离散数学第四章二元关系和函数知识点归纳.docx

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离散数学第四章二元关系和函数知识点归纳

集合论部分

第四章、二元关系和函数

4.1集合的笛卡儿积与二元关系有序对

定义由两个客体x和y，按照一定的顺序组成的

二元组称为有序对，记作

实例：

点的直角坐标（3,4）

有序对性质

有序性（当xy时）

与相等的充分必要条件是=x=uy=v

例1<2,x+5>=<3y4,y>，求x,y.

解3y4=2,x+5=yy=2,x=3

定义一个有序n（n3）元组是一个

有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，即

=<,xn>

当n=1时,形式上可以看成有序1元组.

实例n维向量是有序n元组.

笛卡儿积及其性质

定义设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，即AB={|xAyB}

例2A={1,2,3},B={a,b,c}

AB={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,

<3,a>,<3,b>,<3,c>}

BA={,,,,,,

,,}

A={},P（A）A={<,>,<{},>}

性质：

不适合交换律ABBA（AB,A,B）

不适合结合律（AB）CA（BC）（A,B）

对于并或交运算满足分配律

A（BC）=（AB）（AC）

（BC）A=（BA）（CA）

A（BC）=（AB）（AC）

（BC）A=（BA）（CA）

若A或B中有一个为空集，则AB就是空集.

A=B=

若|A|=m,|B|=n,则|AB|=mn

证明A（BC）=（AB）（AC）

证任取

∈A×（B∪C）

x∈A∧y∈B∪C

x∈A∧（y∈B∨y∈C）

（x∈A∧y∈B）∨（x∈A∧y∈C）

∈A×B∨∈A×C

∈（A×B）∪（A×C）

所以有A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C）.

例3

（1）证明A=BC=DAC=BD

（2）AC=BD是否推出A=BC=D?

为什么？

解

（1）任取

ACxAyC

xByDBD

（2）不一定.反例如下：

A={1}，B={2},C=D=,则AC=BD但是AB.

二元关系的定义

定义设A,B为集合,A×B的任何子集所定义的二元

关系叫做从A到B的二元关系,当A=B时则叫做A上

的二元关系.

例4A={0,1},B={1,2,3},R1={<0,2>},R2=A×B,R3=,R4={<0,1>}.那么R1,R2,R3,R4是从A到B

的二元关系,R3和R4同时也是A上的二元关系.

计数

|A|=n,|A×A|=n2,A×A的子集有个.所以A上有

个不同的二元关系.

例如|A|=3,则A上有=512个不同的二元关系.

设A为任意集合，

是A上的关系，称为空关系

EA,IA分别称为全域关系与恒等关系，定义如下：

EA={|x∈A∧y∈A}=A×A

IA={|x∈A}

例如,A={1,2},则

EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}

IA={<1,1>,<2,2>}

小于等于关系LA,整除关系DA,包含关系R定义：

LA={|x,y∈A∧x≤y},AR，R为实数集合

DB={|x,y∈B∧x整除y},

BZ*,Z*为非0整数集

R={|x,y∈A∧xy},A是集合族.

类似的还可以定义大于等于关系,小于关系,大于关系,真包含关系等等.

例如A={1,2,3},B={a,b},则

LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}

DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}

A=P（B）={,{a},{b},{a,b}},则A上的包含关系是

R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,

<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}

二元关系的表示

表示方式：

关系的集合表达式、关系矩阵、关系图

关系矩阵：

若A={a1,a2,…,am}，B={b1,b2,…,bn}，R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR=[rij]mn,其中rij=1R.

关系图：

若A={x1,x2,…,xm}，R是从A上的关系，R的关系图是GR=,其中A为结点集，R为边集.如果属于关系R，在图中就有一条从xi到xj的有向边.

注意：

A,B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系

A={1,2,3,4},

R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},

R的关系矩阵MR和关系图GR如下：

4.2关系的运算

基本运算定义：

定义域、值域和域

domR={x|y（R）}

ranR={y|x（R）}

fldR=domRranR

例1R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>},则

domR={1,2,4}

ranR={2,3,4}

fldR={1,2,3,4}

逆与合成

R1={|R}

R∘S=||y（RS）}

例2R={<1,2>,<2,3>,<1,4>,<2,2>}

S={<1,1>,<1,3>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}

R1={<2,1>,<3,2>,<4,1>,<2,2>}

R∘S={<1,3>,<2,2>,<2,3>}

S∘R={<1,2>,<1,4>,<3,2>,<3,3>}

定义F在A上的限制

F↾A={|xFyxA}

A在F下的像

F[A]=ran（F↾A）

实例R={<1,2>,<2,3>,<1,4>,<2,2>}

R↾{1}={<1,2>,<1,4>}

R[{1}]={2,4}

R↾=

R[{1,2}]={2,3,4}

注意：

F↾AF,F[A]ranF

基本运算的性质

定理1设F是任意的关系,则

（1）（F1）1=F

（2）domF1=ranF,ranF1=domF

证

（1）任取,由逆的定义有

∈（F1）1∈F1∈F

所以有（F1）1=F

（2）任取x,

x∈domF1y（∈F1）

y（∈F）x∈ranF

所以有domF1=ranF.同理可证ranF1=domF.

定理2设F,G,H是任意的关系,则

（1）（F∘G）∘H=F∘（G∘H）

（2）（F∘G）1=G1∘F1

证

（1）任取,

（F∘G）∘Ht（∈F∘G∧∈H）

t（s（∈F∧∈G）∧∈H）

ts（∈F∧∈G∧∈H）

s（∈F∧t（∈G∧∈H））

s（∈F∧∈G∘H）

∈F∘（G∘H）

所以（F∘G）∘H=F∘（G∘H）

（2）任取,

∈（F∘G）1

∈F∘G

t（∈F∧（t,x）∈G）

t（∈G1∧（t,y）∈F1）

∈G1∘F1

所以（F∘G）1=G1∘F1

幂运算

设R为A上的关系,n为自然数,则R的n次幂定义为：

（1）R0={|x∈A}=IA

（2）Rn+1=Rn∘R

注意：

对于A上的任何关系R1和R2都有

R10=R20=IA

对于A上的任何关系R都有

R1=R

性质：

定理3设A为n元集,R是A上的关系,则存在自然数s和t,使得Rs=Rt.

证R为A上的关系,由于|A|=n,A上的不同关系只有个.

当列出R的各次幂

R0,R1,R2,…,,…,

必存在自然数s和t使得Rs=Rt.

定理4设R是A上的关系,m,n∈N,则

（1）Rm∘Rn=Rm+n

（2）（Rm）n=Rmn

证用归纳法

（1）对于任意给定的m∈N,施归纳于n.

若n=0,则有

Rm∘R0=Rm∘IA=Rm=Rm+0

假设Rm∘Rn=Rm+n,则有

Rm∘Rn+1=Rm∘（Rn∘R）=（Rm∘Rn）∘R=Rm+n+1,

所以对一切m,n∈N有Rm∘Rn=Rm+n.

（2）对于任意给定的m∈N,施归纳于n.

若n=0,则有

（Rm）0=IA=R0=Rm×0

假设（Rm）n=Rmn,则有

（Rm）n+1=（Rm）n∘Rm=（Rmn）∘Rm=Rmn+m=Rm（n+1）

所以对一切m,n∈N有（Rm）n=Rmn.

4.3关系的性质

自反性

反自反性

定义设R为A上的关系, 

（1）若x（x∈A→R）,则称R在A上是自反的.

（2）若x（x∈A→R）,则称R在A上是反自反的.

实例：

反关系：

A上的全域关系EA,恒等关系IA

小于等于关系LA,整除关系DA

反自反关系：

实数集上的小于关系

幂集上的真包含关系

例1A={1,2,3},R1,R2,R3是A上的关系,其中

R1＝{<1,1>,<2,2>}

R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}

R3＝{<1,3>}

R2自反,

R3反自反,

R1既不是自反也不是反自反的

对称性

反对称性

定义设R为A上的关系, 

（1）若xy（x,y∈A∧∈R→∈R）,则称R为A上对称的关系.

（2）若xy（x,y∈A∧∈R∧∈R→x=y）,则称R为A上的反对称关系.

实例：

对称关系：

A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系

反对称关系：

恒等关系IA，空关系是A上的反对称关系.

例2设A＝{1,2,3},R1,R2,R3和R4都是A上的关系,

其中

R1＝{<1,1>,<2,2>}，R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>}

R3＝{<1,2>,<1,3>}，R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}

R1对称、反对称.

R2对称，不反对称.

R3反对称，不对称.

R4不对称、也不反对称.

传递性

定义设R为A上的关系,若xyz（x,y,z∈A∧∈R∧∈R→∈R）,

则称R是A上的传递关系.

实例：

A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系

小于等于关系,小于关系，整除关系，包含关系，

真包含关系

例3设A＝{1,2,3},R1,R2,R3是A上的关系,其中

R1＝{<1,1>,<2,2>}

R2＝{<1,2>,<2,3>}

R3＝{<1,3>}

R1和R3是A上的传递关系

R2不是A上的传递关系

关系性质的充要条件

设R为A上的关系,则

（1）R在A上自反当且仅当IAR

（2）R在A上反自反当且仅当R∩IA=

（3）R在A上对称当且仅当R=R1

（4）R在A上反对称当且仅当R∩R1IA

（5）R在A上传递当且仅当RRR

证明模式证明R在A上自反

任取x,

xA……………..….…….R

前提推理过程结论

例4证明若IAR，则R在A上自反.

证任取x,

xAIAR

因此R在A上是自反的.

证明模式证明R在A上对称

任取

R……………..….…….R

前提推理过程结论

例5证明若R=R1,则R在A上对称.

证任取

RR1R

因此R在A上是对称的.

证明模式证明R在A上反对称

任取

RR………..……….x=y

前提推理过程结论

例6证明若R∩R1IA,则R在A上反对称.

证任取

RRRR1

R∩R1IAx=y

因此R在A上是反对称的.

证明模式证明R在A上传递

任取，

RR…..……….R

前提推理过程结论

例7证明若RRR,则R在A上传递.

证任取，

RRRRR

因此R在A上是传递的.

4.4关系的闭包

闭包定义

定义设R是非空集合A上的关系,R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R,使得R满足以下条件：

（1）R是自反的（对称的或传递的）

（2）RR

（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R有RR.一般将R的自反闭包记作r（R）,对称闭包记作s（R）,传递闭包记作t（R）.

闭包的构造方法

定理1设R为A上的关系,则有

（1）r（R）=R∪R0

（2）s（R）=R∪R1

（3）t（R）=R∪R2∪R3∪…

说明：

对于有穷集合A（|A|=n）上的关系,（3）中的并最多不超过Rn.若R是自反的，则r（R）=R;若R是对称的，则s（R）=R;若R是传递的，则t（R）=R.

设关系R,r（R）,s（R）,t（R）的关系矩阵分别为M,Mr,Ms和Mt,则

Mr=M+E

Ms=M+M’

Mt=M+M2+M3+…

E是和M同阶的单位矩阵,M’是M的转置矩阵.

注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.

设关系R,r（R）,s（R）,t（R）的关系图分别记为G,Gr,Gs,Gt,则Gr,Gs,Gt的顶点集与G的顶点集相等.除了G的边以外,以下述方法添加新边：

考察G的每个顶点,如果没有环就加上一个环，最终得到Gr.考察G的每条边,如果有一条xi到xj的单向边,i≠j,则在G中加一条xj到xi的反方向边，最终得到Gs.考察G的每个顶点xi,找从xi出发的每一条路径，如果从xi到路径中任何结点xj没有边，就加上这条边.当检查完所有的顶点后就得到图Gt.

4.5等价关系和偏序关系

定义设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价关系.设R是一个等价关系,若∈R,称x等价于y,记做x～y. 

实例设A={1,2,…,8},如下定义A上的关系R：

R={|x,y∈A∧x≡y（mod3）}其中x≡y（mod3）叫做x与y模3相等,即x除以3的余数与y除以3的余数相等.

验证模3相等关系R为A上的等价关系,因为

x∈A,有x≡x（mod3）

x,y∈A,若x≡y（mod3）,则有y≡x（mod3）

x,y,z∈A,若x≡y（mod3）,y≡z（mod3）,

则有x≡z（mod3）

自反性、对称性、传递性得到验证

定义设R为非空集合A上的等价关系,x∈A，令

[x]R={y|y∈A∧xRy}

称[x]R为x关于R的等价类,简称为x的等价类,简

记为[x].

实例A={1,2,…,8}上模3等价关系的等价类：

[1]=[4]=[7]={1,4,7}

[2]=[5]=[8]={2,5,8}

[3]=[6]={3,6}

等价类的性质：

定理1设R是非空集合A上的等价关系,则

（1）x∈A,[x]是A的非空子集.

（2）x,y∈A,如果xRy,则[x]=[y].

（3）x,y∈A,如果xy,则[x]与[y]不交.

（4）∪{[x]|x∈A}=A，即所有等价类的并集就是A.

A={1,2,…,8}上模3等价关系的等价类：

[1]=[4]=[7]={1,4,7}，

[2]=[5]=[8]={2,5,8}，

[3]=[6]={3,6}

以上3类两两不交，

{1,4,7}{2,5,8}{3,6}={1,2,…,8}

定义设R为非空集合A上的等价关系,以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集,记做A/R,A/R={[x]R|x∈A}

实例A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为

A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}

A关于恒等关系和全域关系的商集为：

A/IA={{1},{2},…,{8}}

A/EA={{1,2,…,8}}

集合的划分：

定义设A为非空集合,若A的子集族π（πP（A））满足下面条件：

（1）π

（2）xy（x,y∈π∧x≠y→x∩y=）

（3）∪π=A

则称π是A的一个划分,称π中的元素为A的划分块.

例1设A＝{a,b,c,d},

给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：

π1={{a,b,c},{d}}，π2={{a,b},{c},{d}}

π3={{a},{a,b,c,d}},π4={{a,b},{c}}

π5={,{a,b},{c,d}},π6={{a,{a}},{b,c,d}}

则π1和π2是A的划分,其他都不是A的划分.

为什么？

等价关系与划分的一一对应

商集A/R就是A的一个划分

不同的商集对应于不同的划分

任给A的一个划分π,如下定义A上的关系R：

R={|x,y∈A∧x与y在π的同一划分块中}

则R为A上的等价关系,且该等价关系确定的商集就是π.

例2给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系

求解思路：

先做出A的所有划分,然后根据划分写

出对应的等价关系.

例3设A={1,2,3,4}，在AA上定义二元关系R：

<,>Rx+y=u+v，

求R导出的划分.

解AA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,2>,

<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<4,1>,

<4,2>,<4,3>,<4,4>}

根据的x+y=2,3,4,5,6,7,8将AA划分成7个

等价类：

（AA）/R={{<1,1>},{<1,2>,<2,1>},

{<1,3>,<2,2>,<3,1>},

{<1,4>,<2,3>,<3,2>,<4,1>},

{<2,4>,<3,3>,<4,2>},

{<3,4>,<4,3>},{<4,4>}}

定义非空集合A上的自反、反对称和传递的关系，称为A上的偏序关系，记作≼.设≼为偏序关系,如果∈≼,则记作x≼y,读作x“小于或等于”y.

实例

集合A上的恒等关系IA是A上的偏序关系.

小于或等于关系,整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系.

x与y可比：

设R为非空集合A上的偏序关系,

x,yA,x与y可比x≼y∨y≼x.

结论：

任取两个元素x和y,可能有下述情况：

x≺y（或y≺x）,x＝y,x与y不是可比的.

全序关系：

R为非空集合A上的偏序,x,yA,x与y都是可比的，则称R为全序（或线序）

实例：

数集上的小于或等于关系是全序关系

整除关系不是正整数集合上的全序关系

覆盖：

设R为非空集合A上的偏序关系,x,y∈A,如果x≺y且不存在zA使得x≺z≺y,则称y覆盖x.

实例：

{1,2,4,6}集合上的整除关系,

2覆盖1,

4和6覆盖2.

4不覆盖1.

定义集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集,记作.

实例：

整数集和小于等于关系构成偏序集，幂集P（A）和包含关系构成偏序集.

哈斯图：

利用偏序自反、反对称、传递性简化的关系图

特点：

每个结点没有环，两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前，具有覆盖关系的两个结点之间连边

偏序集的特定元素

定义设为偏序集,BA,y∈B.

（1）若x（x∈B→y≼x）成立,则称y为B的最小元.

（2）若x（x∈B→x≼y）成立,则称y为B的最大元.

（3）若x（x∈B∧x≺y）成立,则称y为B的极小元.

（4）若x（x∈B∧y≺x）成立,则称y为B的极大元.

特殊元素的性质

对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在多个.

最小