分步步长法和多重网格法实验.docx

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分步步长法和多重网格法实验

微分方程数值解

姓名：

班级：

一．二维抛物方程分布步长法

实验用的二维热传导是方程是：

它满足书中

的要求，这里

。

以

为初始时刻，分别用ADI,LOD,对称LOD（记为symLOD）进行算法设计，求在时刻

的数值解，并与精确解做比较。

实验过程：

1.t=1时刻原始图像

当x,y方向上的网格数是160，时间t方向上的网格数是40时，t=1时刻的原始图像为

2．ADI法恢复的图像

当x,y方向上的网格数是160，时间t方向上的网格数是40时，ADI法所绘t=1时刻图像为

3．LOD法恢复图像

当x,y方向上的网格数是160，时间t方向上的网格数是40时，LOD法所绘t=1时刻图像为

4．对称LOD法（记为symLOD）恢复图像

当x,y方向上的网格数是160，时间t方向上的网格数是40时，symLOD法所绘t=1时刻图像为

5.x,y方向上的网格数和误差关系

t=40固定,x,y方向的的网格数分别取[10,50,100,250,500]

三者的误差的二范数分别为（见error2.m）

ADI=[8.730504221745552e-010,6.029451734592973e-009,1.265923756496139e-008,3.206705449439820e-008,6.425372124435197e-008];

LOD=[8.730504221745788e-010,6.029451734600921e-009,1.265923756507861e-008,3.206705449886893e-008,6.425372131563230e-008];

SymLOD=[8.730502288715592e-010,6.029452708815150e-009,1.265923951388676e-008,3.206705936704847e-008,6.425373098974900e-008];

所绘图像为：

分析：

可见随着x,y方向网格的增加，误差的二范数也会增加

6.三者的所有误差的绝对值的最大值为（error2.m）

分析：

可见随着x,y方向网格的增加，误差的最大值也会增加，但增速会逐渐下降

7.t方向上的网格数和误差关系

假设xy方向的网格数等于50固定,t方向的的网格数分别取[10,20,40,80,120]

三者的误差的最大值为分别为（error2.m）

ADI_t=[2.266341936922816e-009,8.979947492920082e-010,2.411780846299275e-010,4.923637720641268e-011,1.236968076769294e-011];

LOD_t=[2.266341949441886e-009,8.979947802649479e-010,2.411780814669497e-010,4.923637876052127e-011,1.236968177113209e-011];

SymLOD_t=[2.266341965755063e-009,8.979947934123040e-010,2.411781118470867e-010,4.923640158922677e-011,1.236970518228895e-011];

其关系所绘图像为：

分析：

在x,y网格数固定下，可见随着t在[0,1]的网格数的增加，误差呈下降趋势

8.整体误差图为：

二，多重网格法

目标函数

本实验选用函数

，则

并假定网格N=4为网格的第0层。

1.二重网格法

当层数l=1,r=1.时，最大迭代次数imax与对应的误差分析（见error3.m）

imax=[5,10,25,30,50,75,100,150];

我们有

error=[1.212709055795178e+002,89.861968418392394,52.308084876858402,43.566264972466115，21.618767396679686,12.936352097394433,12.946216021345549,12.950271747085367];

通过绘图可得

可见随着次数的增加，误差逐渐减小

次数imax等于5时的数值解和真实解

次数imax等于150时的数值解和真实解

可见二重网格迭代次数的增加误差是减小的

2.多重网格法

按照书中所讲思想进行编程

运行mainf1.m（文件夹多重网格中）,在命令窗口输入所需的层数l和迭代次数r

则输出相应的层数和运行次数所产生的数值解和误差

误差分析；

（1）当层数l=3，分别计算次数r=[1,2,3,4,5]时的误差

通过运行程序可得误差error1=[4.973352997159594,3.628090719786655,2.992889831421621,2.242454602717402,2.296513825441679];

所绘图像为：

分析：

l固定时，总体来看随计算次数r的增加，误差呈现下降趋势

（2）当r=3,l=[1,2,3,4,5]时的误差

误差error2=[12.948084836066528,3.212816682734797,3.840329776138503，3.730187955061581，6.145520477956396]；

所绘图像为：

分析，当r固定，l增加时，误差变化的规律不太明显

（3）几种情况下的图像与原图

网格l=3,次数r=3,数值解和真实解

网格l=3,次数r=5,数值解和真实解

网格l=5,次数r=3,数值解和真实解