中考数学复习《相似》专项综合练习含答案doc.docx

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中考数学复习《相似》专项综合练习含答案

一、相似

1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点

的直线y=﹣x﹣1交于点C．

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？

若存在，求出点

P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：

是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）解：

把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得

解得

∴抛物线解析式为：

y=x2-x-1

∴抛物线对称轴为直线x=-

＝1

（2）解：

存在

使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小

∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连

点．

设过点C′、O直线解析式为：

y=kx

C′O与直线

x=1

的交点即为

P

∴k=-

∴y=-x

则P点坐标为（1，-）

（3）解：

当△AOC∽△MNC时，

如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°

∴∠CDN=∠CAO

由相似，∠CAO=∠CMN

∴∠CDN=∠CMN

∵MN⊥AC

∴M、D关于AN对称，则N为DM中点

设点N坐标为（a，-a-1）

由△EDN∽△OAC

∴ED=2a

∴点D坐标为（0，-

a-1）

∵N为DM中点

∴点M坐标为（2a，a-1）

把M代入y=x2-x-1，解得

a=4

则N点坐标为（4，-3）

当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N

由

（2）N（2，-1）

∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）

【解析】【分析】

（1）根据点A、B的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴即可解答。

（2）使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小，取点C（0，-1）关于直线x=1的对

称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点，利用待定系数法求出直线C′O的解

析式，再求出点P的坐标。

（3）分情况讨论：

当△AOC∽△MNC时，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于

点E，由∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°得出∠CDN=∠CAO，再证明∠CDN=∠CMN，根

据MN⊥AC，可得出M、D关于AN对称，则N为DM中点，设点N坐标为（a，-a-

1），根据△EDN∽△OAC，得出点D、M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式

求出a的值，即可得出点N的坐标；当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM，得出CM∥AB

则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N，就可求出点N的坐标。

2．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a，b的值；

（2）如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边

向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动

时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点

D处，得到△DEF.

①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？

若存在，求出t的值；若不存在，请

说明理由；

②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

【答案】

（1）解：

由题意得：

，解得：

a=，b=

（2）解：

①由

（1）知二次函数为

（0，﹣2），

∴OA=4，OB=1，OC=2，∴AB=5，AC=

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90．°

，BC=

.∵A（4，0），∴B（﹣1，0），C

，∴AC2+BC2=25=AB2，

∵AE=2t，AF=t，∴.

又∵∠EAF=∠CAB，

∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90，°

∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；

由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=AE=t．

假设△DCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：

ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图

2，

∴AE=AB=t=÷2=；

ⅱ）若D为直角顶点，如图3．

∵∠CDF=90，°∴∠ODC+∠EDF=90．°

∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90，°

∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．

∵OC⊥BD，

∴OD=OB=1，

∴AD=3，

∴AE=，

∴t=；

当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形．

综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=或t=．

2；

②ⅰ）当0＜t≤时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，∴S=×2t×t=t

ⅱ）当＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，过点G作GH⊥BE于H，

设GH=m，则BH=，DH=2m，∴DB=．

∵DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴=4t﹣5，∴m=（4t﹣5），

△DEF﹣S△DBG=×2t﹣×t（4t﹣5）×（4t﹣5）=

；

∴S=S

ⅲ）当2＜t≤时，重叠部分为△BEG，如图5．

∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），

∴S=×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．

综上所述：

．

【解析】【分析】

（1）根据已知抛物线的图像经过点

A，以及当x=-2和x=5时二次函数的

函数值y相等两个条件，列出方程组求出待定系数的值即可。

（2）①由x=0及y=0时，求出点A、B、C三点的坐标，以及线段

OA、OB、OC的长，利

用勾股定理的逆定理证明

△ABC是直角三角形，用含

t的代数式表示出线段

AD、AE、AF

（即DF）的长，则根据

AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相

似，可证得△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角三角形，可分成

三种情况讨论：

i）点C为直角顶点，由于

△ABC恰好是直角三角形，且以点

C为直角顶点，所以此时点

B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；

ii）点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得

OB=OD，再得

到AD的长后可求出t的值；

iii）、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．

②此题需要分三种情况讨论：

i）当点E在点A与线段AB中点之间时，即当0＜t≤，两个三角形的重叠部分是整个

△DEF；

ii）当点E在线段AB中点与点O之间时，即＜t≤2时，重叠部分是个不规则四边形，根据

S=S△DEF﹣S△DBG可求解。

iii）当点E在线段OB上时，即2＜t≤时，重叠部分是个小直角三角形，根据三角形的面积公式，即可求解。

3．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．

（1）①求证：

AP=CQ；②求证：

PA2=AF?

AD；

（2）若AP：

PC=1：

3，求tan∠CBQ．

【答案】

（1）证明：

①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90，°

∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90，°∴∠PBC+∠CBQ=90°∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ;

②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°，

∵∠PQB=45，°∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ，

由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ

∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP，

（本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP）

（2）证明：

由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°，∵∠ACB=45,∴°∠PCQ=45+45°=90°°

∴tan∠CPQ=,

由①得AP=CQ,

又AP:

PC=1:

3，∴tan∠CPQ=由②得∠CBQ=∠CPQ，

，

∴tan∠CBQ=tan∠CPQ=.

【解析】【分析】

（1）①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；②利用正方形的性质可证得∠CBQ=∠CPQ，再由△ABP≌△CBQ可证得∠APF=∠ABP，从而证出△APF∽△ABP，由相似三角形的性质得证；

（2）由△ABP≌△CBQ可得∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可

得tan∠CPQ=，由AP:

PC=1:

3，AP=CQ，可得tan∠CPQ=，再由∠CBQ=∠CPQ可求出答

案.

4．如图，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在

x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设OE=t（t＞0），矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．

根据上述条件，回答下列问题：

（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；

（2）当t=4时，求S的值；

（3）直接写出S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；

（4）若S=12，则t=________．

【答案】

（1）解：

由题意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，

∴△BCD∽△BOA，

∴

而CD＝OE＝t，BC＝8-CO＝8-，OA＝4，

则8-，解得t＝，

∴当点D在直线AB上时，t＝

（2）解：

当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，

则由△CBF∽△OBA得，

即，解得CF=3，

∴S＝OC（OE+CF）＝×2×＝（3+4）7

（3）解：

①当0＜t≤时，S=t2

②当＜t≤4时，S=-t2+10t-16

③当4＜t≤16时，S=t2+2t

（4）8

【解析】【解答】解：

（3）①当0﹤t≤时，如图

（1），

②当

（2），

∵A（4,0），B（0,8）

∴直线AB的解析式为y=-2x+8,

∴G（t,-2t+8）,F（4-,）,

∴DF=t-4,DG=t-8，

∴S=S矩形COED-S△DFG=t·

③当4＜t≤16时，如图（3）

∵CD∥OA，

∴△BCF∽△BOA，

∴

∴,

∴CF=4-,

∴S=S△BOA-S△BCF=

（4）由题意可知把S=12代入S=

t2+2t中,

.t2+2t=12,整理，得t2-32t+192=0.

解得t1=8,t2=24>16（舍去）

当S=12时，t=8

【分析】

（1）首先判断出△BCD∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例得出

BC∶BO=CD∶OA，根据矩形的性质及线段的和差得出

CD＝OE＝t，BC＝8-CO＝8-，OA＝

4，利用比例式即可得出方程，求解得出

t的值；

（2）当t=4时，点E与A重合，设

CD与AB交于点F，则由△CBF∽△OBA得CF：

CB=OA∶OB，根据比例式得出方程，求解得出

CF的长，根据梯形的面积公式即可算出答

案；

（3）①当0﹤t≤时，如图

（1），其重叠部分的面积就是矩形的面积，根据矩形的面积

公式即可得出函数关系式；

②当

2），利用待定系数法，求出直线

AB

的解析式，根据和坐标轴平行的直线上的点的坐标特点及直线上的点的坐标特点分别表示

出G,F的坐标，进而表示出

DF的长，DG的长，根据

S=S矩形COED-S△DFG即可得出函数关系

式；③当4＜t≤16时，如图（3）根据矩形的性质得出

CD∥OA，根据平行于三角形一边的

直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出

△BCF∽△BOA，由相似三角形的对

应边成比例得出BC：

BO=CF：

OA,根据比例式表示出

CF的长，再根据S=SBOA

BCF

即可得

△

-S

△

出函数关系式。

5．在平面直角坐标系中，抛物线

（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点

D（0，3），过顶点

C作

与轴的两个交点分别为

CH⊥x轴于点H.

A

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与

△ACD面积相等时，求点E的坐标；

（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂

线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标.

【答案】

（1）解：

设抛物线的解析式为，

∵抛物线过点A（-3，0）,B（1，0），D（0，3），

∴

∴抛物线解析式为

，解得，

a=-1，b=-2，c=3，

，顶点C（-1,4）；

（2）解：

如图1，∵A（-3，0），D（0，3）,

∴直线AD的解析式为y=x+3，

设直线AD与CH交点为F，则点F的坐标为（-1，2）

∴CF=FH，

分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点

E，

由平行间距离处处相等，平行线分线段成比例可知，

△ADE与△ACD面积相等，

∴直线EC的解析式为y=x+5，

直线EH的解析式为y=x+1，

分别与抛物线解析式联立，得，，

解得点E坐标为（-2，3），，；

（3）解：

①若点P在对称轴左侧（如图2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH，

∴，

分别过点C、P作x轴的平行线，过点

Q作

y轴的平行线，交点为

M和

N，

由△CQM∽△QPN，

得

=2，

∵∠MCQ=45°，

设CM=m，则MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m，∴P点坐标为（-m-1，4-3m），

将点P坐标代入抛物线解析式，得

解得m=3，或m=0（与点C重合，舍去）

，

∴P点坐标为（-4，-5）；

②若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH，

∴

延长

过点

CD交

M作

，

x轴于M，∴M（3，0）

CM垂线，交CP延长线于点

F，作

FN

x轴于点

N，

∴，

∵∠MCH=45°，CH=MH=4

∴MN=FN=2，

∴F点坐标为（5，2），

∴直线CF的解析式为y=，

联立抛物线解析式，得，解得点P坐标为（，），

综上所得，符合条件的

P点坐标为（-4，-5），（

，）.

【解析】【分析】

（1）将A（-3，0）、B（1，0）、D（0，3），代入y=ax2+bx+3

求出即

可；

（2）求出直线AD的解析式，分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点

E，利用

△ADE与△ACD面积相等，得出直线

EC和直线EH的解析式，联立出方程组求解即可;（3）

（3）分两种情况讨论：

①点P在对称轴左侧；

②点P在对称轴右侧.

6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s的速

度沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以

1cm/s

的速度沿

BC边向点

C

运

动，设点E运动的时间为t（单位：

s）（0＜t＜8）.

（1）当△BDE是直角三角形时，求t的值；

（2）若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，

于t的函数关系式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形

的值；若不存在，请说明理由.

①设它的面积为S，求S关

CDEF为菱形?

若存在，求出t

【答案】

（1）解：

如图1，当∠BED=90°时，△BDE是直角三角形，

则BE=t，AC+AD=2t，

∴BD=6+10-2t=16-2t，∵∠BED=∠C=90，°

∴DE∥AC，

∴，

∴，

∴DE=，

∵sinB=，

∴，

t=；

如图2，当∠EDB=90°时，△BDE是直角三角形，

则BE=t，BD=16-2t，

cosB=，

∴，

∴t=；

答：

当△BDE是直角三角形时，t的值为或

（2）解：

①如图3，当0＜t≤3时，BE=t，CD=2t，CE=8-t，

∴S?

CDEF=2S△CDE=2××2t（×8-t）=-2t2+16t，

如图4，当3＜t＜8时，BE=t，CE=8-t，过D作DH⊥BC，垂足为H，

∴DH∥AC，

∴，

∴，

∴DH=，

∴S

=2××CE×DH=CE×（DH=8-t）×

=t

-t+；

?

CDEF=2S△CDE

2

∴S于t的函数关系式为：

当

0＜t≤3时，S=-2t2+16t，

当3＜t＜8时，S=t2-t+；

②存在，如图5，当?

CDEF为菱形时，DH⊥CE，

由CD=DE得：

CH=HE，

BH=，BE=t，EH=，

∴BH=BE+EH，

∴=t+，

∴t=，

即当t=时，?

CDEF为菱形．

【解析】【分析】

（1）因为△BDE是直角三角形有两种情况：

①当∠BED=90°时，可得DE∥AC，根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延

长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得,于是可得比例式将

DE

用含t的代数式表示，再根据sinB=可得关于t的方程，解方程即可求解；

②当∠EDB=90°时，同理可求解；

（2）①当0＜t≤3时，S?

CDEF=2S△CDE

可得

s与

t

的关系式；

当3＜t＜8时，过

D

作

DH⊥BC，垂足为

H，根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所

构成的三角形与原三角形相似可得

于是可得比例式将

DH用含t的代数式

表示，则S?

CDEF=2S△CDE可得s与t的关系式；当3＜t＜8时，同上；

②存在，当?

CDEF为