数学竞赛梅涅劳斯定理.docx

1、数学竞赛梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作球面学（Sphaerica）。任何一条直线截三角形的各边， 都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积， 这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。中文名梅涅劳斯定理提岀时间1678 年外文名Menelaus应用学科数学，物理别称梅氏定理适用领域范围平面几何学表达式(AF/FB) X(BD/DC)X(CE/EA)=1适用领域范围射影几何学提岀者梅涅劳斯定理内容首先给出完整的定理內容：当直线交 MSC三边所在直线B

2、Ct ACt AB于点Dt Ef F时Al BD CE （fBXDCXE4=1定理证明证明一过点A作AG / DF交BC的延长线于点 G.则AF GD CE CD AF BD CE GD BD CD W V V V FB EA DGr IB DC EA DB DC DG证明二过点C作CP/ DF交AB于P,贝U80 _ 0F CE _ PF0C = FPr E4 = M两式相乘得Af BD CE _ AF BF PF证明三连结CF、AD,根据两个三角形等高时面积之比等于底边之比 ”的性质有。AF: FB =Sadf： Sabdf ( 1),BD: DC=Sbdf： Sacdf- ( 2),CE

3、 EA=SCDE： $ adE=Safec: Safea=(Sacde+Sx fec)：( Saade+Sfea)=SaCDF SAADF ( 3)(1) X( 2) X( 3 )得AF BD CE Smdf Smdf X X 二 X K =FE DC EA 5ACDF证明四过三顶点作直线 DEF的垂线AA , BB, CC；如图：充分性证明：A ABC中，BC, CA，AB上的分点分别为 D，E，F。连接 DF交 CA于 E,则由充分性可得，(AF/FB) X (BD/DC)X (CE/EA)=1Af BD CE *又： 有CE/EA=CE/EA两点重合。所以. .共线过的三个顶点作直线尸D

4、的垂线*则有 上AF AAf BD BBf CE CCrBF DC=CC* EA=A*三式相乘得 竺 BD_ CE AAr 阳 CC 百厂辰肓两7”&卫一推论在A ABC的三边BC CA、AB或其延长线上分别取 L、M、N三点，又分比是 入=BL/LC 卩=CM/MA v =AN/NB于是AL、BM、CN三线交于一点的 充要条件是入卩-1=(注意与塞瓦 定理相区分，那里是 入卩-)=1此外，用该定理可使其容易理解和记忆：第一角元形式的梅涅劳斯定理 如图：若E, F, D三点共线，则(sin/ ACF/sin/ FCB)(sin/ BAD/sin / DAC)(sin/ CBE/sin/ ABE

5、)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。该形式的梅涅劳斯定理也很实用。证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。第二角元形式的梅涅劳斯定理在平面上任取一点 0,且 EDF共线，则(sin/AOF/sin / FOB)(sin/ BOD/sin / DOC)(sin/ COE/sin / AOE)=1。(O 不与点 A、B、C重合)梅涅劳斯球面三角形定理在球面三角形 ABC中，三边弧AB,弧BC,弧CA都是大圆弧)被另一大圆弧截于 P,Q,R三点， 那么数学意义使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算， 其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等

6、问题的判定方法， 是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理， 具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。它的逆定理也成立：若有三点 F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB X BD/DCX CE/EA=W F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。梅涅劳斯逆定理定理若有三点F、D、E分别在边三角形的三边 AB、BC CA或其延长线上，且满足 AF/FB X BD/DCX CE/EA=1 F、D、E三点共线。禾U用这个逆定理，可以判断三点共线。 注意定理中提到的三个点的位置，在梅涅劳斯逆定理中，三个点要么只有两个在三角形边上，要么一个都不在三角形

7、边上。 即：该逆定理成立的前提是三个点有偶数个点在三角形边上。 否则为塞瓦定理逆定理。证明方式已知：E、F是厶ABC的边ABAC上的点，D是BC的延长线的点，且有：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 求证：E、F、D三点共线。思路：采用反证法。先假设 E、F、D三点不共线，直线 DE与AB 交于P。再证P与F重合。证明：先假设E、F、D三点不共线，直线 DE与AB交于P。由梅涅劳斯定理的定理证明(如利用平行线分线段成比例的证明方法)得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1/ (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 AP/PB=AF/FB ; (AP+PB)/PB=

8、(AF+FB)/FB;AB/PB=AB/FB ;PB=FB即P与F重合。D、E、F三点共线。首先我们已知图中的直线关系： 三角形一边的延长线上一点与相邻边上一点的连线与另一边相交于一点，然后再来求各个边的关系。梅涅劳斯的功劳在于，他根据上图的现象，发现了关系式： AF/FBX BD/DC CQ AKPCQA亍一六，由于在同一直线上 p、Q、R三点中，位于AAB边上的点的个数也为 0或2,因此R与1匸或者同在AB线段上，或者同在 AB的延长线上；若 R与 同在AB线段上，则R与 必定重合，不然的话，设ARAR，这时 AB-AR AB -AR ,即|bR BRb,于是可得 鈴二需，这与囂二器矛盾，

9、类似地可证得当R与同在AB的延长线 上时，R与卜|也重合，综上可得：P、Q、R三点共线。注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；例3点P位于AABC的外接圆上；是从点P向BC CA、AB引的垂线的垂足，证明点 八一 共线。【解析】易得:BAl _ EP tuaPBC CBj _ CP s理A- I， -，ACi AP ce/PABI .，将上面三个式子相乘，且因为 二空丄J.1GCfl BAj CBj ACjZPAB - fPCB, 斗ePBA = 180，可得貢莎”応=1 ,根据梅涅劳斯定理可知RB，则B例4设不等腰点的内切圆在三边 BC CA AB上的切点分别为 D、

10、E、F,贝U EF与BC,FD与CA, DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上。【解析】容汽被直线XFE所截，由定理1可得： 、，又因为AE-AF，代入上式可得碁器，同理可得嶺考， =-話，将上面的式子相乘可得： 节三咗一 i，又因为X、Y、 Z丢不在AABC的边上，由定理2可得X、Y、Z三点共线。例5已知直线 g ，CC）相交于0,直线AB和A1B1的交点为 爲, 直线BC和W |的交点为国，直线AC和丄|的交点为囚，试证-丨工三点共线。【解析】设匕际6分别是直线BC和BiC），AC和AiCil, AB和人】!M勺交点，对所得的三角形和它们边上的点： 0AB和（冷氐心），0BC和（|Bi，

11、Cb A;），0AC和（Au Ci，P2）应用梅涅劳斯定理有：OA CCj A Bi，血= 1，将上面的三个式子相乘，可得:例6在一条直线上取点 E、C、A，在另一条上取点 B、F、D，记直线 AB和ED, CD和AF，EF和BC的交点依次为 L、M、N，证明：L、M、N共线。【解析】记直线EF和CD, EF和AB，AB和CD的交点分别为 U、V、W，对SUVW，应用梅 涅劳斯定理于五组三元点（LDE）, , （BCN）|，氐, （BQR ,则有詈器詈=】，/口 VL WM UN . 4心得：五.而丙=、，点L、M、N共线。二、塞瓦定理定理：设P、Q、R分别是|甘T；|的BC CA、AB边上的

12、点，贝U AP、BQ、CR三线共点的充要BP CO AR条件是： 证明：先证必要性：设 AP、BQ、CR相交于点 M，则BP Saabe1 SiFMP Saabk PC S-AAJ2P SjUlCKC ?相乘，得:巻將驚1，再证充分性：若誥煜囂=，设AP与BQ相交于M，且直线册 CQ AR直阪违可,约翰斯：上，所以：.必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点 M。CM交AB于，由塞瓦定理有:例7证明：三角形的中线交于一点。【解析】记的中线AAi, BB】，CC,我们只须证明liA CHl - 1，而显然有： Ml = C)B，b必厂 AlC，CB AlC B：AARARRBRB，因为R和k都在

13、线段AB成立，所以，交于一点，例8在锐角 中， 的角平分线交 AB于L，从L做边AC和BC的垂线，垂足分别是 M和N，设AN和BM的交点是P, 【解析】作|才，一.,詡，下证CK、BM、AN三线共点， 且为P点，要证CK BM、AN三线共点，根据塞瓦定I，即ABiCAiBAM CM BK理即要证：MC NB AK=1，又因为= CN|，即要证明：AN NB = 1，因为 MEmXAE =ABNL 三 誥签，即要证告签，根据三角AL BC形的角平分线定理可知： ，所以CK BM、AN三线共点,且为P点，所以 I-例9设AD是 W 的高，且 D在BC边上，若P是AD上任一点, 交于E和F，贝则丄出

14、注IV-【解析】 过A作AD的垂线，与DE、 欲证EDA - FDA，可以转化为证明BP、CP分别与AC ABDF的延长线分别交于 M、N。AM - AN，因为4丄BC，故MN II BC|,可得AM AE AN AFAAME.=ACDE, AANFABDF，所以 莎=在* Hd = bfAE CD AT E于是心-斤 , -CE瓦定理可得： |，因为AD、BE、CF共点与P,根据塞所以AE CD _ AF - BDCE = BFBN A H例10在ABC的边BC、CA、AB上取点；)，证明ACi BAi CBj einzACCp jtinzBAAi iinACBBi CiB AlC * BlA sinzCiCB rinM；AC cinBiBA【解析】如图对茁门门和应用正弦定理，可得piuMCCi sdiULACiEJ = sinCiCB，即而=ikUciCBHiaKB sinA 同理:A eiriBAAi 3mz! CBiiC Bi AsinzCBBiiri/BiBAsinA u 由，从而ACl BA i CBi siiUACCi HindAAi inzCBBil CYB AiC J BiA ibiZcicH iinAjAC，iiuBBA