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1、离散数学第四章二元关系和函数知识点归纳 集合论部分第四章、二元关系和函数 4.1 集合的笛卡儿积与二元关系有序对 定义 由两个客体 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作实例：点的直角坐标(3,4) 有序对性质 有序性 （当x y时） 与 相等的充分必要条件是= x=u y=v 例1 = ，求 x, y. 解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3 定义 一个有序 n (n3) 元组 是一个有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即 = , xn 当 n=1时, 形式上可以看成有序 1 元组. 实例 n 维向量是有序 n元组. 笛卡儿积及其性质定义

2、 设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作AB， 即 AB = | xA yB 例2 A=1,2,3, B=a,b,c AB =, , BA =, , , A=, P(A)A=, 性质：不适合交换律 ABBA (AB, A, B)不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B)对于并或交运算满足分配律 A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn 证明 A(BC)=(AB)(AC)证 任取 A(BC) xAyBC xA(y

3、ByC) (xAyB)(xAyC) ABAC (AB)(AC)所以有A(BC) = (AB)(AC).例3 (1) 证明 A=B C=D AC=BD (2) AC=BD是否推出 A=B C=D ? 为什么？ 解 (1) 任取 AC xA yC xB yD BD (2) 不一定. 反例如下： A=1，B=2, C=D=, 则 AC=BD 但是 AB. 二元关系的定义定义 设A,B为集合, AB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上的二元关系.例4 A=0,1, B=1,2,3, R1=, R2=AB, R3=, R4=. 那么 R1, R2, R3, R4是从

4、 A 到 B 的二元关系, R3和R4同时也是 A上的二元关系. 计数|A|=n, |AA|=n2, AA的子集有 个. 所以 A上有 个不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系. 设 A 为任意集合，是 A 上的关系，称为空关系EA, IA 分别称为全域关系与恒等关系，定义如下： EA=|xAyA=AA IA=|xA例如, A=1,2, 则 EA=, IA=,小于等于关系 LA, 整除关系DA, 包含关系R定义： LA=| x,yAxy, AR，R为实数集合 DB=| x,yBx整除y, BZ*, Z*为非0整数集 R=| x,yAxy, A是集合族.类似的还

5、可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等. 例如 A = 1, 2, 3, B =a, b, 则 LA=, DA=,A=P(B)=,a,b,a,b, 则 A上的包含关系是 R=, , 二元关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图 关系矩阵：若A=a1, a2, , am，B=b1, b2, , bn，R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = rij mn, 其中 rij = 1 R. 关系图：若A= x1, x2, , xm，R是从A上的关系，R的关系图是GR=, 其中A为结点集，R为边集.如果属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边

6、. 注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系A=1,2,3,4, R=, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：4.2 关系的运算基本运算定义：定义域、值域 和 域 domR = x | y (R) ranR = y | x (R) fldR = domR ranR 例1 R=, 则 domR=1, 2, 4 ranR=2, 3, 4 fldR=1, 2, 3, 4 逆与合成 R1 = | R RS = | | y (RS) 例2 R=, , , S=, , , , R1=, , , RS =, , SR =, , , 定义 F 在A上的限制

7、FA = | xFy xA A 在F下的像 FA = ran(FA) 实例 R=, , , R1=, R1=2,4 R= R1,2=2,3,4注意：FAF, FA ranF 基本运算的性质定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 证 (1) 任取, 由逆的定义有 (F 1)1 F1 F 所以有 (F1)1=F (2) 任取x, xdomF1 y(F1) y(F) xranF 所以有domF1= ranF. 同理可证 ranF1 = domF.定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (FG)H=F(GH) (2) (

8、FG)1= G1F1 证 (1) 任取, (FG)H t(FGH) t (s(FG)H) t s (FGH) s (Ft (GH) s (FGH) F(GH) 所以 (FG)H = F(GH)(2) 任取, (FG)1 FG t (F(t,x)G) t (G1(t,y)F1) G1F1 所以 (FG)1 = G1F1 幂运算设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂定义为： (1) R0= | xA =IA (2) Rn+1 = RnR 注意： 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R 性质：定理3 设A为n元集, R

9、是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 Rs = Rt.证 R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的不同关系只有 个. 当列出 R 的各次幂 R0, R1, R2, , , , 必存在自然数 s 和 t 使得 Rs=Rt.定理4 设 R 是 A 上的关系, m, nN, 则 (1) RmRn=Rm+n (2) (Rm)n=Rmn 证 用归纳法 (1) 对于任意给定的mN, 施归纳于n.若n=0, 则有 RmR0=RmIA=Rm=Rm+0 假设RmRn=Rm+n, 则有 RmRn+1=Rm(RnR)=(RmRn)R=Rm+n+1 , 所以对一切m, nN有RmRn=Rm+n. (2)

10、 对于任意给定的 mN, 施归纳于n.若n=0, 则有 (Rm)0=IA=R0=Rm0 假设 (Rm)n=Rmn, 则有 (Rm)n+1=(Rm)nRm=(Rmn)Rm=Rmn+m=Rm(n+1) 所以对一切 m,nN 有 (Rm)n=Rmn. 4.3 关系的性质自反性反自反性定义 设R为A上的关系,(1) 若x(xAR), 则称R在A上是自反的.(2) 若x(xAR), 则称R在A上是反自反的.实例：反关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA 小于等于关系LA, 整除关系DA 反自反关系：实数集上的小于关系 幂集上的真包含关系例1 A=1,2,3, R1, R2, R3是A上的关系, 其中

11、R1, R2, R3 R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的对称性反对称性定义 设R为A上的关系, (1) 若xy(x,yARR), 则称R为A上对称的关系. (2) 若xy(x,yARRx=y), 则称R为A上的反对称关系.实例： 对称关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系 反对称关系：恒等关系IA，空关系是A上的反对称关系. 例2 设A1,2,3, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1,， R2, R3,， R4, R1 对称、反对称. R2 对称，不反对称. R3 反对称，不对称. R4 不对称、也不反对称. 传递性定义 设R为A上的关系, 若

12、 xyz(x,y,zARRR),则称R是A上的传递关系.实例： A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系例3 设A1,2,3, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1, R2, R3R1 和 R3 是A上的传递关系 R2不是A上的传递关系关系性质的充要条件设R为A上的关系, 则 (1) R在A上自反当且仅当 IA R (2) R在A上反自反当且仅当 RIA= (3) R在A上对称当且仅当 R=R1 (4) R在A上反对称当且仅当 RR1IA (5) R在A上传递当且仅当 RRR证明模式 证明R在A上自反 任取x, xA . R

13、 前提 推理过程 结论例4 证明若 IA R ，则 R在A上自反. 证 任取x, xA IA R 因此 R 在 A 上是自反的.证明模式 证明R在A上对称 任取 R . R 前提 推理过程 结论例5 证明若 R=R1 , 则R在A上对称. 证 任取 R R 1 R 因此 R 在 A 上是对称的.证明模式 证明R在A上反对称 任取 RR . x=y 前提 推理过程 结论例6 证明若 RR1IA , 则R在A上反对称. 证 任取 R R R R 1 RR 1 IA x=y 因此 R 在 A 上是反对称的.证明模式 证明R在A上传递 任取， RR . R 前提 推理过程 结论例7 证明若 RRR ,

14、 则R在A上传递. 证 任取， R R RR R 因此 R 在 A 上是传递的.4.4 关系的闭包闭包定义定义 设R是非空集合A上的关系, R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R, 使得R满足以下条件：（1）R是自反的（对称的或传递的）（2）RR（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系 R 有 RR. 一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递闭包记作 t(R). 闭包的构造方法定理1 设R为A上的关系, 则有 (1) r(R) = RR0 (2) s(R) = RR1 (3) t(R) = RR2R3说明： 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3

15、)中的并最多 不超过 Rn. 若 R是自反的，则 r(R)=R; 若R是对称的，则 s(R)=R; 若R是传递的，则 t(R)=R. 设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr, Ms 和 Mt , 则 Mr = M + E Ms = M + M Mt = M + M2 + M3 + E 是和 M 同阶的单位矩阵, M是 M 的转置矩阵. 注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, Gr, Gs, Gt , 则Gr, Gs, Gt 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了G 的边以外, 以下述方法添加新边：

16、 考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环，最终得到Gr . 考察G的每条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边, ij, 则在G中加一条 xj 到 xi 的反方向边，最终得到Gs. 考察G的每个顶点 xi, 找从 xi 出发的每一条路径，如果从 xi 到路径中任何结点 xj 没有边，就加上这条边. 当检查完所有的顶点后就得到图Gt . 4.5 等价关系和偏序关系定义 设 R 为非空集合上的关系. 如果 R 是自反的、对称的和传递的, 则称 R 为 A 上的等价关系. 设 R 是一个等价关系, 若R, 称 x 等价于y, 记做 xy.实例 设 A=1,2,8, 如下定义A上的关系 R：R

17、 = | x,yAxy(mod 3) 其中 xy(mod 3) 叫做 x 与 y 模3相等, 即 x 除以3的余数与 y 除以3的余数相等. 验证模 3 相等关系 R 为 A上的等价关系, 因为 xA, 有x x(mod 3) x, yA, 若 x y(mod 3), 则有 y x(mod 3) x, y, zA, 若x y(mod 3), y z(mod 3), 则有 xz(mod 3)自反性、对称性、传递性得到验证定义 设R为非空集合A上的等价关系, xA，令 xR = y | yAxRy 称 xR 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简记为x. 实例 A= 1, 2, ,

18、 8 上模 3 等价关系的等价类： 1=4=7=1,4,7 2=5=8=2,5,8 3=6=3,6等价类的性质：定理1 设R是非空集合A上的等价关系, 则 (1) xA, x 是A的非空子集. (2) x, yA, 如果 x R y, 则 x=y. (3) x, yA, 如果 x y, 则 x与y不交. (4) x | xA=A，即所有等价类的并集就是A. A= 1, 2, , 8 上模 3 等价关系的等价类： 1=4=7=1,4,7， 2=5=8=2,5,8， 3=6=3,6 以上3 类两两不交， 1,4,72,5,83,6 = 1,2, ,8定义 设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有

19、等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做A/R, A/R = xR | xA 实例 A=1,2,8,A关于模3等价关系R的商集为 A/R = 1,4,7, 2,5,8, 3,6 A关于恒等关系和全域关系的商集为： A/IA = 1,2, ,8 A/EA = 1, 2, ,8 集合的划分：定义 设A为非空集合, 若A的子集族(P(A) 满足下面条件： (1) (2) xy (x,yxyxy=) (3) =A 则称是A的一个划分, 称中的元素为A的划分块. 例1 设Aa, b, c, d, 给定1,2,3,4,5,6如下： 1= a, b, c, d ， 2= a, b, c, d 3= a

20、, a, b, c, d , 4= a, b, c 5= ,a, b, c, d , 6= a, a, b, c, d 则1和2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分. 为什么？ 等价关系与划分的一一对应商集 A/R 就是 A 的一个划分 不同的商集对应于不同的划分 任给 A 的一个划分, 如下定义 A 上的关系 R： R = | x,yAx 与 y 在的同一划分块中则 R 为 A上的等价关系, 且该等价关系确定的商集就是. 例2 给出A1,2,3上所有的等价关系求解思路：先做出A的所有划分, 然后根据划分写出对应的等价关系. 例3 设 A=1, 2, 3, 4，在 AA上定义二元关系R： ,

21、R x+y = u+v，求 R 导出的划分. 解 AA=, , , , , , , , , , , , , 根据 的 x + y = 2,3,4,5,6,7,8 将AA划分成7个等价类： (AA)/R= , , , , , , , , , , , , , , 定义 非空集合A上的自反、反对称和传递的关系，称为A上的偏序关系，记作. 设为偏序关系, 如果, 则记作 xy, 读作 x“小于或等于”y. 实例 集合A上的恒等关系 IA 是A上的偏序关系. 小于或等于关系, 整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系. x与 y 可比：设R为非空集合A上的偏序关系, x,yA, x与y可比 xy yx

22、.结论：任取两个元素x和y, 可能有下述情况： xy (或yx), xy, x与y不是可比的.全序关系： R为非空集合A上的偏序, x,yA, x与 y 都是可比的，则称 R 为全序（或 线序）实例：数集上的小于或等于关系是全序关系 整除关系不是正整数集合上的全序关系覆盖：设R为非空集合A上的偏序关系, x, yA, 如果 x y且不存在 zA 使得 x z y, 则称 y 覆盖x.实例： 1, 2, 4, 6 集合上的整除关系, 2 覆盖 1, 4 和 6 覆盖 2. 4 不覆盖 1. 定义 集合A和A上的偏序关系一起叫做偏序集, 记作 .实例：整数集和小于等于关系构成偏序集，幂集P(A)和包含关系构成偏序集. 哈斯图：利用偏序自反、反对称、传递性简化的关系图特点：每个结点没有环，两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前，具有覆盖关系的两个结点之间连边偏序集的特定元素定义 设为偏序集, BA, yB.(1) 若x(xByx) 成立, 则称 y 为 B 的最小元.(2) 若x(xBxy) 成立, 则称 y 为 B 的最大元. (3) 若x (xBx y) 成立, 则称 y 为B的极小元. (4) 若x (xBy x) 成立, 则称 y 为B的极大元.特殊元素的性质对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在 多个. 最小