七年级秋季班第1讲整式的基本概念教师版.docx

1、七年级秋季班第1讲整式的基本概念教师版整式的基本概念代数式是七年级数学上学期第一节内容，主要根据题意，会用规范的格式用字母表示数，掌握代数式的值的概念，能用具体数值代替代数式中的字母，求出代数式的值，理解单项式多项式和整式的定义重点是理解代数式的值的意义并能准确求出代数式的值，正确理解单项式多项式及整式的概念，会把一个多项式按某个字母降幂排列或升幂排列难点是会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数，能够正确区分单项式和多项式，通过这节课的学习为我们后期学习整式计算提供依据1字母表示数字母可以表示运算律；字母可以表示公式；字母可以表示数量关系或方程里的求知量； 字母可以表示探究得出规律的数2字母表

2、示数的规范要求（1）数字与字母及字母与字母间的乘号省略，且数字要写在字母之前；（2）当数字是带分数时，要写成假分数；（3）除法运算中的除号要用分数线来表示【例1】 下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（ ） 1 x2 y ab c2 2 (a + b) ab 22 7a1 xy3 4A 1个 B 2 个 C 3 个 D 4 个【难度】【答案】A【解析】、数字应该写在字母前面，乘号省略；要书写成分数的形式；中带分数要化成假分数【总结】本题考查了用字母表示数的规范要求【例2】 某种商品降价 x 后，售价为 a 元，则原售价是（ ）A ax 元 B a 1 +x 元 C 100a 元 D a

3、元 100 100 x x 【难度】【答案】D【解析】现价=原价（1-x%）1 -100【总结】本题考查了用字母表示数的规范要求，同时考查了成本问题【例3】 某次数学测试，班级中男生20 名平均得 a 分，女生25 名平均得b 分，此次测验全班的平均分是多少？【难度】【答案】 4a + 5b 9【解析】解：班级的总分： (20a + 25b) 分全班的平均分为： (20a + 25b) 45 = 4a + 5b9【总结】书写代数式时，要注意运算中的除号要用分数线表示，另外注意要进行约分【例4】 一个两位数为 x ，三位数为 y ，将 x 放在 y 的左边得到一个五位数，用含 x y 代数式表示

4、这个五位数【难度】【答案】1000x + y 【解析】解：x 移向 y 的左边，因为 y 是三位数，所以 x 扩大了 1000 倍，所以是 1000x，而y 没有改变还是原来的三位数，所以这个五位数是：1000x + y 【总结】本题考查代数式的表示【例5】 画一个正方形，使它的边长为2 厘米，它的面积是 平方厘米再取各边中点，再连成第2 个正方形，它的面积是 平方厘米再取第2 个正方形的各边中点，连成第3 个正方形，它的面积是 平方厘米如果依此方法画出第4 个第5 个正方形 那么第20 个正方形的面积是 平方厘米，第n 个正方形的面积是 平方厘米【难度】【答案】4；2；1；1217； 1 2

5、n-3【解析】第一个正方形面积：22=4 平方厘米；第二个正方形面积：4 12=2 平方厘米；第三个正方形面积：4 1 1 =1 平方厘米；第 20 个正方形面积：4 1 = 1 平方厘米 2 2第 n 个正方形面积：4 1 = 1平方厘米2192172n-1 2n-3【总结】本题不仅考查了代数式的表示，还要注意正方形的性质，求出前几个正方形的面积再寻找它们之间的关系b2 b5【例6】 （1）一组按规律排列的式子： - ，a a2b8， - ，a3b11 a4，( ab 0 )，其中第7 个式子是 ，第n 个式子是 ( n 为正整数)（2）搭建如图的单顶帐篷需要 17 根钢管，这样的帐篷按图图

6、的方式串起来搭建，则串 7 顶这样的帐篷需要 根钢管.【难度】b20 n b3n-1【答案】-a7； (-1) an；83b20n b3n-1【解析】（1）由给出的规律可得：第 7 个式子是-a7，第 n 个式子是(-1) ；an（2）第一个帐篷需要 17 根钢管，第二个帐篷需要：17+11=28 根，第三个帐篷需要：17+11+11=39 根:所以第 7 帐篷需要：17+116=83 根【总结】本题属于找规律的题型，要注意式子之间的规律，推算出后面的式子1代数式（1）用运算符号和括号把数或字母连结而成的式子叫做代数式(这里的运算符号一般指加、减、乘、除，以及以后要学的乘方，开方)（2）单独一

7、个数字或者一个字母也是代数式（3）因为等号和不等号不是运算符号，所以等式和不等式不是代数式【例7】 下列各式中，是代数式的有（ ） 3xy2 2 R S = r2 b 5 + 1 2 ab2A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个【难度】【答案】B【解析】是等式，是不等式，都不是代数式【总结】本题查考了代数式的概念【例8】 下列代数式中，书写规范的是（ ）A 5 1 7ab3【难度】【答案】DB 2a2 b - 6C 6ab 9D 1 a2b 3【解析】 A 正确的写法是112 ab ； B 正确的写法是2a2b - 6 ； C 正确的写法是 2 ab 3 3【总结】本题考查了代数式的书

8、写要求【例9】 下列代数式的值一定是正数的是（ ）A 2x + y2B x - yC 2x2 + 3D (x + y)2【难度】【答案】C【解析】B、D 是非负数，可以为 0A 可以为负【总结】本题考查了非负数的表示方法，初中常见的非负数的表示方法有某数或某式子的偶次方；绝对值；根式【例10】 某项工程，甲队完成需要 a 小时，乙队完成需要b 小时，则甲乙两队合作1 小时可完成该工程的（ ）A 1 + 1a b【难度】【答案】AB 1a + bC 1abD 1 1 + 1 【解析】解：甲的工作效率：1a= 1 ,乙的工作效率：1b= 1 ，a b甲、乙合作 1 个小时完成的工作量：1（ 1 +

9、 1 ）= 1 + 1 a b a b【总结】工程问题中的等量关系：工作总量=工作时间工作效率；工作时间=工作总量工作效率； 工作效率=工作总量工作时间【例11】 用语言描述3a -15 的数量关系，其中错误的是（ ）A a 的3 倍与15 的差 B 3a 与15 的相反数的和C a 与5 的差的3 倍 D a 与15 的差的3 倍【难度】【答案】D【解析】D 答案的表示是： 3(a -15) 【总结】本题主要考查的是代数式的意义，属于基础题型【例12】 下列语句中，不正确的是（ ）A 代数式 x2 - y2 的意义是 x 与 y 的平方差 B 代数式 1 (x - y )的意义是 x 与 y

10、 的差的一半2C x 的7 倍与 y 的和的一半，用代数式表示是7x + y 2D x 的 16与 y 的 18差，用代数式表示是1 x - 1 y 6 8【难度】【答案】C【解析】C 答案代数式的表示为： 1 (7x + y ) 2【总结】要注意语句中的关键字，注意平方差和差的平方的区别【例13】 用文字语言表示下列式子：（1） 2a + 1； （2） 3(a - 2) ； （3） a - 5 【难度】【答案】（1）a 的 2 倍与 1 的和；（2）a 与 2 的差的 3 倍；（3）a 与 5 的差的绝对值【解析】（1）中是一个求和的式子；（2）中是乘积，3 倍的关系；（3）中是绝对值【总结

11、】本题主要考查的是代数式的意义，属于基础题型【例14】 汽车每小时耗油10 升，油箱中已装油a 升（1）当a = 80 时，汽车行驶多少小时后，油箱中剩余油为20 升？（2）用代数式表示汽车行驶 x 小时后，油箱中剩余的油量 y 【难度】【答案】(1)6；（2） y = a -10x 【解析】解：（1）（80-20）10=6 （小时）（2） y = a -10x 【总结】应用题中，要找到等量关系，抓住关键字，再列式计算【例15】 正方形的边长为a cm ，边长增加2cm 后，面积增加（ ）A 4cm2B (a2 + 4)cm2C (a + 2)2 cm2D (a + 2)2 - a2 cm2

12、【难度】【答案】D【解析】解：原来正方形的面积是： a a = a2cm2 ， 边长增加 2cm 后面积为： (a + 2) (a + 2) = (a + 2)2 cm2 ，增加的面积为： (a + 2)2 - a2 cm2 【总结】注意正方形的面积公式，边长增加 2cm 后的图形还是正方形注意代数式的书写要求，规范表示【例16】 船在静水中的速度为 x 千米/时，水流速度为2 千米/时(x 2) ，若 A、B 两地相距s 千米，则在 A、B 间往返一次共需 小时【难度】【答案】 s + s x + 2 x - 2 【解析】解：当船顺水而行时： s (x + 2) =当船逆水而行时： s (x

13、 - 2) =sx + 2sx - 2（小时）；（小时）往返一次的时间为： s + s （小时） x + 2 x - 2 【总结】行船问题公式：顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速，时间=航行路程航行速度【例17】 浓度为80 的酒精a 克，加水10 克后的浓度是多少？【难度】【答案】 4a 5a + 50【解析】浓度为80 的酒精a 克中纯酒精为 80% a 克，加水后的浓度是 80% a = 4a 克 a + 10 5a + 50【总结】浓度问题：溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量；溶质的重量溶液的重量100=浓度； 溶液的重量浓度=溶质的重量 1代数式的值用数值代替代数式里的字母，

14、按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值2、求代数式的值的方法直接代入法；整体代入法【例18】 当 x2 + y2 = 1， 3x - 2 y2 = -2 时， 4x - y2 的值是（ ）A -2【难度】【答案】BB -1C 3 D 6【解析】x + y2 = 1，3x - 2 y2 = -2 ， (x + y2 )+ (3x - 2 y2 )= 1 - 2 = -1，即4x - y2 = -1 【总结】本题考查了整体代入法求值，属于基础题型【例19】 求代数式x - y2x + 3y的值，其中（1） x = -2 ， y = -5 ；（2） x = 2 ， y = 5 【难度】【

15、答案】（1） - 3 ；（2） - 3 19 19【解析】（1）x - y= -2 + 5= - 3 ；（2）x - y= 2-5= - 32x + 3y-4 -15 192x + 3y4 + 15 19【总结】本题主要考查了代数式的值，在代值过程中要注意符号的问题1 b【例20】 若 a = 3 ， b = 0.3 ，则 3 = 2a【难度】【答案】 1 601 b1 0.31 3 【解析】解： 3 = 3 = 3 10 = 1 2a 6 6 60【总结】本题主要考查了代数式的值，如果既有分数又有小数的时候，可以把分数小数进行互化【例21】 如果 x - 3 + ( y - 2)2 = 0

16、，则 y x = 【难度】【答案】8【解析】解：由 x - 3 + ( y - 2)2 = 0 ，可得： x - 3 = 0，y - 2 = 0 ，解得： x = 3，y = 2 ，所以 yx = 23 = 8 【总结】本题一方面考查了绝对值的性质，另一方面考查了代数式的求值【例22】 如果a2 + ab = 5 ， b2 + 3ab = 9 ，则a2 - 2ab - b2 = 【难度】【答案】-4 【解析】解： (a2 + ab)- (b2 + 3ab )= a 2 + ab - b 2 - 3ab = a 2 - 2ab - b 2 ， a2 - 2ab - b2 = 5 - 9 = -4

17、 【总结】本题主要考查了整体代入思想的运用【例23】 若代数式2a2 + 3a +1 的值是5 ，求代数式6a2 + 9a - 8 的值【难度】【答案】4【解析】解：2a2 + 3a + 1 = 5 ，2a2 + 3a = 4 ， 3(2a2 + 3a)= 6a2 + 9a = 3 4 = 12 ， 6a2 + 9a - 8=1-2=8 【总结】本题一方面考查了代数式的求值，另一方面考查了整体代入思想的灵活运用【例24】 已知 a - 4 与 a + 2b 互为相反数，求代数式10(a - b)3 - 8(a - b)2 + 9(b - a)3 +7(b - a)2 的值【难度】【答案】180

18、【解析】由题意可得： a - 4 + a + 2b = 0 ， a - 4 = 0，a + 2b = 0 ，解得： a = 4，b = -2 原式 = 10 (a - b)3 - 9 (a - b)3 - 8(a - b)2 - 7 (a - b)2 = (a - b)3 - (a - b)2= (4 + 2)3 - (4 + 2)2= 180【总结】本题中互为相反数的两个数之和为 0，还要注意奇负偶正的灵活运用【例25】 （1）当a = 1， b = 1 及a = 3 ， b = 1 时，分别计算 a2 - 2ab + b2 及(a - b)2 的值，3 4 2并观察所得代数式的值，有什么发

19、现？可猜想出什么规？（2）应用你发现的规律，计算：101.232 - 2 101.231.23 +1.232 【难度】【答案】（1） 4 ； 4 ； 1 ； 1； a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 ；（2）100009 9 60 60【解析】（1）当a = 1， b =； (a - b)2 = 1 - = ；3 1 9 3 1 1 3 1 2 1当 a = ， b = 时， a2 - 2ab + b2 = - + = ； (a - b)2 = - = ；4 2 16 4 4 16 4 2 16发现a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 （2）由（1）中的规律可得：10

20、1.232 - 2 101.231.23 +1.232= (101.23 -1.23)2=1002=10000【总结】本题考查了代数式的求值问题，同时也考查了找规律【例26】 已知a + 19 = b + 9 = c + 8 ，求(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 【难度】【答案】222【解析】解：a +19 = b + 9 ，a +19 = c + 8 ，b + 9 = c + 8 ， a - b = 9 -19 = -10 ， c - a = 19 - 8 = 11， b - c = 8 - 9 = -1，所以原式= (-10)2 + (-1)2 + (11)2

21、= 100 + 121 + 1 = 222 【总结】本题考查了代数式的求值，要学会从已知中提取需要的知识点0 1 2 3 4 5 6【例27】 已知： (2x2 - x -1)3 = a x6 + a x5 + a x4 + a x3 + a x2 + a x + a 求：（1） a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 的值；（2） a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 的值；（3） a0 + a2 + a4 + a6 的值【难度】【答案】（1）0；（2）8；（3）4【解析】解：（1）由已知可得，当 x = 1 时， (2 -1 -1)3

22、= a+ a + a+ a + a+ a + a= 0 ；0 1 2 3 4 5 6（2）由已知可得，当 x = -1 时， (2 + 1 -1)3 = a - a + a - a + a - a + a= 8 ；0 1 2 3 4 5 6（3）由（1）和（2）可知，(a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 ) + (a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 ) = 0 + 8 = 8即2(a0 + a2 + a4 + a6 ) = 8 ，所以a0 + a2 + a4 + a6 = 4 【总结】本题主要考查了代数式的求值，注意观察系数的特征1、

23、单项式由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式 单独一个数或字母也是单项式单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数2、多项式由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数就是这个多项式的次数3、多项式的升幂或降幂排列（1）把一个多项式按其一个字母的指数从高到低的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列 （2）把一个多项式按某一个字母的指数从低到高的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列4、整式单项式多项式统称为整式【例28】 下列说法正确的是（ ）A

24、1 不是单项式 B b 是单项式2 aC x 的系数是0 D 3x - 2 y 是整式2【难度】【答案】D【解析】A 是单项式；B 答案不是整式，而是分式；C 的系数是 1 不是 0【总结】本题考查了整式最基本的概念【例29】 32005 x2 y2 是 次单项式【难度】【答案】4【解析】单项式的次数是所有字母的指数和，2+2=4，所以是 4 次单项式【总结】本题主要考查了单项式的次数的计算方法，属于基础题【例30】 把多项式a3 - 3ab + 5b3 - 6a2b 按 a 的降幂排列为 【难度】【答案】a3 - 6a2b - 3ab + 5b3 【解析】只看字母 a 的指数的大小，降幂排列

25、是指数从大到小，所以是a3 - 6a2b - 3ab + 5b3 【总结】本题主要考查了多项式的排列，要注意升幂和降幂的排列顺序【例31】 已知-2ab3 - 7an-1b2 与-32 2 x3 y5 的次数相等，则(-1)n+1 = 【难度】【答案】1【解析】解： 单项式-32 2 x3 y5 的指数是 3+5=8，而多项式中-2ab3 的指数为 4，所以-7an-1b2的指数n -1 + 2 = 8 ， n = 7 ， (-1)n+1 = (-1)7+1 = 1【总结】本题主要考查了单项式和多项式的次数的表示【例32】 多项式3a2b - 2a5 - 4b + ab6的一次项是 ，三次项系

26、数是 ，常数项是 【难度】【答案】- 2 b ； 1 ；03【解析】解：23a2b - 2a5 - 4b + ab= 1 a2b -1 a5- 2 b + 1ab ，所以一次项为-2 b ，三次项系6 2 3 3 6 3数为 1 ，常数项为 0.2【总结】本题考查了多项式的相关知识点，属于基础题，要注意分母 6 要整理到系数中去【例33】 多项式3xn-2 + 2xn - 4xn+3 - 3xn-1 （ n 是大于3 的整数），按 x 的升幂排列为 【难度】【答案】3xn-2 - 3xn-1 + 2xn - 4xn+3 【解析】解：按 x 的升幂排列：按 x 的指数从低到高的顺序排列，所以是3

27、xn-2 - 3xn-1 + 2xn - 4xn+【总结】本题主要考查多项式的排序问题，属于基础题目【例34】 m 、n 都是正整数，多项式 xm + yn + 3m+ n 的次数是（ ）A. 2m + 2nB. m 或nC. m + nD. m 、n 中的较大数【难度】【答案】D【解析】本题只告诉了m、n 都是正整数，不知道其大小，多项式的次数是看次数最高项次数，所以是m、n 中较大数【总结】本题考查了多项式的次数的定义，属于基础题【例35】 一个n 次多项式，它的任何一项次数都 【难度】【答案】小于或等于 n【解析】多项式的次数是看次数最高项的次数，所以其他项的次数小于或等于 n【总结】本题考查了多项式的次数的定义，属于基础题【例36】 若多项式 x4 - ax3 + x3 - 5x2 - bx - 3x -1不含 x 的奇次项，求 a + b 的值【难度】【答案】-2 【解析】解：原式= x4 + (1- a)x3 - 5x2 - (b + 3)x -1 ，不含 x 的奇次项，则1- a =0 ，b +3 0= ，所以a = 1，b = -3 ，所以a + b = 1 - 3 = -2 【总结】多项式中不含某项，就是使该项的系数为 0，要注意先