总结】浓度问题：
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量；
溶质的重量÷溶液的重量×100％=浓度；
溶液的重量×浓度=溶质的重量．
1．代数式的值
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．
2、求代数式的值的方法
直接代入法；整体代入法．
【例18】当x2+y2=1，3x-2y2=-2时，4x-y2的值是（）．
A．-2
【难度】★
【答案】B．
B．-1
C．3D．6
【解析】
x+y2=1，3x-2y2=-2，∴（x+y2）+（3x-2y2）=1-2=-1，即4x-y2=-1．
【总结】本题考查了整体代入法求值，属于基础题型．
【例19】求代数式
x-y
2x+3y
的值，其中
（1）x=-2，y=-5；
（2）x=2，y=5．
【难度】★
【答案】
（1）-3；
（2）-3．
1919
【解析】
（1）
x-y
=-2+5
=-3；
（2）
x-y
=2-5
=-3
2x+3y
-4-1519
2x+3y
4+1519
【总结】本题主要考查了代数式的值，在代值过程中要注意符号的问题．
1b
【例20】若a=3，b=0.3，则3=．
2a
【难度】★★
【答案】1．
60
1b
1⨯0.3
1⨯3
【解析】解：
3=3=310=1．
2a6660
【总结】本题主要考查了代数式的值，如果既有分数又有小数的时候，可以把分数小数进行互化．
【例21】如果x-3+（y-2）2=0，则yx=．
【难度】★★
【答案】8．
【解析】解：
由x-3+（y-2）2=0，可得：
x-3=0，y-2=0，解得：
x=3，y=2，所以yx=23=8．
【总结】本题一方面考查了绝对值的性质，另一方面考查了代数式的求值．
【例22】如果a2+ab=5，b2+3ab=9，则a2-2ab-b2=．
【难度】★★
【答案】-4．
【解析】解：
（a2+ab）-（b2+3ab）=a2+ab-b2-3ab=a2-2ab-b2，
∴a2-2ab-b2=5-9=-4．
【总结】本题主要考查了整体代入思想的运用．
【例23】若代数式2a2+3a+1的值是5，求代数式6a2+9a-8的值．
【难度】★★
【答案】4．
【解析】解：
2a2+3a+1=5，2a2+3a=4，∴3（2a2+3a）=6a2+9a=3⨯4=12，
∴6a2+9a-8=
1-2
=8．
【总结】本题一方面考查了代数式的求值，另一方面考查了整体代入思想的灵活运用．
【例24】已知a-4与a+2b互为相反数，求代数式10（a-b）3-8（a-b）2+9（b-a）3+
7（b-a）2的值．
【难度】★★
【答案】180．
【解析】由题意可得：
a-4+a+2b=0，∴a-4=0，a+2b=0，解得：
a=4，b=-2．
⎣⎦
原式=10（a-b）3-9（a-b）3-⎡8（a-b）2-7（a-b）2⎤
=（a-b）3-（a-b）2
=（4+2）3-（4+2）2
=180
【总结】本题中互为相反数的两个数之和为0，还要注意奇负偶正的灵活运用．
【例25】
（1）当a=1，b=1及a=3，b=1时，分别计算a2-2ab+b2及（a-b）2的值，
342
并观察所得代数式的值，有什么发现？
可猜想出什么规？
（2）应用你发现的规律，计算：
101.232-2⨯101.23⨯1.23+1.232．
【难度】★★
【答案】
（1）4；4；1；1
；a2-2ab+b2=（a-b）2；
（2）10000．
996060
【解析】
（1）当a=1，b=
；（a-b）2=ç1-⎪=；
319311
⎛31⎫21
当a=，b=时，a2-2ab+b2=-+=；（a-b）2=ç-⎪=；
42164416⎝42⎭16
发现a2-2ab+b2=（a-b）2．
（2）由
（1）中的规律可得：
101.232-2⨯101.23⨯1.23+1.232
=（101.23-1.23）2
=1002
=10000．
【总结】本题考查了代数式的求值问题，同时也考查了找规律．
【例26】已知a+19=b+9=c+8，求（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2．
【难度】★★★
【答案】222．
【解析】解：
a+19=b+9，a+19=c+8，b+9=c+8，
∴a-b=9-19=-10，c-a=19-8=11，b-c=8-9=-1，
所以原式=（-10）2+（-1）2+（11）2=100+121+1=222．
【总结】本题考查了代数式的求值，要学会从已知中提取需要的知识点．
0123456
【例27】已知：
（2x2-x-1）3=ax6+ax5+ax4+ax3+ax2+ax+a．求：
（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6的值；
（2）a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6的值；
（3）a0+a2+a4+a6的值．
【难度】★★★
【答案】
（1）0；
（2）8；（3）4．
【解析】解：
（1）由已知可得，当x=1时，（2-1-1）3=a
+a+a
+a+a
+a+a
=0；
0123456
（2）由已知可得，当x=-1时，（2+1-1）3=a-a+a-a+a-a+a
=8；
0123456
（3）由
（1）和
（2）可知，
（a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6）=0+8=8
即2（a0+a2+a4+a6）=8，所以a0+a2+a4+a6=4．
【总结】本题主要考查了代数式的求值，注意观察系数的特征．
1、单项式
由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．单独一个数或字母也是单项式．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
2、多项式
由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．
在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
3、多项式的升幂或降幂排列
（1）把一个多项式按其一个字母的指数从高到低的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．
（2）把一个多项式按某一个字母的指数从低到高的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
4、整式
单项式．多项式统称为整式．
【例28】下列说法正确的是（）．
A．1不是单项式B．b是单项式
2a
C．x的系数是0D．3x-2y是整式
2
【难度】★
【答案】D．
【解析】A是单项式；B答案不是整式，而是分式；C的系数是1不是0．
【总结】本题考查了整式最基本的概念．
【例29】32005x2y2是次单项式．
【难度】★
【答案】4．
【解析】单项式的次数是所有字母的指数和，2+2=4，所以是4次单项式．
【总结】本题主要考查了单项式的次数的计算方法，属于基础题．
【例30】把多项式a3-3ab+5b3-6a2b按a的降幂排列为．
【难度】★
【答案】a3-6a2b-3ab+5b3．
【解析】只看字母a的指数的大小，降幂排列是指数从大到小，所以是a3-6a2b-3ab+5b3．
【总结】本题主要考查了多项式的排列，要注意升幂和降幂的排列顺序．
【例31】已知-2ab3-7an-1b2与-32π2x3y5的次数相等，则（-1）n+1=．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】解：
单项式-32π2x3y5的指数是3+5=8，而多项式中-2ab3的指数为4，所以-7an-1b2
的指数n-1+2=8，∴n=7，∴（-1）n+1=（-1）7+1=1．
【总结】本题主要考查了单项式和多项式的次数的表示．
【例32】多项式
3a2b-2a5-4b+ab
6
的一次项是，三次项系数是，常
数项是．
【难度】★★
【答案】-2b；1；0．
3
【解析】解：
2
3a2b-2a5-4b+ab
=1a2b-
1a5
-2b+1
ab，所以一次项为-
2b，三次项系
623363
数为1，常数项为0.
2
【总结】本题考查了多项式的相关知识点，属于基础题，要注意分母6要整理到系数中去．
【例33】多项式3xn-2+2xn-4xn+3-3xn-1（n是大于3的整数），按x的升幂排列为
．
【难度】★★
【答案】3xn-2-3xn-1+2xn-4xn+3．
【解析】解：
按x的升幂排列：
按x的指数从低到高的顺序排列，所以是
3xn-2-3xn-1+2xn-4xn+．
【总结】本题主要考查多项式的排序问题，属于基础题目．
【例34】m、n都是正整数，多项式xm+yn+3m+n的次数是（）
A.2m+2n
B.
m或n
C.
m+n
D.
m、n中的较大数
【难度】★★
【答案】D．
【解析】本题只告诉了m、n都是正整数，不知道其大小，多项式的次数是看次数最高项次数，所以是m、n中较大数．
【总结】本题考查了多项式的次数的定义，属于基础题．
【例35】一个n次多项式，它的任何一项次数都．
【难度】★★
【答案】小于或等于n．
【解析】多项式的次数是看次数最高项的次数，所以其他项的次数小于或等于n．
【总结】本题考查了多项式的次数的定义，属于基础题．
【例36】若多项式x4-ax3+x3-5x2-bx-3x-1不含x的奇次项，求a+b的值．
【难度】★★★
【答案】-2．
【解析】解：
原式=x4+（1-a）x3-5x2-（b+3）x-1，不含x的奇次项，则1-a=0，b+30=，
所以a=1，b=-3，所以a+b=1-3=-2．
【总结】多项式中不含某项，就是使该项的系数为0，要注意先
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