布朗筛法.docx
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布朗筛法
“布朗筛法”是根据“容斥原理”创立的一种理论性的筛法,“布朗筛法”的优越之处在于可运用“容斥原理”的近似公式来计算合数，从而求出素数个数相对合理的近似值。
运用“布朗筛法”可求出任意大的范围内素数个数的近似值。
cJ7Hy5
在证明“哥猜”的过程中，从1920年的（9+9）以及后来的（7+7）、（6+6）、（5+5）、（4+4）、（3+4）、（3+3）、直至1957年（2+3）的证明运用的都是“布朗筛法”。
因此，运用“布朗筛法”的思路和方法证明（1+1）也是有可能的。
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©数学中国--数学中国 XAi
下面根据合数在自然数中排列的规律，运用“布朗筛法”和“容斥原理”的思路与方法证明“哥猜”成立。
由于在“论谈”上无法正常标出下标，因此在后面的证明过程中把下标的内容放在符号[]中。
F>
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分 析
（一）wN
当A是任意一个大于4的偶数时，在从1至A的范围内，两正整数之和等于偶数A的数组共有以下A/2组。
为了便于阐述，把它叫作偶数A的分析表RmO}#K
偶 数 A 的 分 析 表hbP5*
上行 1 2 3 4 ……A/2－3 A/2-2 A/2-1 A/28:
j
下行 A-1 A-2 A-3 A-4 ……A/2+3 A/2+2 A/2+1 A/2-g-p）]
在分析表内，上下两行中同直行的两个数为一个分析组。
如：
1和A-1是一个分析组，2和A-2是一个分析组……。
同一组的两个数中的一个数为另一个数的对应数。
如：
1是A-1的对应数，A-1是1的对应数；2是A-2的对应数，A-2是2的对应数……。
5@2
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在分析表内有以下性质（简称为分析表的性质）：
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性质① 当偶数A不能被某个素数P整除时，在偶数A的分析表内，能被素数P整除的数的对应数不能被素数P整除。
N`a+9
©数学中国--数学中国 oU+|!
性质② 当偶数A能被某个素数P整除时，偶数A的分析表内，能被素数P整除的数的对应数也能被素数P整除。
~
©数学中国--数学中国 lHHyu
证明性质①成立：
根据性质①的条件，可设A=Px+c，P是素数，x是整数，c是小于P、大于零的整数；设分析表内能被素数P整除的数为Py，可知：
y是整数。
'MY1K
因为Py+Py的对应数=A，因此，Py的对应数=A-Py=Px+c-Py=P（x-y）+c。
因为x-y是整数，c是小于素数P的整数,因此,能被素数P整除的数Py的对应数P（x-y）+c不能被素数P整除，因而性质①成立。
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证明性质②成立：
根据性质②的条件，可设A=Px，P是素数，x是整数；设分析表内能被P整除的数为Py，可知：
y是整数。
x
因为Py+Py的对应数=A，因此，Py的对应数=A-Py=Px-Py=P（x-y），因为x-y是整数，因此能被P整除的数Py的对应数P（x-y）同样也能被素数P整除，因而性质②成立。
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分 析
（二）k
提示①为了便于在证明过程中进行阐述,当P是小于√A的任意一个素数，或者P是在小于√A的范围内任意若干个不相同的素数相乘的积时，在偶数A的分析表内，如果某个分析组的两个数中，最少有一个数能被P整除，就把这个分析组叫作应筛除组P。
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如：
当P=11时，应筛除组P可写成应筛除组11，表示这个应筛除组中最少有一个数能被11整除。
UM
当P=11×7＝77时，应筛除组P可写成应筛除组77，或者写成应筛除组11×7，表示这个应筛除组中最少有一个数能被77或11×7整除。
）:
GO
©数学中国--数学中国 G*[-
提示②如果某个应筛除组不仅是应筛除组P，同时也是应筛除组d时,这个应筛除组可写成应筛除组P、d。
可知：
应筛除组P、d是应筛除组P与应筛除组d中重叠的应筛除组。
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©数学中国--数学中国 dD@ft
当A是任意一个大于4的整数,P是任意一个小于√A的素数时。
可知：
在偶数A的分析表内的上行中,含有能被素数P整除的数占的比例的近似值是1/P；在下行中含有能被素数P整除的数占的比例的近似值同样也是1/P。
E+T
根据分析表的性质①、性质②可得出以下定理：
m
©数学中国--数学中国 NY~D
定理①当偶数A不能被某个小于√A的素数P整除时，在分析表内的A/2个分析组中，应筛除组P占的比例的近似值是2/P，应筛除组P的数量的近似值是：
（A/2）×（2/P）。
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©数学中国--数学中国 ）E@x_
定理②当偶数A能被某个小于√A的素数P整除时,在分析表内的A/2个分析组中,应筛除组P占的比例的近似值是1/P，应筛除组P的数量的近似值是：
（A/2）×（1/P）。
'5A+C
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分 析（三）k
当A是任意一个大于4的整数；P[m]是小于√A的素数；P是任意某个大于素数P[m]、小于√A的素数；或者P是小于√A、大于P[m]的范围内若干个不相同的素数相乘的积时（可知：
P不含质因子P[m]）。
进行以下分析：
[H:
;
已知在偶数A的分析表的上行范围内,“上行中能被P整除的数”以及“下行中能被P整除的数的对应数”中,它们分别每连续P[m]个数中必定有一个数能被素数P[m]整除。
并知：
应筛除组P在偶数A的分析表内上行的数的数量,就是“上行中能被P整除的数”和“下行中能被P整除的数的对应数”的总和。
因此,应筛除组P在偶数A的分析表内上行的数中,能被素数P[m]整除的数占的比例的近似值是1/P[m]。
]
同理,在偶数A的分析表的下行范围内的情况与上行是相同的。
应筛除组P在偶数A的分析表内下行的数中,能被素数P[m]整除的数占的比例的近似值同样也是1/P[m]Ks
根据以上分析和分析表的性质①、性质②进行以下分析:
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R
1、根据分析表的性质①可知:
当偶数A不能被素数P[m]整除时,在偶数A的分析表内,应筛除组P在上行的数（“上行中能被P整除的数”和“下行中能被P整除的数的对应数”）中能被素数P[m]整除的数,与应筛除组P在下行的数（“下行中能被P整除的数”和“上行中能被P整除的数的对应数”）中能被素数P[m]整除的数不可能同在一个分析组内。
因此,组成这些不仅含有能被P整除的数，同时也含有能被素数P[m]整除的数的应筛除组P、P[m]的两个数中只有其中一个数能被素数P[m]整除。
由此可得出以下定理:
e"Jmdh
©数学中国--数学中国 XrL,
定理③当偶数A不能被小于√A的素数P[m]整除,P是任意一个小于√A、大于P[m]的素数；或者P是小于√A、大于P[m]的范围内若干个不相同的素数相乘的积时,在偶数A的分析表内的应筛除组P中，与应筛除组P[m]重叠的应筛除组P、P[m]占的比例的近似值是2/P[m]。
因此，这些不仅含有能被P整除的数,同时也含有能被素数P[m]整除的数的应筛除组P、P[m]数量的近似值是：
应筛除组P的数量的近似值×2/P[m]l
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2、根据分析表的性质②可知：
当偶数A能被素数P[m]整除时，在偶数A的分析表内,应筛除组P在上行的数（“上行中能被P整除的数”和“下行中能被P整除的数的对应数”）中能被素数P[m]整除的数,与应筛除组P在下行的数（“下行中能被P整除的数”和“上行中能被P整除的数的对应数”）中能被素数P[m]整除的数互为对应数,它们一定同在一个分析组内。
由此可得出以下定理:
k）1Km
cYp+
定理④当偶数A能被小于√A的素数P[m]整除，P是任意一个小于√A、大于P[m]的素数；或者P是小于√A、大于P[m]的范围内若干个不相同的素数相乘的积时，在偶数A的分析表内的应筛除组P中，与应筛除组P[m]重叠的应筛除组P、P[m]占的比例的近似值是1/P[m]。
因此，这些不仅含有能被P整除的数，同时也含有能被素数P[m]整除的数的应筛除组P、P[m]数量的近似值是：
应筛除组P的数量的近似值×1/P[m]?
@0
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分 析（四）CS
在偶数A的分析表内的分析组中，把所有含大于或等于素数P、但小于√A的质因子的应筛除组全部筛除后，用符号“PFA”表示余下的分析组数量近似值的式子。
0c
如：
当P[n]是小于√A的最大素数时，在偶数A的分析表内,把应筛除组P[n]筛除后，P[n]FA表示余下的分析组数量的近似值的式子或该式的计算结果。
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r
如:
当P[n]是小于√A的最大素数,P[n-1]是小于P[n]的最大素数时，在偶数A的分析表内，把应筛除组P[n]、应筛除组P[n-1]全部筛除后，P[n-1]FA表示余下的分析组数量的近似值的式子或该式的计算结果。
L）a>
以此类推，在偶数A的分析表内，把应筛除组P[n]至应筛除组P[1]全部筛除后,P[1]FA表示余下的分析组数量的近似值的式子或该式的计算结果。
（P[n]至P[1]是所有小于√A的各个素数）,
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当偶数A不能被任何一个小于√A的奇素数整除,P[n]至P[1]是所有小于√A、并按从大到小顺序排例的各个素数，运用“容斥原理”和“布朗筛法”的思路与方法，在分析表内的A/2个分析组中，依次筛除应筛除组P[n]、应筛除组P[n-1]、应筛除组P[n-2]……应筛除组P[2]、应筛除组P[1]这些所有的应筛除组后,求余下的分析组数量的近似值。
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分析①根据定理①可知：
在偶数A的分析表内，应筛除组P[n]的数量的近似值是：
（A/2）×（2/P[n]）。
因此在分析表内的A/2个分析组中，把应筛除组P[n]全部筛除后，余下的分析组数量的近似值P[n]FA是：
-:
P[n]FA=（A/2）-（A/2）×（2/P[n]）…………①式g8I*!
6
=（A/2）（1-2/P[n]） …………②式,
©数学中国--数学中国 NPd
分析②已知在偶数A的分析表内，依次把应筛除组P[n]，应筛除组P[n-1]全部筛除后，求余下的分析组数量的近似值P[n-1]FA时，只需在P[n]FA式的基础上，减去应筛除组P[n-1]的数量（不包括与应筛除组P[n]重叠的应筛除组）后，余下的就是P[n-1]FA。
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根据定理①可知:
在分析表内,应筛除组P[n-1]数量的近似值是（A/2）×（2/P[n-1]）。
因此在“分析①”的基础上首先减去（A/2）×（2/P[n-1]）；因为在应筛除组P[n-1]和应筛除组P[n]中有重叠，根据定理③可知：
这些被重叠的应筛除组P[n]、P[n-1]数量的近似值是（A/2）×（2/P[n]）×（2/P[n-1]）。
因此，在“分析①”的基础上减去（A/2）×（2/P[n-1]）后,必须加上这些被重复减去应筛除组P[n]、P[n-1]数量的近似值（A/2）×（2/P[n]）×（2/P[n-1]）。
由此可知：
在偶数A的分析表内，把应筛除组P[n]和应筛除组P[n-1]全部筛除后，余下的分析组数量的近似值P[n-1]FA是：
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P[n-1]FA=（A/2）-（A/2）×（2/P[n]）-（A/2）×（2/P[n-1]）+（A/2）×（2/P[n]）×>-
（2/P[n-1]）*
={（A/2）-（A/2）×（2/P[n]）}-（2/P[n-1]）{（A/2）-（A/2）×（2/P[n]）}_xtV!
3
=（A/2）（1-2/P[n]）-（2/P[n-1]）（A/2）（1-2/P[n]）8U%]2
=（A/2）（1-2/P[n]）（1-2/P[n-1]）rN01
©数学中国--数学中国 CGO
下面用另外一种思路进行分析推理：
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已知在PFA的多项式中,第一项（A/2是正数项）表示偶数A的分析表内分析组的数量,在后面的各项中,负数项表示应减去的应筛除组数量的近似值；正数项表示应加上的应筛除组数量的近似值。
如果P[m]是小于P的最大素数,在PFA的基础上筛除应筛除组P[m],求余下的分析组数量的近似值P[m]FA时。
进行以下分析：
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根据定理①可知：
用PFA式的多项式中第一项的绝对值（A/2）乘以2/P[m]得出的数值，是偶数A的分析表内应筛除组P[m]数量的近似值。
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©数学中国--数学中国 ]6C
根据定理③可知：
用PFA式的多项式中除第一项以外的各项的绝对值分别乘以2/P[m]得出的各个数值，分别是PFA式的多项式中，除第一项以外的各项所表示减去的或加上的应筛除组与应筛除组P[m]重叠的应筛除组数量的近似值。
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©数学中国--数学中国 w@sG1]
因此，在PFA式的基础上减去应筛除组P[m]数量的近似值（用PFA式的多项式中第一项的绝对值乘以2/P[m]得出的数值）后，根据“容斥原理”可知：
必须加上或减去PFA式的多项式中，除第一项以外的各项所表示减去的或加上的应筛除组中与应筛除组P[m]重叠的应筛除组数量的近似值（用PFA式的多项式中除第一项以外的各项的绝对值分别乘以2/P[m]得出的各个数值）。
并知：
在PFA式的多项式中，除第一项以外的各项中是减号的必须加上，是加号的必须减去。
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因为在乘法中，负数与负数相乘得正数，正数与负数相乘得负数。
因此，在PFA式的基础上筛除应筛除组P[m]（P[m]是小于P的最大素数）后，余下的分析组数量的近似值P[m]FA，就是“PFA式的值”与“PFA式的多项式中的各项分别乘以-2/P[m]的各个乘积”的总和；也就是“PFA式的值”与“PFA式乘以-2/P[m]的乘积”的总和。
也就是当P[m]是小于P的最大素数，A不能被P[m]整除时。
P[m]FA=PFA+PFA×（-2/P[m]）=PFA（1-2/P[m]）;
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由此可知：
当P[m]是小于P的最大素数，A不能被P[m]整除时，^&[）,J
P[m]FA=PFA（1-2/P[m]）t"8K
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根据以上分析可知：
求P[n-1]FA时，只需直接用“分析①”中的P[n]FA式乘以（1-2/P[n-1]）就可以。
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即：
P[n-1]FA=P[n]FA（1-2/P[n-1]）=（A/2）（1-2/P[n]）（1-2/P[n-1]）&
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Tr
分析③按照“分析②”的分析方法求P[n-2]FA时，根据P[m]FA=PFA（1-2/P[m]）ii
可得出：
P[n-2]FA=P[n-1]FA（1-2/P[n-2]）Fq?
0/?
=（A/2）（1-2/P[n]）（1-2/P[n-1]）（1-2/P[n-2]）kt~A1
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根据“分析②”的分析方法进行分析推理，可知：
当偶数A不能被任何一个小于√A的奇素数整除时,在偶数A的分析表内,依次把应筛除组P[n]、应筛除组P[n-1]……应筛除组P[2]、应筛除组P[1]全部筛除后，余下的分析组数量的近似值P[1]FA是：
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P[1]FA=（A/2）（1-2/P[n]）（1-2/P[n-1]）……（1-2/P[2]）（1-1/P[1]）fsX[i
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因为P[1]=2,P[1]是唯一的偶素数,不能被任何一个奇素数整除的偶数A能被唯一的偶素数P[1]整除,因而根据定理②、定理④进行分析推理，可知:
当偶数A不能被任何一个奇素数整除时,在偶数A的P[1]FA式中,只有最后一个因式（1－1/P[1]）中的1/P[1]的分子是1。
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J
为了便于后面的阐述，当偶数A不能被任何一个小于√A的奇素数整除时（也就是在P[1]FA式中,与P[n]至P[2]这些所有的奇素数同分数的分子都是2时）,把这种形式的P[1]FA式叫作特殊P[1]FA式。
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特殊P[1]FA式=（A/2）（1-2/P[n]）（1-2/P[n-1]）……（1-2/P[2]）（1-1/P[1]）c3[
©数学中国--数学中国 w^P.s[
分 析（五）JfC=
当偶数A能被P[n]至P[2]这些小于√A的奇素数中的某个或某几个奇素数整除时,在分析表内的A/2个分析组中,按含质因子的大小顺序，依次筛除含有能被素数P[n]、P[n-1]、P[n-2]……P[2]、P[1]整除的数的应筛除组,求余下的分析组数量的近似值。
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©数学中国--数学中国 *>u>
按照“分析（四）”的分析方法,根据定理②、定理④进行分析推理,可知：
在小于√A的奇素数中，如果偶数A能被奇素数P整除，只需把“特殊P[1]FA式”中与奇素数P同分数的那个分数中的分子2改成1，就是符合以上条件（偶数A能被小于√A的奇素数P整除）的P[1]FA式。
（hJsa
©数学中国--数学中国 aNpC
如果把“分析（四）”中“特殊P[1]FA式”中与各个奇素数同分数的分子用m代替,根据定理①、定理③和定理②、定理④可知:
当偶数A能被某个小于√A的奇素数整除时,与这个奇素数同分数的分子m等于1；当偶数A不能被某个小于√A的奇素数整除时，与这个奇素数同分数的分子m等于2。
因此，无论偶数A是否能被小于√A的某个或某几个奇素数整除，该式都可以表示任意一个大于4的偶数A的P[1]FA式, 因而把该式叫作通用公式。
可知：
通用公式=P[1]FA，通用公式≥特殊P[1]FA。
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©数学中国--数学中国 nHh）
通用公式=（A/2）（1-m/P[n]）（1-m/P[n-1]）……（1-m/P[2]）（1-1/P[1]）K
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[&~
在“通用公式”中,A是任意一个大于4的偶数；P[n]是小于√A的最大素数，P[n]至P[1]是所有小于√A、并按从大到小的顺序排列的素数。
即：
P[1]=2、P[2]=3、P[3]=5、P[4]=7……a
©数学中国--数学中国 o%^
已知在分析过程中，把所有小于√A的P[n]至P[1]这些素数全部作为应筛除的数进行考虑分析，所有含P[n]至P[1]（这些素数本身）的分析组全部作为了应筛除组。
由此可知：
如果P[n]至P[1]这些素数的对应数中存在素数，在含素数P[n]至P[1]（这些素数本身）的应筛除组中就存在由两个素数组成的应筛除组。
例如：
在偶数316的分析表内的3和313、5和311就是由两个素数组成的应筛除组。
>NP3
©数学中国--数学中国 pH
在此，把两素数之和等于偶数A的“素数对”分为x、y两类，即：
两素数之和等于偶数A的“素数对”的数量等于（x+y），其中：
x表示不含小于√A的素数的“素数对”的数量；y表示含小于√A的素数的“素数对”的数量。
根据前面的分析可知：
x属于非筛除的对象；y属于被筛除的对象。
再设一个c，已知：
~MD
当（A-１）是素数时，1和（A-１）这个分析组是非筛除的对象,此时ｃ=１；.af[
当（A-１）是合数时，1和（A-１）这个分析组是应筛除组,此时ｃ=0。
z{
因此，通用公式有以下性质：
G{Go
©数学中国--数学中国 ':
=^
①运用通用公式可求出任何一个大于4的偶数A的分析表内非筛除的分析组（x+c）数量相对合理的近似值。
即：
通用公式≈（x+c）^5Uus>
©数学中国--数学中国 WS
②在通用公式中，当偶数A能被某个小于√A的奇素数整除时，与这个奇素数同分数的分子m等于1；当偶数A不能被某个小于√A的奇素数整除时，与这个奇素数同分数的分子m等于2。
"\`C
©数学中国--数学中国 y
通过下面三个表中的数据举例补充说明通用公式的性质①。
tW+
当A=316时，情况如下表：
w,）C]*
说明：
{U\.q
第1行为第一筛，筛除应筛除组17后的情况；f-
第2行为第二筛，筛除应筛除组13后的情况；n
第3行为第三筛，筛除应筛除组11后的情况；以此类推。
6
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