胡寿松自动控制原理习题解答第三章.docx

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胡寿松自动控制原理习题解答第三章

3-1设随动系统的微分方程为：

T&x&0+x&0=K2u

u=K1[r（t）−xf]

Tfx&f

+xf

=x0

其中T,Tf,K2为正常数。

如果在外作用r（t）=1+t的情况下，使x0对r（t）的稳态误差不大于正

常数

∑0,试问k1应满足什么条件？

见习题3-20解答

3-2设系统的微分方程式如下：

（1）

0.2c&（t）=2r（t）

（2）0.04c&（t）+0.24c&（t）+c（t）=r（t）

试求系统的单位脉冲响应k（t）和单位阶跃响应h（t）。

已知全部初始条件为零。

解：

（1）因为0.2sC（s）=2R（s）

单位脉冲响应：

C（s）=10/s

k（t）=10

t≥0

单位阶跃响应h（t）C（s）=10/s2

（2）（0.04s2+0.24s+1）C（s）=R（s）

h（t）=10t

C（s）=

t≥0

R（s）

0.04s2+0.24s+1

单位脉冲响应：

C（s）=

0.04s2

1

+0.24s+1

k（t）=

25e

3

−3t

sin4t

单位阶跃响应h（t）

C（s）=

=

−

251

2

s+6

2

s[（s+3）

h（t）=1−e−3tcos4t−3e−3tsin4t

4

+16]

s（s+3）

+16

3-3已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数Φ（ｓ）。

（1）k（t）=0.0125e−1.25t

（2）k（t）=5t+10sin（4t+450）

（3）　k（t）=0.1（1−e−t/3）　

解：

（1）√（s）=

0.0125

s+1.25

（2）k（t）=5t+10sin4tcos450+10cos4tsin450

√（s）=5+5

s2

24+5

s2+16

2s=5+5

s2+16s2

2s+4

s2+16

（3）√（s）=

0.1−

s

0.1

s+1/3

3-4已知二阶系统的单位阶跃响应为

　　h（t）=10−12.5e−1.2tsin（1.6t+53.1o）

试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp和调节时间ｔs。

解：

h（t）=1−

1

1−⎩2

e−⎩⎤ntsin（

1−⎩2⎤

nt+®）

®=arccos⎩

⎛%=e

−ð⎩/

1−⎩2

tp=

ð

2

1−⎩⎤n

t=3.5

n

s⎩⎤

⎩=cos®=cos53.10=0.6

⎛%=e

−ð⎩/

1−⎩2

=e−ð0.6/

1−0.62

=e−ð0.6/

1−0.62

=9.5%

tp=

ð

n

1−⎩2⎤

=ð

1.6

=1.96（s）

ts=

3.5

⎩⎤n

=3.5=2.92（s）

1.2

3-5设单位反馈系统的开环传递函数为

G（s）=

0.4s+1

s（s+0.6）

试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。

解：

闭环传递函数

GB（s）=

G（s）=

0.4s+1

=

s（s+0.6）

0.4s+1

2

1+G（s）

1+0.4s+1

s+s+1

s（s

+0.6）

C（s）=G

（s）R（s）=1

0.4s+1=

0.4+1

Bss2+s+1

s2+s+1

s（s2+s+1）

=0.4

s2+s+1

+1−

s

s+1

s2+s+1

=1−

s

s+0.6

s2+s+1

c（t）=1−e−0.5tcos

3t−2⋅0.6e−0.5tsin3t

2

=1−1.22e−0.5tsin（

32

3t+55.30）

2

h（t）=1−

1

1−⎩2

e−⎩⎤ntsin（

1−⎩2⎤

nt+®）

®=arccos⎩

⎛%=e

−ð⎩/

1−⎩2

tp=

ð

2

1−⎩⎤n

t=3.5

n

s⎩⎤

⎩=cos®=cos55.30=0.569

⎛%=e

−ð⎩/

ð

1−⎩2

=11.37%

ð⋅2

tp=

=

n

1−⎩2⎤

=3.63s

3

t=3.5

n

s⎩⎤

=3.5=7s

0.5

3-6已知控制系统的单位阶跃响应为

　h（t）=1+0.2e−60t−1.2e−10t

试确定系统的阻尼比ζ和自然频率ωｎ。

解：

求拉氏变换得

H（s）=1+

s

0.2−

s+60

1.2=

s+10

（s+60）（s+10）+

s（s+60）（s+10）

0.2s（s+10）−

s（s+60）（s+10）

1.2s（s+60）

s（s+60）（s+10）

=600=

600

⎤2

n

n

=n

s（s+60）（s+10）

s（s2+70s+600）

⎤2

s（s2+2⎩⎤

s+⎤2）

n

显然闭环传递函数为n

n

（s2+2⎩⎤

s+⎤2）

n

其中⎤2=600

根据（3-17）

⎤n=106

2⎩⎤n

=70

⎩=7

26

h（t）=1+

e−t/T1

+

T2/T1−1

e−t/T12

T1/T2−1

解：

根据公式（3-17）

h（t）=1+

−t

eT1

−t

eT2

+

T1=

T2/T1−1

1

T1/T2−1

1

T2=

⎤n（⎩−

1

⎩2−1）

⎤n（⎩+

1

⎩2−1）

显然：

T1=

10

T2=

60

T1=⎩+

T2⎩−

⎩2−1

⎩2−1

1+

=6=

1−

1−1

⎩2

1−1

⎩2

解方程得⎩=7

26

由T1=

⎤n（⎩−

1=1

⎩2−1）10

得到⎤n（⎩−⎩

2

−1）=10

所以⎤n=

⎩−

10=

⎩2−1

10

7−49−1

2624

=10⋅2

2

6=106

3-7设图3-42是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数K１和Kt，使系统ωｎ＝６、ζ

＝１。

解：

系统开环传递函数

25K1

图3-42飞行控制系统

G0（s）=

s（s+0.8）

1+25K1

s（s+0.8）

25K

Kts

=25K1

s（s+0.8）+25K1Kts

⎤2

=1=n

s（s+0.8+25K1Kt）

s（s+2⎩⎤n）

n

1

⎤2=36=25K

K=36

125

2⎩⎤n=0.8+25K1Kt=12

14

所以Kt=

45

3-8试分别求出图3-43各系统的自然频率和阻尼比，并列表比较其动态性能。

r（t）

1S2

c（t）

r（t）

1+s

1S2

c（t）

r（t）

1S2

c（t）

---

+

S

（a）

（b）+

（c）

解：

（a）⎤n=1

⎩=0

s+1

图3-43控制系统

系统临界稳定。

（b）√（s）=

（c）√（s）=

s2+s+1

s+1

s2+s+1

⎤n=1

⎤n=1

⎩=0.5

⎩=0.5

⎛%=29.8%

⎛%=16.3%

ts=7.51s

ts=8.08s

3-9设控制系统如图3-44所示。

要求：

图3-44控制系统　

（1）取τ1＝０，τ2＝０.１，计算测速反馈校正系统的超调量、调节时间和速度误差；　

（2）取τ1＝０.１，τ２＝０，计算比例-微分校正系统的超调量、调节时间和速度误差。

解：

（1）系统开环传递函数

10

G（s）=（1+⎜s）

1

s（s+1）

10⎜2s

=10（1+⎜1s）=

s（s+1）+10⎜2s

10=

s（s+2）

2

⎤

n

s（s+2⎩⎤n）

0

n

⎤2=10

1

+

⎤n=

s（s+1）

10

2⎩⎤n=2

⎩=1

10

⎛%=e

−⎩ð/

1−⎩2

=35.1%

t=3.5

n

s⎩⎤

=3.5s

KV=5

（2）

3-10图3-45所示控制系统有（a）和（b）两种不同的结构方案，其中T＞0不可变。

要求：

（1）在这两种方案中，应如何调整K1，K2和K3，才能使系统获得较好的动态性能。

比较说明两种结构方案的特点。

解：

3-11已知系统特征方程为

3s4+10s3+5s2+s+2=0

试用劳思稳定判据和赫尔维茨判据确定系统的稳定性。

解：

列劳思表如下：

s4352

s3101

s2472

10

s1−15300

47

s02

由劳思表可以得到该系统不稳定。

3-12已知系统特征方程如下，试求系统在s右半平面的根数及虚根值。

（1）

s5+3s4+12s3+24s2+32s+48=0

（2）

s6+4s5−4s4+4s3-7s2-8s+10=0

（3）

s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0

解：

（1）列劳思表如下：

s511232

s432448

s3416s21248s1

s0

有一对虚根，系统不稳定

（2）列劳思表如下：

s61−4

s544

s4−5−5

s3s2s1

s0

−710

−8

10

系统不稳定

（3）列劳思表如下：

s511235

s432025

s31680

33

s2525

s110

s025

有一对虚根，系统不稳定

3-13已知单位反馈系统的开环传递函数

K（0.5s+1）

　　G（s）=

s（s+1）（0.5s2+s+1）

试确定系统稳定时的K值范围。

解：

系统特征方程为

s（s+1）（0.5s2+s+1）+K（0.5s+1）=0

将上述方程化简得到：

0.5s4+1.5s3+2s2+（1+0.5K）s+K=0

劳思表如下：

s4

s3

0.5

1.5

2K

1+0.5K

s22.5−0.25KK

2

1.5

s12.5−1.25K−0.125K

2.5−0.25K

s0K

3-14已知系统结构图如图3-46所示。

试用劳思稳定判据确定能使系统稳定反馈参数⎜的取

值范围。

解：

系统开环传递函数为

10

G0（s）

=（1

+1）

s

s（s+1）

1+10⎜s

=s+1

s

10

s（s+1）+10⎜s

=10s+10

s3+（1+10⎜）s2

s（s+1）

系统特征方程为：

s3+（1+10⎜）s2+10s+10=0

劳思表如下：

s3110

s21+10⎜10

s110⎜

1+10⎜

s010

所以能使系统稳定反馈参数⎜的取值范围为⎜>0

3-15已知单位反馈系统的开环传递函数　

100

（1）

G（s）=

（0.1s+1）（s+5）

（２）

G（s）=

50

s（0.1s+1）（s+5）

（３）

G（s）=

10（2s+1）

s2（s2+6s+100）

试求输入分别为

r（t）=2t和

r（t）=2+2t+t2时，系统的稳态误差。

解：

（1）因为是二阶系统，且系数大于零，所以系统稳定。

Kp=limG（s）=20

s→0

KV=limsG（s）=0

s→0

K=lims2G（s）=0

as→0

所以当r（t）=2t时

R2

ess==∞

KV

当r（t）=2+2t+t2

ess

=R1

1+Kp

+R2

KV

+R3=∞

Ka

（2）应先检查系统的稳定性。

Kp=limG（s）=∞

s→0

KV=limsG（s）=10

s→0

K=lims2G（s）=0

as→0

所以当r（t）=2t时

e=R2=0.2

ss

K

V

当r（t）=2+2t+t2

ess

=R1

1+Kp

+R2

KV

+R3=∞

Ka

（3）应先检查系统的稳定性。

Kp=limG（s）=∞

s→0

KV=limsG（s）=∞

s→0

K=lims2G（s）=0.1

as→0

所以当r（t）=2t时

e=R2=0

ss

K

V

当r（t）=2+2t+t2

ess

=R1

1+Kp

+R2

KV

+R3

Ka

=20

3-16已知单位反馈系统的开环传递函数　

50

（1）G（s）=

（0.1s+1）（2s+1）

（２）G（s）=

K

s（s2+4s+200）

（３）G（s）=

10（2s+1）（4s+1）

s2（s2+2s+10）

试求位置误差系数Kｐ，速度误差系数Kｖ，加速度误差系数Kａ。

解：

（1）应先检查系统的稳定性。

Kp=limG（s）=50

s→0

KV=limsG（s）=0

s→0

K=lims2G（s）=0

as→0

（2）应先检查系统的稳定性。

Kp=limG（s）=∞

s→0

KV=limsG（s）=

s→0

K

200

K=lims2G（s）=0

as→0

（3）应先检查系统的稳定性。

Kp=limG（s）=∞

s→0

KV=limsG（s）=∞

s→0

K=lims2G（s）=1

as→0

3-17设单位反馈系统的开环传递函数为G（s）=1/Ts。

试用动态误差系统法求出当输入信

号分别为r（t）=t2/2和r（t）=sin2t时，系统的稳态误差。

3-18设控制系统如图3-47所示。

其中

KG（s）=Kp+

s

F（s）=1

Js

输入r（t）以及扰动n1（t）和n2（t）均为单位阶跃函数。

试求：

（1）在r（t）作用下系统的稳态误差

（2）在n1（t）作用下系统的稳态误差

（3）在n1（t）和n2（t）同时作用下系统的稳态误差

解：

（1）在r（t）作用下系统的稳态误差

这时系统的开环传递函数为：

Kps+K

G0（s）=G（s）F（s）=

Js2

系统位置误差系数为KP

=limG（s）=∞

s→0

在r（t）作用下系统的稳态误差e

ssr

=R1=0

1+Kp

（2）在n1（t）作用下系统的稳态误差

这时系统的开环传递函数为：

Kps+K

G0（s）=G（s）F（s）=

Js2

系统位置误差系数为KP

=limG（s）=∞

s→0

在n1（t）作用下系统的稳态误差essn1=

R1=0

1+Kp

（3）在n1（t）和n2（t）同时作用下系统的稳态误差

n2（t）作用下系统的稳态误差

这时系统的开环传递函数为：

Kps+K

G0（s）=G（s）F（s）=

Js2

系统位置误差系数为KP

=limG（s）=∞

s→0

在n2（t）作用下系统的稳态误差essn2=

R1=0

1+Kp

所以在在n1（t）和n2（t）同时作用下系统的稳态误差为

essn=essn1+essn2=0+0=0

3-19设闭环传递函数的一般形式为

√（s）=

G（s）

m

=bms

+bm−1s

m−1

1

0

+L+b1s+b0

1+G（s）H（s）

sn+a

n−1

sn−1+L+as+a

误差定义取e（t）=r（t）−c（t）。

试证：

（1）系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件是：

b0=a0,bi=0（i=1,2,L,m）

（2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件是：

b0=a0,b1=a1,bi=0（i=2,3,L,m）

解：

（1）系统在阶跃信号输入下这时

R（s）=1

m

C（s）=R（s）√（s）=1bms

+bm−1s

m−1

+L+b1s+b0

sssn

+an−1s

n−1

+L+a1s+a0

m

E（s）=R（s）−C（s）=1−1bms

+bm−1s

m−1

+L+b1s+b0

ss

mm−1

sn+a

1

1

n−1

sn−1+L+as+a



=11−bms

+bm−1s

+L+b1s+b0

1

0

0

0



ssn+a

n−1

sn−1+L+as+a

1（sn+a

sn−1+L+as+a

）−（b

sm+b

sm−1+L+bs+b）

=n−1

10m

m−110

ssn+a

n−1

sn−1+L+as+a

1（sn+a

sn−1+L+as）−（b

sm+b

sm−1+L+bs）+（a

−b）

=n−1

1mm−1

100

s

e=lime（t）=limsE（s）

sn+a

1

0

n−1

sn−1+L+as+a

sst→∞

s→0

（sn+a

sn−1+L+as）−（b

sm+b

sm−1+L+bs）+