小学数学解决问题浅探.docx
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小学数学解决问题浅探
小学数学问题解决教学浅探
若水
通过本次讲座，使学员了解问题解决的含义；认识数学问题解决教学的重要意义；掌握小学数学问题解决教学的过程特征；能根据进行小学数学问题解决教学设计。
一、数学问题解决教学的含义
“问题解决”是近年来国际上提出的数学教育的研究热点，是国内外数学教育发展的趋势。
《义务教育数学课程标准》明确了数学课程的总目标，并从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个方面作出了进一步阐述。
其中“解决问题”的目标阐述为：
●初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。
●形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
●学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果。
●初步形成评价与反思意识。
《标准》还在各个学段对“解决问题”提出了具体要求。
《标准》对“问题解决”目标的阐述有以下特点：
问题解决是以“问题”为中心的活动。
它是从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题的活动。
问题解决是以学生为主体的活动。
它要以学生已有的知识经验为基础，让他们主动参与并与他人合作交流中，体验知识、技能、策略由未知到已知的过程。
问题解决是一种智力活动的过程，这个过程具体表现为教师对学生运用数学知识进行思维活动的指导过程，以及学生的评价反思。
问题解决是一种在应用数学的过程中形成的数学能力,这种数学能力是数学教学必须着重培养的数学素质之一,需要构建一种适当的教学活动模式来实现这一培养目标。
因此：
问题解决是以问题为中心，以学生已有知识和经验为基础，学生在教师创设最佳认知活动的条件下，引导学生自主地发现问题，分析问题和解决问题，学生通过自身情感体验以及与他人合作交流过程中，实现知识的再创造的教学活动。
这种数学教学能够逐渐建立学生的数学问题意识，逐渐提高学生提出数学问题的能力，不断增强学生应用数学知识解决实际问题的能力。
二、数学问题解决教学的意义
1、有利于提高学生数学知识的掌握水平
数学问题解决，从根本上来讲是把前面已学到的数学知识运用到新的情景中去的过程，并且这种运用不是一种简单的模仿操作，而是一种对已经掌握的数学概念、规则、方法和技能重新组合的创造性运用。
这个过程本身就是一种加深数学知识的理解并灵活运用所学知识的过程，因此数学问题解决的学习有利于学生提高数学知识和技能的掌握水平。
例1、计算异分母分数加减法。
至少要运用分数的基本性质、通分和同分母分数加减法法则等知识才能使问题得到解决。
很明显，这个过程的本身就是一个提高分数基本性质、通分和同分母分数加减法法则掌握水平的过程。
数学问题解决和练习都有提高知识掌握水平的功能，但两者有着根本性的区别。
数学问题解决主要是通过对已有知识和方法的重新组合而生成新的解题策略和方法，它通过创新活动去实现已有数学知识在更高层次上的掌握；而练习则更多的知识一种对已有知识的重复学习，它主要是通过巩固去加深知识的理解和掌握。
如用异分母分数加减法法则计算具体的异分母分数加减法，创新的成分就少。
2、有利于培养学生解决实际问题的能力
在数学问题解决的过程中，根据实现问题目标的需要，学生要主动的将原来所学过的有关知识运用到新的情景中去，使问题得到解决。
这个过程本身就是一个运用数学知识，使知识转化成能力的过程。
因此数学问题解决对于培养学生的数学能力，特别是运用所学数学知识解决简单实际问题的能力具有重要的意义。
首先，它促使学生在原有认知结构中去提取有用的知识和经验运用于新的问题情景，培养学生根据目标需要检索和提取有用信息的能力。
其次，数学问题解决促使学生将过去已掌握的静态的知识和方法转化成可操作的动态程序。
这个过程本身就是一个将知识转化成能力的过程。
另外，数学问题解决能使学生将已有的数学知识迁移到他们不熟悉的情景中去，并作为实现问题解决的方法和措施。
这既是一种迁移能力的培养，同时又是一种主动运用原有的知识解决新问题能力的培养。
例2、“购物问题”活动课
甲、乙丙三家商店进了一批饮料。
为了抢占市场，他们分别给出了优惠措施。
顾客
购买方案
选择商店
小明
2大2小
甲
小红
1大8小
乙
张阿姨
4大
丙
李叔叔
1大5小
甲或乙
我
3大2小
丙
2小
乙
师：
你如果是顾客，准备买多少饮料？
师：
老师去商店调查了四位顾客，他们想的和大家差不多（出示）
把你想买的数量填在“我”的对应栏中
学生解决这个问题需要对饮料的信息及商店优惠措施作全面了解，运用学过的有关数量关系，计算教师提供的四种有代表性的购物数量下各商店总价，通过比较选择商店。
得出结论：
购买总价超过30元，去丙商店合算；大罐小罐数量一样多时，去甲商店合算；当只卖几小罐时或大罐小罐数量相差很多时，去乙商店合算。
再深入研究：
为什么在总价不到30元，大瓶与小罐数量差不多时，去甲商店合算？
通过交流学生明白，实际上，在这样情况下，甲商店的折扣是10÷12=0.83（八三折）
在这一过程中学生用数学知识解释生活现象，培养了学生应用数学知识解决实际问题的能力。
3、有利于培养学生数学意识
在数学问题解决的过程中，学生对面临的问题要运用哪些数学知识，怎样去运用这些知识才能使问题得到解决，需要他们都有明确的认识。
因此数学问题解决能有效培养学生的数学意识。
首先，在数学问题解决中学生能更加明确的认识到过去所学数学知识的重要作用。
如加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律、分配律，学生在学习这些定律时并没有完全意识到它们的作用，只有在用这些定律解决简便计算问题时，他们才真正体会到这些定律的重要性。
其次，长期的数学问题解决学习，能培养学生用数学的眼光去观察身边的事物，用数学的思维方法去分析日常生活中的现象。
再次，在数学问题解决过程中学生还能切身感受到运用数学知识解决问题后的成功体验，这不仅可以增强学生学好数学的信心，还可以使它们更加深刻的感受到自己所学的数学知识都有用的。
例3、“铺地砖”
小明家要搬新家了，他爸爸想在客厅里铺上地砖。
要买多少块地砖？
爸爸请小明做决定。
师：
你如果是小明，会想到哪些问题呢？
生：
客厅有多大？
生：
客厅是什么形状？
师：
小明家客厅是长方形的。
生：
客厅长和宽分别是多少？
生：
客厅要铺什么样规格的地砖？
……
面对“要买多少块地砖？
”这一问题，学生从数学的角度，从自己已有的知识经验出发，提出了相关数学问题，培养了学生的数学意识。
4、有利于培养学生的探索精神和创新能力
数学问题解决中的问题对学生来说都是第一次遇到的新情景，怎样去实现问题的解决并没有现成的方法和措施可采用，需要学生根据具体的问题情景去探索和发现能使问题达到目标状态的方法和途径，这个过程的本身就是一个主动探索的过程。
因此数学问题解决有利于学生探索精神的培养。
另一方面，任何数学问题的解决都不能直接依赖于已有的知识和方法，只有通过对已掌握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法才能实现问题的解决。
很明显，数学问题解决的过程又是一个创新的过程。
这一过程促使学生寻求新的途径和方法去实现问题的解决。
它不仅可以使学生获得初步的创新能力，同时还可以让学生从小养成创新的意识和创新的思维习惯，为今后实现更高层次的创新奠定良好的基础。
在教学中挖掘数学问题解决中的隐藏的培养学生探索精神和创新能力的巨大潜力，引导学生加强数学问题解决的学习，充分发挥其培养学生探索精神和创新能力的功能，在当前也是素质教育赋予小学数学学科教学的重要任务。
例4、一年级“拼出美丽的图画”
这是学生在初步认识了长方形、正方形、圆等几何图形之后，设计的教学。
活动中学生利用学具，开展“折一折，拼一拼，剪一剪，画一画，说一说”等系列活动，使学生形象地看到两个或几个图形拼起来会出现一个新的图形，有利于发展学生的形象思维，培养学生的想象力和动手实践能力；教师鼓励学生拼出不同图画，让学生在求异、求新中培养审美情趣和创新能力。
例5、用几张同样大小的长方形纸，用不同的方法分别去折叠出它的1/8，并用自己最喜欢的图案表示出来。
学生在解决问题过程中手、眼、脑并用，想出了很多种
的折叠方法，再用美丽的图案画出来，得到美的享受，也培养了学生的创新意识。
5、有利于发展学生的数学思维
解决数学核心任务：
注重数学思想方法的渗透和学生数学素养的提高。
数学思想方法是指比较分析的方法、模型方法、估测方法、推理方法、转化方法、统计方法等。
在小学数学教学中，这些数学的思想方法都应通过解决问题来渗透，使学生在不知不觉中受到数学思想和方法的熏陶和感染。
例6、共有几个洞。
一张纸对折两次剪一刀出现1个洞。
对折3次剪一刀，出现几个洞？
对折10次呢？
你发现了什么规律？
活动过程描述：
观察（教师做一个示范，学生做一个）
猜测（洞的个数与对折次数有点联系，是不是有规律呢）
实验（在实验中不断进行对规律猜测的调整，最后验证出了正确的猜测）
总结（得出规律。
需要分析、比较、抽象、概括）
在这个活动中，教师要创设一定的问题情境，让课堂中充满着研讨、探究、思考的气氛；要摆脱传统的教学模式的束缚，让学生大胆尝试；要允许学生失败，鼓励学生克服困难，不断探究，为学生探索知识形成过程，掌握思想方法提供了一定的空间
三、数学问题解决教学的过程
数学问题解决的教学过程，会受到学生的知识水平、思维水平、年龄特征、问题的内容、问题的难度、解决问题的环境等多种因素的影响。
但就一般规律而言，基本可以确定为以下五个步骤：
问题的感知和理解——方案的寻求和确定——方法的实施和矫正——结果的表达和反思——相互的评价和交流。
1、问题的感知和理解
感知和理解问题是数学问题解决教学的第一步。
学生面对问题的情境、语言、图画等信息，通过观察、阅读了解哪些是已知条件，哪些是可利用的信息？
把这些条件、信息的表象在头脑中建立起来，看看还缺少什么？
需要什么？
明确问题的现有状态和想要达到的未知目标的状态。
对于一些情景化的实际生活问题，可以利用原有知识的建构，转化成比较简洁、清晰的数学问题，便于调动已有知识技能去解决。
课程·教材·教法1999年第9期《谈小学数学学习中的问题解决》一文作者认为，数学问题的创设应遵循以下基本要求：
（1）以一定的数学知识为目标。
数学问题的创设应服务于一定的数学教学目标,应有利于学生对相关性的数学知识和数学思想方法的产生、拓展、应用。
在问题解决过程中教师呈现给学生的不应只含有静态的数学知识的问题,而应是新的数学知识产生的源泉的问题.
（2）与学生已有的数学认知发展水平相适应。
只有当创设的数学问题进入学生的“最近发展区”,学生才能在已有的认知发展水平基础上,通过教师适当的设问启发,有意义地主动构建数学知识。
（3）以开放探索性为导向。
传统的封闭题条件完备、答案唯一,有固定的思路,学生通过模仿就可以掌握,这从一定的程度上禁锢了学生思维,抑制了学生的创新灵感。
而开放探索性问题的特征是题目的条件不充分或没有确定的思路、结论,所以其解题策略往往也是多样的,它为不同层次水平的学生提供了更多的交流与合作的机会,为充分发挥学生的主体作用创造条件。
数学开放题的教学过程是学生主动构建,积极参与的过程,更有利于激发学生的探索欲、求知欲、创新欲;有利于培养学生的数学意识,真正学会“数学思维”。
（4）紧密联系学生的生活实际、具有趣味性、实用性的原则。
首先要把生活问题提炼为数学问题,以利于学生运用所学知识解决实际问题,体会数学的实用价值,体验数学知识来源于生活,又服务于生活的真谛.
例7、“打折与策略”活动课
问题情境：
麦当劳进行促销活动，有下列的优惠信息：
套餐冰淇淋
8．00元7．00元
第一周：
每套打九折，买一个冰淇淋回赠2元券。
第二周：
每套减价20%，买一个冰淇淋回赠2元券。
第三周：
买五套以上打七折，买一个冰淇淋回赠2元券。
现在老师给每人20元钱，请你想三个问题：
你打算在哪一周买？
你打算怎么买？
设计方案的优点是什么？
学生面对问题，兴趣盎然的搜索有用的信息，并且和已有的折扣、百分数等知识联系起来，向着问题解决的目标努力探索。
2、方案寻求和确定
经过问题的感知和理解，接下来重要的步骤就是寻求和确定解决问题的方案。
问题解决的方案可能会有许多种，同一问题可采用不同的方法和策略来解决。
方案的选择主要依据问题的性质、内容，学生的知识、经验、技能。
学生在可以想到的方案中筛选出自己认为比较有把握、简洁、易操作的方案来实施。
例8、三角形的面积
师：
前面的课上我们学过了哪些平面图形面积的计算？
（长方形、正方形、平行四边形）。
师：
哪个图形面积学习给你留下深刻印象？
（平行四边形）。
师：
具体讲一讲（我们在计算平行四边形面积时，将它转化成一个长方形，面积不变）
师：
把一个新的图形转化成我们学过的方法来计算面积，这是个好办法。
师：
今天老师带来了四个图形。
（投影出示平行四边形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形）大家能不能小组合作，利用这四个图形，通过折一折、拼一拼、剪一剪的办法求三角形的面积呢？
……
学生在寻求和确定解决问题的方案时，原有的认知结构将会作为问题解决新方案的基础。
例9、小数乘法的教学。
教师激发学生能不能根据已有的知识，研究出小数乘法的计算方法时，学生一要联系整数乘法的计算方法，二要联系小数点的移动规律，三要联系积的变化规律，使这些知识、技能处于激活状态，为解决小数乘法的计算问题做好准备。
3、方案的实施和矫正
在确定了解决问题的方案后，就要按照方案的特点制定实施的步骤。
学生的计划，很多时候并不需要写在纸上，更多的是在学生的头脑中，他们经常处于边想边做的状态下。
同时，学生在解决问题的过程中，经常会出现不期而遇的新问题。
此时的学生是否具有修正方案、矫正策略的意识和能力呢？
这是数学素质中高层次的表现。
例10、用100米的篱笆围一个面积不小于600平方米的羊圈。
问题一呈现，学生就在多种图形中尝试，正方形可以，圆形可以，长方形有时可以有时不可以。
其中哪些长方形是可以的，哪些长方形不可以呢？
学生一次次地调整长与宽，最终获得概括性的、规律性的结论。
4、结果的表达和反思
学生经过一系列的复杂心理活动，终于赢得了问题的解决。
怎样把解决问题的结果，呈现出来呢？
这也是培养和体现学生数学素质的一个重要环节。
面对自己解决问题的结果，作为问题的解决者——学生应该处于一种什么状态呢？
他们应该认真审视这一结果，联系已知条件和解决的最终目标，在实际情境中检验结果的合理性、科学性、准确性、推广性。
如果发现不能自圆其说，应该重新审视。
例如还是在六年级“平面图形练习课”上，对于“借墙”围的问题，当学生按照圆形面积大于正方形面积，正方形面积大于长方形的面积去设计解决时，他们突然发现结果不是这样的，这又是怎么回事呢？
学生在反思中又有了新的发现，并且把这一发现和先前的规律一起来看，形成完整的知识体系。
5、相互的评价和交流
数学问题解决以后，学生不仅借助动作、图画、符号文字把解决问题的结果呈现出来，更重要的是用这样的手段，加上听觉、视觉、触觉等感官，来接受和评价别人的数学思想。
《标准》中明确提出：
动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
因此，教师要善于组织学生展开课堂讨论，学生是彼此的听众和评论员。
他们既要用自己的观点说服别人，也要在接受别人观点的同时，产生疑问、提出质疑。
在数学交流与碰撞中产生创新的火花，丰富数学素质。
四、数学问题解决教学设计
1、情境的设计
创设问题情境是数学问题解决教学过程中的重要基础。
它有利于激发学生的求知欲，有利于培养学生探索与创造精神、自信心、解决实际问题的能力等等。
问题情境，就是在教学中设计这种问题——使学生想解决，但单纯利用旧知识又无法解决，由此引导学生加深对新的知识技能要“充电”的欲望，这股力量实际上就是求知欲。
当然这种问题情境必须与学生现有的知识、经验、能力、技能等相适应。
在设计时，要让学生去体验真正的问题，真正的问题是一种情境，它是比较复杂的、具有一定的挑战性的、尚未解决的问题；同时，还要注意层次性，使对简单情境下的探究会推广到另一个情境，或可用多种水平加以处理。
例11、“周长的概念”教学，
师：
（拿出课前准备的一块没有包边的小镜子）这么锋利的小镜子怎样才能安全地使用呢？
你有什么好办法吗？
生：
给小镜子包边。
这样的设计从需要的角度唤起学生对镜子“一周”的认识，自然、直观、感性地建立镜子“边”与镜面之间的关系，又能建立“周长”概念中“周”、“边”的现实模型。
例12、“7的乘法口诀”教学
师：
小朋友们，你们喜欢玩拼图游戏吗？
生：
喜欢！
师：
那么，请大家利用手中的7张卡片拼1个你最喜欢的图案，好吗？
小组动手拼图游戏。
2、问题的设计
问题的设计，是数学问题解决教学过程设计的关键，必须先设计一些“好问题”，所谓“好问题”应该具有下面一些特点：
1、问题具有较强的探索性。
“好问题”能够体现出学生对问题的独立见解、分析与判断，对人的创新意识与创新精神的培养有帮助。
2、问题具有较强的趣味性。
即具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，具有趣味和魅力。
3、问题具有开放性。
即有多种不同的解法或有多种可能的解答。
要设计出能称为“好”的问题，还应注意以下几点：
问题选择要靠近学生原有的基础知识与技能，又要接近准备进行教学的新知识；
问题的提法要有新颖性、趣味性、艺术性、现实性，最好能使学生激发较强的解决问题的需要与欲望；
问题的安排要合理、要由浅入深、要由易到难，使学生能多次体会“成功”的快乐，建立、巩固学生解决更“困难”的问题的信心与决心。
例13、圆的周长
师：
你认为圆的周长与什么有关？
（直径、半径）
师：
拿直径来说，这个关系是怎样的？
（直径越长，周长就越长）
师：
如果告诉你圆的直径的长度，你能算出它的周长吗？
生：
不能。
因为还不知道它们之间到底有什么确定的关系，要是知道这个关系就可以算出来了。
……
3、学生活动的设计
数学问题解决教学，强调的是学生自主地进行学习活动。
在整堂课中，什么时候让学生独立思考、独立操作，什么时候让学生讨论、交流信息，怎样组织讨论和交流等，教师在设计时都要做精心的安排。
1、活动的顺序
学生活动通常可以这样进行安排：
（1）理解问题。
可由学生自己读题和理解，也可以师生一起观察和磋商。
（2）寻找问题与已有知识的联系。
（3）讨论和个体探究。
可先个体探究后讨论，也可先讨论后个体探究，也可以个体探究和讨论一起进行。
（4）交流结果和心得。
探究活动可以通过听、看、读、思考、动笔、利用计算器和计算机等方式进行。
附：
教学活动设计两则
（一）圆锥的体积
一、提出问题
1、师：
同学们已经学过了圆柱体积，谁能说说圆柱体积计算公式？
（V=sh）
2、师（拿出一个圆锥体模型）：
如果要研究圆锥的体积，你认为它的体积与学过的立体图形中谁的关系最为密切？
3、师（出示一组不同底面和高的圆柱，其中有一个与教师手中的模型等底等高）：
如果要研究老师手中的圆锥与圆柱体积的关系，你打算选择哪个圆柱？
为什么？
4、那么老师手中的圆锥的体积与和它等底等高圆柱体积有什么关系呢？
二、探索新知
猜测
学生一定有不同的猜测。
验证
1、师：
猜测可能符合事实，可能不符合，有什么办法证明大家的猜测是否符合事实呢？
（预计学生会想到做个实验）
2、研究实验方法及注意点。
3、分组实验
归纳总结
1、交流实验情况：
你们是怎样实验的？
实验的结论如何？
2、全班汇总，比较与猜测是否一致。
3、得出结论。
推导公式
师：
你认为可以怎样计算圆锥的体积？
你是怎样想的？
板书设计：
圆锥的体积等于和它等底等高圆柱体积的
V=sh×
即V=
sh
三、回顾反思
我们是怎样得到圆锥体积的计算公式的？
计算圆锥的体积为何要乘与
？
四、新知运用
……
（二）打折问题
使用与五、六年级。
教学目的
1使学生理解生活中打折等常见的优惠措施，并能根据情况选择最佳方案与策略。
2通过小组合作，培养学生的合作意识及运用知识解决实际问题的能力。
3、培养学生创新精神，渗透事物是对立统一的辨证唯物主义思想，使学生能够辨证、发展、全面第对待生活中的实际问题。
教学过程：
一、通过比较引出课题
1、谈话引入。
师：
同学们，老师在星期天经过一家快餐店，店主张贴了一张价格表。
A套餐
原价：
16.90元
现价：
10.00元
B套餐
原价：
15.40元
现价：
10.00元
C套餐
原价：
15.00元
现价：
10.00元
D套餐
原价：
16.90元
现价：
10.00元
E套餐
原价：
18.00元
现价：
10.00元
F套餐
原价：
14.00元
现价：
10.00元
2、比较价格表。
师：
如果你买，你选择哪一套？
（E套餐降价最多，买E套餐最合算）。
3、比较百分数
（1）出示：
现价发生如下变化：
A套餐
原价：
16.90元
现价：
12.00元
B套餐
原价：
15.40元
现价：
10.78元
C套餐
原价：
15.00元
现价：
12.00元
D套餐
原价：
16.90元
现价：
12.00元
E套餐
原价：
18.00元
现价：
13.50元
F套餐
原价：
14.00元
现价：
12.24元
师：
买哪一套合算？
（2）分组计算
（3）汇报：
A套餐:
现价是原价的71%（降价29%）
B套餐:
现价是原价的70%（降价30%）
C套餐:
现价是原价的80%（降价20%）
D套餐:
现价是原价的80%（降价20%）
E套餐:
现价是原价的75%（降价25%）
F套餐:
现价是原价的85%（降价85%）
结论：
B套餐降价幅度最大，所以买B套餐合算。
小结：
第一道题套餐原价不同，现价相同，通过比较原件与现价的差价，就知道买哪套合算；二第二题原价现价都不同，我们可以用求百分数的方法来解决问题。
4、揭示课题
师：
生活中现价是原价的百分之几，经常怎样表达？
（打折）
（A套餐打七一折……）
师：
看来数学与生活有着密切的联系，今天我们就来用学到的数学知识解决生活中的一些实际问题。
二、初步探索打折的最佳方案
1、创设情境，提出问题。
套餐18.00元
冰淇淋7.00元
第一周：
每套16.2元；买一个冰淇淋回赠2元券。
第二周:
降价20%；买一个冰淇淋回赠2元券。
第三周：
买5套以上打七折；买一个冰淇淋回赠2元券。
（1）学生质疑。
师：
对这些措施，你有什么不明白的地方吗？
（2）提出问题。
每人给你20元，想三个问题：
你准备哪一周买？
你准备怎么买？
你设计的方案的有点是什么？
2、自主探索解决问题
（1）汇报方案。
方案一：
在第二周买，先买一个冰淇淋，再买一份套餐。
5+18×（1-20%）=19.4（元）
方案二：
在第三周买，五个人合作，每人先买一个冰淇淋，再买一份套餐。
5+18×70%=17.6（元）
（2）选择最佳方案
师：
你认为谁设计的方案最好？
（3）通过这道题你受到了什么启发？
三、拓展运用，进一步探究打折中的最佳方案
1、提出问题
出示科技馆的票价：
成人票：
30元；学生票：
打七折；10人团体票：
150元。
某班学生去科技馆参观，怎样买票最合算？
人数
买票方式（列式计算）
54名学生
团体票
成人票
学生票
（）张
（）张
（）张
54名学生，3名老师
团体票
成人票
学生票
（）张
（）张
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