用直接解一元二次方程来解高考题.docx

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用直接解一元二次方程来解高考题

用直接解一元二次方程来解高考题

高考题1（2015年高考上海卷理科第21题）已知椭圆

，过原点的两条直线

和

分别与椭圆交于点

、

和

、

，记得到的平行四边形

的面积为

.

（1）设

，用

、

的坐标表示点

到直线

的距离，并证明

；

（2）设

与

的斜率之积为

，求面积

的值.

解

（1）略.

（2）设

，得

.又设

.

由

同理，可得

再由

（1）的结论，得

=

高考题2（2015年高考湖北卷理科第21题）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

图1图2

（1）求曲线C的方程．

（2）设动直线l与两定直线l1：

x－2y＝0和l2：

x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：

△OPQ的面积是否存在最小值？

若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

解

（1）如图3所示，设点D（t，0）（|t|≤2），N（x0，y0），M（x，y）.

图3

依题意，得

＝2

，且|

|＝|

|＝1，所以（t－x，－y）＝2（x0－t，y0），且

即

且t（t－2x0）＝0.

由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t＝2x0，故x0＝

，y0＝－

，代入x

＋y

＝1，可得

＋

＝1，即所求的曲线C的方程为

＋

＝1.

（2）（i）当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝

×4×4＝8.

（ii）当直线l的斜率存在时，设直线l：

y＝kx＋m

.

由

消去y，可得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－16＝0.