布朗筛法.docx

1、布朗筛法“布朗筛法”是根据“容斥原理”创立的一种理论性的筛法,“布朗筛法”的优越之处在于可运用“容斥原理”的近似公式来计算合数，从而求出素数个数相对合理的近似值。运用“布朗筛法”可求出任意大的范围内素数个数的近似值。cJ7Hy5 在证明“哥猜”的过程中，从1920年的（9+9）以及后来的(7+7)、(6+6)、(5+5)、(4+4)、(3+4)、(3+3)、直至1957年（2+3）的证明运用的都是“布朗筛法”。因此，运用“布朗筛法”的思路和方法证明（1+1）也是有可能的。(数学中国 - 数学中国 XAi 下面根据合数在自然数中排列的规律，运用“布朗筛法”和“容斥原理”的思路与方法证明“哥猜”成

2、立。由于在“论谈”上无法正常标出下标，因此在后面的证明过程中把下标的内容放在符号 中。F数学中国 - 数学中国 -y sC 分 析 （一）wN 当A是任意一个大于4的偶数时，在从1至A的范围内，两正整数之和等于偶数A的数组共有以下A/2组。为了便于阐述，把它叫作偶数A的分析表RmO#K 偶数 A的分 析 表hbP5*上行 1 2 3 4 A/23 A/2-2 A/2-1 A/28:j下行 A-1 A-2 A-3 A-4 A/2 +3 A/2+2 A/2+1 A/2-g-p) 在分析表内，上下两行中同直行的两个数为一个分析组。如：1和A-1是一个分析组，2和A-2是一个分析组。同一组的两个数中的

3、一个数为另一个数的对应数 。如：1是A-1的对应数，A-1是1的对应数；2是A-2的对应数，A-2是2的对应数。52数学中国 - 数学中国 z 3 在分析表内有以下性质（简称为分析表的性质）：Y3L=u9 性质当偶数A不能被某个素数P整除时，在偶数A的分析表内，能被素数P整除的数的对应数不能被素数P整除。Na+9数学中国 - 数学中国 oU+|! 性质当偶数A能被某个素数P整除时，偶数A的分析表内，能被素数P整除的数的对应数也能被素数P 整除。数学中国 - 数学中国 lHHyu 证明性质成立：根据性质的条件，可设A= Px + c ，P是素数，x是整数，c是小于P、大于零的整数；设分析表内能被

4、素数P整除的数为Py ，可知：y是整数。MY1K 因为Py+Py的对应数=A ，因此，Py的对应数 = A-Py=Px+c-Py = P(x-y)+c 。因为x-y是整数，c是小于素数P的整数,因此,能被素数P整除的数Py的对应数P(x-y)+ c不能被素数P整除，因而性质成立。 rOo数学中国 - 数学中国 * 证明性质成立：根据性质的条件，可设A=Px，P是素数， x是整数；设分析表内能被P整除的数为Py ，可知：y是整数。x 因为Py+Py的对应数=A，因此，Py的对应数=A-Py=Px-Py=P(x-y)，因为x-y是整数，因此能被P整除的数Py的对应数P(x-y)同样也能被素数P整除

5、，因而性质成立。1!1数学中国 - 数学中国 |g 分 析（二）k 提示 为了便于在证明过程中进行阐述, 当P是小于A 的任意一个素数，或者P是在小于A的范围内任意若干个不相同的素数相乘的积时，在偶数A的分析表内，如果某个分析组的两个数中，最少有一个数能被P整除，就把这个分析组叫作应筛除组P。xe 如：当P =11时，应筛除组P可写成应筛除组11，表示这个应筛除组中最少有一个数能被11整除。UM 当 P = 11777 时，应筛除组P可写成应筛除组77 ，或者写成应筛除组117，表示这个应筛除组中最少有一个数能被77或117 整除。):GO数学中国 - 数学中国 G*- 提示 如果某个应筛除组

6、不仅是应筛除组P，同时也是应筛除组d时,这个应筛除组可写成应筛除组P、d 。可知：应筛除组P、d是应筛除组P与应筛除组d中重叠的应筛除组。$&数学中国 - 数学中国 dDft 当A是任意一个大于4的整数, P是任意一个小于A的素数时。可知：在偶数A 的分析表内的上行中, 含有能被素数P整除的数占的比例的近似值是1/P ；在下行中含有能被素数P整除的数占的比例的近似值同样也是1/P 。E+T 根据分析表的性质、性质可得出以下定理：m数学中国 - 数学中国 NYD 定理 当偶数A不能被某个小于A的素数P整除时 ，在分析表内的A/2个分析组中，应筛除组P占的比例的近似值是2/P ，应筛除组P的数量的

7、近似值是：（A/2）(2/P）。&Akj数学中国 - 数学中国 )Ex_ 定理 当偶数A能被某个小于A 的素数P整除时, 在分析表内的A/2个分析组中, 应筛除组P占的比例的近似值是1/P ，应筛除组P的数量的近似值是：（A/2）(1/P）。5A +C数学中国 - 数学中国 xQs7r 分 析（三)k 当A是任意一个大于4 的整数； Pm是小于A的素数；P是任意某个大于素数Pm 、小于A 的素数；或者P是小于A、大于Pm 的范围内若干个不相同的素数相乘的积时(可知：P不含质因子Pm)。进行以下分析：H:; 已知在偶数A的分析表的上行范围内, “上行中能被P整除的数”以及“下行中能被P整除的数的

8、对应数”中, 它们分别每连续Pm个数中必定有一个数能被素数Pm整除。并知：应筛除组P在偶数A的分析表内上行的数的数量, 就是“上行中能被P整除的数”和“下行中能被P整除的数的对应数”的总和。因此, 应筛除组P在偶数A的分析表内上行的数中, 能被素数Pm 整除的数占的比例的近似值是1/Pm 。 同理, 在偶数A的分析表的下行范围内的情况与上行是相同的。应筛除组P在偶数A的分析表内下行的数中, 能被素数Pm 整除的数占的比例的近似值同样也是1/Pm Ks根据以上分析和分析表的性质、性质进行以下分析:r+Q数学中国 - 数学中国 ke?R 1、根据分析表的性质可知:当偶数A不能被素数Pm 整除时,在

9、偶数A的分析表内, 应筛除组P在上行的数(“上行中能被P整除的数”和“下行中能被P整除的数的对应数”)中能被素数Pm整除的数, 与应筛除组P在下行的数(“下行中能被P整除的数”和“上行中能被P整除的数的对应数”)中能被素数Pm 整除的数不可能同在一个分析组内。因此, 组成这些不仅含有能被P整除的数，同时也含有能被素数Pm整除的数的应筛除组P、Pm的两个数中只有其中一个数能被素数Pm整除。由此可得出以下定理:eJmdh数学中国 - 数学中国 XrL, 定理 当偶数A不能被小于A 的素数Pm 整除,P是任意一个小于A 、大于Pm的素数；或者P是小于A、大于Pm的范围内若干个不相同的素数相乘的积时,

10、在偶数A的分析表内的应筛除组P中，与应筛除组Pm重叠的应筛除组P、Pm占的比例的近似值是2/Pm。因此，这些不仅含有能被P整除的数, 同时也含有能被素数Pm整除的数的应筛除组P、Pm数量的近似值是： 应筛除组P的数量的近似值2/Pm l数学中国 - 数学中国 y7&i 2、 根据分析表的性质可知：当偶数A能被素数Pm 整除时，在偶数A的分析表内, 应筛除组P在上行的数(“上行中能被P整除的数”和“下行中能被P整除的数的对应数”)中能被素数Pm整除的数, 与应筛除组P在下行的数(“下行中能被P整除的数”和“上行中能被P整除的数的对应数”)中能被素数Pm 整除的数互为对应数, 它们一定同在一个分析

11、组内。由此可得出以下定理:k)1KmcYp+ 定理 当偶数A能被小于A 的素数Pm 整除，P是任意一个小于A 、大于Pm的素数；或者P是小于A、大于Pm的范围内若干个不相同的素数相乘的积时，在偶数A的分析表内的应筛除组P中，与应筛除组Pm重叠的应筛除组P、Pm占的比例的近似值是1/Pm。因此，这些不仅含有能被P整除的数，同时也含有能被素数Pm整除的数的应筛除组P、Pm数量的近似值是： 应筛除组P的数量的近似值1/Pm ?0数学中国 - 数学中国 t 分 析（四） CS 在偶数A的分析表内的分析组中，把所有含大于或等于素数P、但小于A 的质因子的应筛除组全部筛除后，用符号“PFA”表示余下的分析

12、组数量近似值的式子。0c 如：当Pn是小于A的最大素数时，在偶数A的分析表内, 把应筛除组Pn筛除后，PnFA表示余下的分析组数量的近似值的式子或该式的计算结果。#!r 如: 当Pn是小于A的最大素数, Pn-1是小于Pn的最大素数时，在偶数A的分析表内，把应筛除组Pn、应筛除组Pn-1全部筛除后，Pn-1FA表示余下的分析组数量的近似值的式子或该式的计算结果。L)a 以此类推，在偶数A的分析表内，把应筛除组Pn至应筛除组P1全部筛除后, P1FA表示余下的分析组数量的近似值的式子或该式的计算结果。(Pn至P1是所有小于A的各个素数 ),数学中国 - 数学中国 jz? 当偶数A不能被任何一个小

13、于A 的奇素数整除, Pn至P1是所有小于A、并按从大到小顺序排例的各个素数，运用“容斥原理”和“布朗筛法”的思路与方法，在分析表内的A/2个分析组中，依次筛除应筛除组Pn 、应筛除组Pn-1、应筛除组 Pn-2应筛除组P2、应筛除组P1这些所有的应筛除组后 , 求余下的分析组数量的近似值。m- (2/Pn-1)* =(A/2)-(A/2)(2/Pn)-(2/Pn-1）(A/2)-(A/2)(2/Pn)_xtV!3 =(A/2)（1-2/Pn）-(2/Pn-1）(A/2)（1-2/Pn）8U%2 =(A/2)（1-2/Pn）(1-2/Pn-1)rN01数学中国 - 数学中国 CGO 下面用另外

14、一种思路进行分析推理：K 已知在PFA的多项式中,第一项(A/2是正数项)表示偶数A的分析表内分析组的数量,在后面的各项中,负数项表示应减去的应筛除组数量的近似值；正数项表示应加上的应筛除组数量的近似值。如果Pm是小于P的最大素数,在PFA的基础上筛除应筛除组Pm,求余下的分析组数量的近似值PmFA 时。进行以下分析：2数学中国 - 数学中国 pl 根据定理可知：用PFA式的多项式中第一项的绝对值(A/2)乘以2/Pm得出的数值，是偶数A的分析表内应筛除组Pm数量的近似值。U(数学中国 - 数学中国 6C 根据定理可知：用PFA式的多项式中除第一项以外的各项的绝对值分别乘以2/Pm得出的各个数

15、值，分别是PFA式的多项式中，除第一项以外的各项所表示减去的或加上的应筛除组与应筛除组Pm重叠的应筛除组数量的近似值。Ip#e数学中国 - 数学中国 wsG1 因此，在PFA式的基础上减去应筛除组Pm数量的近似值（用PFA式的多项式中第一项的绝对值乘以2/Pm得出的数值）后，根据“容斥原理”可知：必须加上或减去PFA式的多项式中，除第一项以外的各项所表示减去的或加上的应筛除组中与应筛除组Pm重叠的应筛除组数量的近似值（用PFA式的多项式中除第一项以外的各项的绝对值分别乘以2/Pm得出的各个数值）。并知：在PFA式的多项式中，除第一项以外的各项中是减号的必须加上，是加号的必须减去。:rou_数学

16、中国 - 数学中国 ru 因为在乘法中，负数与负数相乘得正数，正数与负数相乘得负数。因此，在PFA式的基础上筛除应筛除组Pm（Pm是小于P的最大素数）后，余下的分析组数量的近似值PmFA，就是“PFA式的值”与“PFA式的多项式中的各项分别乘以-2/Pm的各个乘积”的总和；也就是“PFA式的值”与“PFA式乘以-2/Pm的乘积”的总和。也就是当Pm是小于P的最大素数，A不能被Pm整除时。PmFA=PFA+PFA(-2/Pm)= PFA(1-2/Pm) ;数学中国 - 数学中国 j:r 由此可知：当Pm是小于P的最大素数，A不能被Pm整除时，&),J PmFA= PFA(1-2/Pm)t8K数学

17、中国 - 数学中国 y4 根据以上分析可知：求Pn-1FA 时，只需直接用“分析”中的PnFA式乘以(1-2/Pn-1)就可以。数学中国 - 数学中国 ;3 即： Pn-1FA=PnFA(1-2/Pn-1)=(A/2)（1-2/Pn）(1-2/Pn-1)&数学中国 - 数学中国 Z?Tr分析 按照“分析”的分析方法求Pn-2FA时，根据PmFA=PFA(1-2/Pm)ii可得出： Pn-2FA = Pn-1FA（1-2/Pn-2）Fq?0/? =（A/2）（1-2/Pn）（1-2/Pn-1）（1-2/Pn-2）ktA1数学中国 - 数学中国 #yC4* 根据“分析”的分析方法进行分析推理，可知

18、：当偶数A不能被任何一个小于A 的奇素数整除时,在偶数A的分析表内,依次把应筛除组Pn、应筛除组Pn-1应筛除组P2、应筛除组P1全部筛除后，余下的分析组数量的近似值P1FA 是：_数学中国 - 数学中国 OP1FA=（A/2）(1-2/Pn)(1-2/Pn-1)(1-2/P2) (1-1/P1)fsXi数学中国 - 数学中国 G,TRQ 因为P1=2,P1是唯一的偶素数,不能被任何一个奇素数整除的偶数A能被唯一的偶素数P1整除, 因而根据定理、定理进行分析推理，可知:当偶数A不能被任何一个奇素数整除时,在偶数A的P1FA式中,只有最后一个因式（11/P1）中的1/P1的分子是1。:J 为了便

19、于后面的阐述，当偶数 A 不能被任何一个小于 A 的奇素数整除时（也就是在P1FA式中,与Pn至P2这些所有的奇素数同分数的分子都是2时）,把这种形式的P1FA式叫作特殊P1FA式。zw$t8,数学中国 - 数学中国 a特殊P1FA式=(A/2)(1-2/Pn)(1-2/Pn-1)(1-2/P2)(1-1/P1)c3数学中国 - 数学中国 wP.s 分 析（五）JfC= 当偶数A能被Pn 至P2 这些小于A 的奇素数中的某个或某几个奇素数整除时,在分析表内的A/2个分析组中,按含质因子的大小顺序，依次筛除含有能被素数Pn 、Pn-1、 Pn-2 P2、P1整除的数的应筛除组,求余下的分析组数量

20、的近似值。m1数学中国 - 数学中国 *u 按照“分析（四）”的分析方法,根据定理、定理进行分析推理,可知：在小于A 的奇素数中，如果偶数A能被奇素数P整除，只需把“特殊P1FA式”中与奇素数P 同分数的那个分数中的分子 2 改成1 ，就是符合以上条件（偶数 A 能被小于A 的奇素数P整除）的P1FA式 。(hJsa数学中国 - 数学中国 aNpC 如果把“分析（四）”中“特殊P1FA式”中与各个奇素数同分数的分子用m代替, 根据定理、定理和定理、定理可知: 当偶数A能被某个小于A 的奇素数整除时, 与这个奇素数同分数的分子m等于1 ；当偶数A不能被某个小于A 的奇素数整除时，与这个奇素数同分

21、数的分子m等于2 。因此，无论偶数A是否能被小于A 的某个或某几个奇素数整除，该式都可以表示任意一个大于4的偶数A的P1FA式, 因而把该式叫作通用公式。可知：通用公式 = P1FA ，通用公式 特殊P1FA 。JkqTk数学中国 - 数学中国 nHh)通用公式=（A/2)(1-m/Pn)(1-m/Pn-1)(1-m/P2) (1-1/P1)K数学中国 - 数学中国 ?& 在“通用公式”中,A是任意一个大于4的偶数；Pn是小于A 的最大素数，Pn至P1是所有小于A、并按从大到小的顺序排列的素数。即：P1=2、P2=3、P3=5、P4=7a数学中国 - 数学中国 o% 已知在分析过程中，把所有小

22、于A的Pn至P1这些素数全部作为应筛除的数进行考虑分析，所有含Pn至P1（这些素数本身)的分析组全部作为了应筛除组。由此可知：如果Pn至P1这些素数的对应数中存在素数，在含素数Pn至P1(这些素数本身)的应筛除组中就存在由两个素数组成的应筛除组。例如：在偶数316的分析表内的3和313、5和311就是由两个素数组成的应筛除组。NP3数学中国 - 数学中国 pH 在此，把两素数之和等于偶数A的“素数对”分为x 、y 两类，即：两素数之和等于偶数A的“素数对”的数量等于（x+y)，其中：x表示不含小于A 的素数的“素数对”的数量；y表示含小于A 的素数的“素数对”的数量。根据前面的分析可知： x属

23、于非筛除的对象；y属于被筛除的对象。再设一个c ，已知：MD 当（A-)是素数时，1和（A-)这个分析组是非筛除的对象, 此时=；.af 当（A-)是合数时，1和（A-)这个分析组是应筛除组, 此时= 0 。z 因此，通用公式有以下性质：GGo数学中国 - 数学中国 := 运用通用公式可求出任何一个大于 4 的偶数A的分析表内非筛除的分析组（x+c)数量相对合理的近似值 。即： 通用公式（x+c)5Uus数学中国 - 数学中国 W S 在通用公式中，当偶数A能被某个小于A的奇素数整除时，与这个奇素数同分数的分子m等于1 ；当偶数A不能被某个小于A 的奇素数整除时， 与这个奇素数同分数的分子m 等于2 。C数学中国 - 数学中国 y 通过下面三个表中的数据举例补充说明通用公式的性质。tW+ 当 A = 316时，情况如下表：w,)C* 说明：U.q 第1行为第一筛，筛除应筛除组17后的情况；f- 第2行为第二筛，筛除应筛除组13后的情况；n 第3行为第三筛，筛除应筛除组11后的情况；以此类推。6数学中国 - 数学中国 www.mathch