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数学竞赛梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的

著作《球面学》（Sphaerica）。

任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定

理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明•梅涅劳斯把这一定

理扩展到了球面三角形。

中文名

梅涅劳斯定理

提岀时间

1678年

外文名

Menelaus

应用学科

数学，物理

别称

梅氏定理

适用领域范围

平面几何学

表达式

（AF/FB）X（BD/DC）X（CE/EA）=1

适用领域范围

射影几何学

提岀者

梅涅劳斯

定理内容

首先给出完整的定理內容：

当直线交MSC三边所在直线BCtACtAB于点DtEfF时』

AlBDCE（

fBXDCXE4=1

定理证明

证明一

过点A作AG//DF交BC的延长线于点G.则

AFGDCECDAFBDCEGDBDCD

——■WV—VV

FB"EA~DGr'IBDCEA~DBDCDG

证明二

过点C作CP//DF交AB于P,贝U

80_0FCE_PF

0C=FPrE4=M

两式相乘得

AfBDCE_AFBFPF

证明三

连结CF、AD,根据两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。

AF:

FB=Sadf：

Sabdf

（1）,

BD:

DC=Sbdf：

Sacdf-

（2）,

CEEA=SCDE：

$△adE=Safec:

Safea

=（Sacde+Sxfec）：

（Saade+S\fea）

=SaCDFSAADF（3）

（1）X

（2）X（3）得

AFBDCESmdfSmdf

XX二XK=]

FEDCEA5ACDF

证明四

过三顶点作直线DEF的垂线AA,BB',CC；如图：

充分性证明：

AABC中，BC,CA，AB上的分点分别为D，E，F。

连接DF交CA于E',则由充分性可得，（AF/FB）X（BD/DC）X（CE'/E'A）=1

AfBDCE*

又•••"：

•••有CE/EA=CE'/E'A两点重合。

所以.■.「共线

过的三个顶点作直线尸D的垂线*则有上

AFAAfBDBBfCECCr

BF'DC=~CC*'EA=^A*

三式相乘得竺BD_CEAAr阳CC百厂辰^肓’—两7”&^卫~一

推论在AABC的三边BCCA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是入=BL/LC卩=CM/MAv=AN/NB于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是入卩-1=（注意与塞瓦定理相区分，那里是入卩-）=1

此外，用该定理可使其容易理解和记忆：

第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：

若E,F,D三点共线，则

（sin/ACF/sin/FCB）（sin/BAD/sin/DAC）（sin/CBE/sin/ABE）=1即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。

该形式的梅涅劳斯定理也很实用。

证明：

可用面积法推出：

第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。

第二角元形式的梅涅劳斯定理

在平面上任取一点0,且EDF共线，则（sin/AOF/sin/FOB）（sin/BOD/sin/DOC）（sin/COE

/sin/AOE）=1。

（O不与点A、B、C重合）

梅涅劳斯球面三角形定理

在球面三角形ABC中，三边弧AB,弧BC,弧CA都是大圆弧）被另一大圆弧截于P,Q,R三点，那么

数学意义

使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共

线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重

要的作用。

梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。

它的逆定理也成立：

若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足

AF/FBXBD/DCXCE/EA=WF、D、E三点共线。

利用这个逆定理，可以判断三点共线。

梅涅劳斯逆定理

定理

若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BCCA或其延长线上，且满足AF/FBXBD/DCXCE/EA=1F、D、E三点共线。

禾U用这个逆定理，可以判断三点共线。

注意定理中提到的三个点的位置，在梅涅劳斯逆定理中，三个点要么只有两个在三角

形边上，要么一个都不在三角形边上。

即：

该逆定理成立的前提是三个点有偶数个点在三角形边上。

否则为塞瓦定理逆定理。

证明方式

已知：

E、F是厶ABC的边ABAC上的点，D是BC的延长线的点，且有：

（AF/FB）（BD/DC）（CE/EA）=1求证：

E、F、D三点共线。

思路：

采用反证法。

先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。

再证P与F重合。

证明：

先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。

由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得：

（AP/PB）（BD/DC）（CE/EA）=1

•/（AF/FB）（BD/DC）（CE/EA）=1

•••AP/PB=AF/FB;

•••（AP+PB）/PB=（AF+FB）/FB;

•AB/PB=AB/FB;

•PB=FB即P与F重合。

•D、E、F三点共线。

首先我们已知图中的直线关系：

三角形一边的延长线上一点与相邻边上一点的连线与另一边

相交于一点，然后再来求各个边的关系。

梅涅劳斯的功劳在于，他根据上图的现象，发现了关系式：

AF/FBXBD/DC

然后反过来再证明，如果满足这个关系，那么那条线是直线

总之：

从现象发现等式，再从等式反推现象，这两个工作使得这一发现成为定理。

问题：

梅涅劳斯是怎么根据图中的现象发现或者计算出等式AF/FBXBD/D«CE/EA=1

这个问题请大家思考。

梅涅劳斯定理及例题拓展

梅涅劳斯介绍：

在证明点共线时，有一个非常重要的定理，它就是梅涅劳斯定理，梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍。

下面的定理就是他首先发现的。

这个定理在几何学上有很重要的应用价值。

定理：

设D、E、F依次是三角形ABC的三边AB、BCCA或其延长线上的点，且

ADBECF“

这三点共线，则满足===1证明：

（此定理需要分四种情况讨论，但有两种可以排除）先来说明两种不可能的情况情况一：

当三点均在三角形边上时,由基本事实可知三点不可能共线（只能组成内接三角形的三角形。

情况二：

当一点在三角形一边上,另两点分别在三角形另两边的延长线上时，如图是三角形ABC直线DE交AB于点D，交AC于点F,交BC于点E,平移直线

DE即可发现不能可两点同时在延长线上

情况三：

当两点分别在三角形两边上,另一点在三角形另一边的延长线上时，如图是三角形ABC直线DE交AB于点D,交AC于点F,

•••D、E、F三点共线

如图是三角形ABC直线DE交

AB于点D,交AC于点F,交BC于点E,同情况三•••D、E、F三点共线

•可过C作CM//DE交AB于M，于是

DM，

FC，

BEAD

ECDM

ADBE

所以

DBEC

情况四：

三点分别在三角形三边的延长线上时,

二可过C作CM//DE交AB于M，于是

DM，

FC，

CFd

所以

由角平分线性辰定理得，磊=卷，齧=综，呂=愛，三式相乘得』等X是X岳=1・

•••设D、E、F依次是三角形ABC的三边ABBCCA或其延长线上的点，且这三

ADBECF“

点共线，则满足1

DBECFA

例

已知AABC的内角平分线分别为BEfQCF,"的外角平分线与眈的延长线相交于

D,求证：

D、6F共线・

证明：

由梅内劳斯定理的逆定理知，D、E.F共线.

拓展

（1题）在任意三角形PQR中，A2,A4分别是PR,PC延长线上的点，做射线A4A2,A6是射线A4A2上的一点，做射线A6Q，A1是射线A6Q上的一点，连结A1A2交射线PR于X,作射线A4A3交射线PQ于点A3,交射线A1A6于点丫，连结A1A3交射线PR于点A5，连结A6A5交射线PQ于点Z,求证X,Y,Z三点共线

（该命题又为一六边形相间各顶点分别在两直线上求证：

它的三对对边（所在直

线）的交点共线）这个定理为帕波斯定理

（2题）给定△ABC内两点0,0'连结AO,AO交BC于点X,X',B0,BC交AC于Y,Y',C0,C交AB于乙Z'•设YZ与Y'Z交于点P,ZX与Z'X交于点Q,XY与X'Y交于点R求证0,0',P,Q,F五点共线

（3题）在任意三角形ABC中，E是直线AC上的一点，D是直线BC上的一点，F是直线DE上一点，G是直线AC上一点，作直线BG交直线DF于点Q,作直线CF交直线AB于点P,作直线GF交直线AB于点H作直线DH交直线AC于点R,求证P,Q,R三点共线

（4题）一直线截厶ABC三边BC,CA,AB或延长线X,Y,Z证明：

这三点的等截点

X',Y',Z共线。

（在三角形任意一边所在直线上，设有两点与此边的中点等距，则称这两个点互

（5题）将一点与正三角形的顶点连线，

（1）若依次连结三联结线中点求证是个正三角形

（2）三联结线的中垂线分别与对边（所在直线）的交点共线

梅涅劳斯定理和塞瓦定理

一、梅涅劳斯定理

定理1若直线I不经过的顶点，并且与一H的三边:

；咗或它们的延长线分别

、十CTQH

交于、、，则，.'

证明：

设I「心X分别是A、B、C到直线I的垂线的长度，

tBPCQAKhelvlu

则：

胚.亦甬=百亞五=1。

注：

此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例

的条件。

例1若直角旨A中，CK是斜边上的高，CE是、的平分线，E点在AK

上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：

II；工。

【解析】因为在H中，作二二的平分线BH,则：

ZEBC二£ACK,zHBC-£A（：

E，£HB€^IlCB=+MCB=90*，

即!

/-.,所以为等腰三角形，作BC上的高EP」.工E?

对于康仁呵和三点

»卄叶宀e亠CDAEKT‘十口口EKCKEPBDUKDK

D、E、F根据梅涅劳斯疋理有：

.|，于是..「即.,,

根据分比定理有：

芸=詈，所以APKH^ACKE，所以bFlICE。

例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和.1I■1-，试证：

【解析】若T-■'，结论显然成立；若

AD与相交于点L,则把梅涅劳斯定理分别

ACADAiCiAiDiBCBD_BiCiBiDj

定理2设P、Q、R分别是注丄匸的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、Q、

BPCOAR

R三点中，位于AABC边上的点的个数为0或2,这时若丸’辰■融=1,求证P、Q、R三点

共线。

证明：

设直线PQ与直线AB交于，于是由定理1

得:

Bf>CQAK

PCQA

亍一六，由于在同一直线上p、Q、R三点中，位于

AAB「边上的点的个数也为0或2,因此R与1匸或者

同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与同在AB线段上，则R与必定重合，不然的话，设

AR>AR，这时AB-AR

即|bR

P、Q、R三点共线。

注：

此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘；

例3点P位于AABC的外接圆上；是从点P向BCCA、

AB引的垂线的垂足，证明点八一「共线。

【解析】

易得:

BAl_EPtuaPBCCBj_CPs理A

-■-'I，--，

ACiAPc^e/PAB

I.，将上面三个式子相乘，且因为二空丄J.1GC

flBAjCBjACj

ZPAB-fPCB,△斗ePBA=180，可得貢•莎”応=1,根据梅涅劳斯定理可知

，则

例4设不等腰点的内切圆在三边BCCAAB上的切点分别为D、E、F,贝UEF与BC,

FD与CA,DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上。

【解析】容汽被直线XFE所截，由定理1可得：

、'，

又因为AE-AF，代入上式可得碁器，同理可得嶺考，=-話，将上面的式子相乘可得：

节•三咗一i，又因为X、Y、Z丢不在AABC的边上，由定理2可得X、Y、Z三点共线。

例5已知直线g，CC）相交于0,直线AB和A1B1的交点为爲,直线BC和W|的交点为国，直线AC和丄」|的交点为囚，试证

■-丨工三点共线。

【解析】设•匕际6分别是直线BC和BiC），AC和AiCil,AB和人】!

M勺

交点，对所得的三角形和它们边上的点：

0AB和（冷・氐心），0BC

和（|Bi，CbA;），0AC和（AuCi，P2）应用梅涅劳斯定理有：

OA]CCjABi

，■血’=1，将上面的三个式子相乘，可得:

例6在一条直线上取点E、C、A，在另一条上取点B、F、D，记直线AB和ED,CD和AF，

EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：

L、M、N共线。

【解析】记直线EF和CD,EF和AB，AB和CD的交点分别为U、V、W，对SUVW，应用梅涅劳斯定理于五组三元点（LDE）,,（BCN）|，氐,（BQR,则有詈器•詈=】，

/口VLWMUN.4心

得：

五.而•丙=、，点L、M、N共线。

二、塞瓦定理

定理：

设P、Q、R分别是|甘T＜；|的BCCA、AB边上的点，贝UAP、BQ、CR三线共点的充要

BPCOAR

条件是：

证明：

先证必要性：

设AP、BQ、CR相交于点M，则

BPSaabe1SiFMPSaabk

———

PCS-AAJ2PSjUlCKC?

相乘，得:

巻將驚1，再证充分性：

若

誥煜•囂=]，设AP与BQ相交于M，且直线

册CQAR

直阪违可,约翰斯：

上，所以：

.必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点M。

CM交AB于，由塞瓦定理有:

例7证明：

三角形的中线交于一点。

【解析】记的中线AAi,BB】，CC],我们只须证明

'liACHl-1，而显然有：

Ml=C）B，b必厂AlC，

CBAlCB：

，因为R和k都在线段AB

成立，所以，'交于一点，

例8在锐角•中，的角平分线交AB于L，从L做边AC

和BC的垂线，垂足分别是M和N，设AN和BM的交点是P,【解析】作|才'，一.,詡，下证CK、BM、AN三线共点，且为P点，要证CKBM、AN三线共点，根据塞瓦定

I「，即

AMCMBK

理即要证：

MCNBAK

=1，又因为=CN|，即要证

明：

ANNB=1，因为MEmXAE=

ABNL三誥

签，即要证告签"，根据三角

ALBC

形的角平分线定理可知：

'，所以CKBM、AN三线共点,

且为P点，所以■I-

例9设AD是W的高，且D在BC边上，若P是AD上任一点,交于E和F，贝则丄出注IV-

【解析】过A作AD的垂线，与DE、欲证^EDA-^FDA，可以转化为证明

BP、CP分别与ACAB

DF的延长线分别交于M、N。

AM-AN，因为」4丄BC，故

MNIIBC|,可得

AMAEANAF

AAME.=ACDE,AANF^ABDF，所以莎=在*Hd=bf

AECDATE

于是心-斤,-'

瓦定理可得：

，因为AD、BE、CF共点与P,根据塞

所以

AE•CD_AF-BD

CE=BF

NAH

例10在\ABC的边BC、

CA、

AB上取点•"；」"），证明

ACiBAiCBjeinzACCpjtinzBAAiiinACBBiCiB'AlC*BlA~sinzCiCB"rinM；AC'cin^BiBA

【解析】如图对茁门门和应用正弦定理，可得

piuMCC'isdiULA

CiEJ=sin^CiCB，即而=ikUciCB

HiaKBsin^A'

同理:

^A]eiri^BAAi3mz

CBi

\iCBiA

sinzCBBi

'iri/BiBA

sin^Au由

，从而

AClBAiCBisiiUACCiHind^AAi^inzCBBilCYBAiCJBiAibiZcicHiin^AjAC，^iiuB^BA

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