胡寿松自动控制原理习题解答第三章.docx

1、胡寿松自动控制原理习题解答第三章3-1 设随动系统的微分方程为：T&x&0 + x&0 = K 2 uu = K1 r (t ) x f T f x& f+ x f= x0其中 T,Tf, K2 为正常数。如果在外作用 r(t)=1+t 的情况下，使 x0 对 r(t)的稳态误差不大于正常数 0 ,试问 k1 应满足什么条件？ 见习题 3-20 解答3-2 设系统的微分方程式如下：（1）0.2c&(t) = 2r (t )（2） 0.04c& (t) + 0.24c&(t ) + c(t ) = r (t )试求系统的单位脉冲响应 k(t)和单位阶跃响应 h(t)。已知全部初始条件为零。解：（

2、1） 因为 0.2sC(s) = 2R(s)单位脉冲响应： C(s) = 10 / sk (t) = 10t 0单位阶跃响应 h(t) C(s) = 10 / s 2（2） (0.04s 2 + 0.24s + 1)C(s) = R(s)h(t) = 10tC(s) =t 0R(s)0.04s 2 + 0.24s + 1单位脉冲响应： C (s) =0.04s 21+ 0.24s + 1k (t) =25 e33tsin 4t单位阶跃响应 h(t)C(s) =25 12s + 62s( s + 3)h(t) = 1 e 3t cos 4t 3 e 3t sin 4t4+ 16s (s + 3)

3、+ 163-3 已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数（）。（1） k (t ) = 0.0125e 1.25t（2） k (t ) = 5t + 10 sin(4t + 450 )（3） k (t ) = 0.1(1 e t / 3 ) 解：（1） (s) =0.0125s + 1.25（2） k (t) = 5t + 10 sin 4t cos 450 + 10 cos 4t sin 450(s) = 5 + 5s 22 4 + 5s 2 + 162 s = 5 + 5s 2 + 16 s 22 s + 4s 2 + 16（3） (s) =0.1 s0.1s + 1 / 33-4 已知

4、二阶系统的单位阶跃响应为 h(t ) = 10 12.5e 1.2t sin(1.6t + 53.1o )试求系统的超调量、峰值时间p 和调节时间s。解： h(t) = 1 11 2e n t sin(1 2 n t + ) = arccos % = e /1 2t p =21 nt = 3.5ns = cos = cos 53.10 = 0.6 % = e /1 2= e 0.6 /10.62= e 0.6 /10.62= 9.5%t p =n1 2 = 1.6= 1.96(s)ts =3.5n= 3.5 = 2.92(s)1.23-5 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) =0.4s +

5、 1s(s + 0.6)试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。解：闭环传递函数GB (s) =G(s) =0.4s + 1=s(s + 0.6)0.4s + 121 + G(s)1 + 0.4s + 1s + s + 1s(s+ 0.6)C(s) = G(s)R(s) = 10.4s + 1 =0.4 + 1B s s 2 + s + 1s 2 + s + 1s(s 2 + s + 1)= 0.4s 2 + s + 1+ 1 ss + 1s 2 + s + 1= 1 ss + 0.6s 2 + s + 1c(t) = 1 e 0.5t cos3 t 2 0.6 e 0.5t sin 3 t2=

6、1 1.22e 0.5t sin(3 23 t + 55.30 )2h(t) = 1 11 2e n t sin(1 2 n t + ) = arccos % = e /1 2t p =21 nt = 3.5ns = cos = cos 55.30 = 0.569 % = e /1 2= 11.37% 2t p =n1 2 = 3.63s3t = 3.5ns = 3.5 = 7s0.53-6 已知控制系统的单位阶跃响应为 h(t ) = 1 + 0.2e 60t 1.2e 10t试确定系统的阻尼比和自然频率。解： 求拉氏变换得H (s) = 1 +s0.2 s + 601.2 =s + 10(

7、s + 60)(s + 10) +s(s + 60)(s + 10)0.2s(s + 10) s(s + 60)(s + 10)1.2s(s + 60)s(s + 60)(s + 10)= 600 =600 2nn= n s(s + 60)(s + 10)s(s 2 + 70s + 600) 2s(s 2 + 2s + 2 )n显然闭环传递函数为 n n(s 2 + 2s + 2 )n其中 2 = 600根据（3-17） n = 10 62 n= 70 = 72 6h(t) = 1 +e t / T1+T2 / T1 1e t / T12T1 / T2 1解：根据公式（3-17）h(t) =

8、1 + te T1 te T2+T1 =T2 / T1 11T1 / T2 11T2 = n ( 1 2 1)n ( +1 2 1)显然： T1 =10T2 =60 T1 = +T2 2 1 2 11 += 6 =1 1 1 21 1 2解方程得 = 72 6由 T1 = n ( 1 = 1 2 1) 10得到 n ( 2 1) = 10所以 n = 10 = 2 1107 49 12 6 24= 10 226 = 10 63-7 设图 3-42 是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数 K和 Kt，使系统、。解：系统开环传递函数25K1图 3-42 飞行控制系统G0 (s) =s(s + 0.

9、8)1 + 25K1s(s + 0.8)25KKt s= 25K1s(s + 0.8) + 25K1 Kt s 2= 1 = n s(s + 0.8 + 25K1 Kt )s(s + 2n )n1 2 = 36 = 25KK = 361 252n = 0.8 + 25K1 K t = 1214所以 Kt =453-8 试分别求出图 3-43 各系统的自然频率和阻尼比，并列表比较其动态性能。r(t) 1 S2c(t)r(t)1+s 1 S2c(t)r(t) 1 S2c(t)- - -+S(a)(b) +(c)解：（a） n = 1 = 0s + 1图 3-43 控制系统系统临界稳定。（b） (s

10、) =（c） (s) =s 2 + s + 1s + 1s 2 + s + 1 n = 1 n = 1 = 0.5 = 0.5 % = 29.8% % = 16.3%t s = 7.51st s = 8.08s3-9 设控制系统如图 3-44 所示。要求：图 3-44 控制系统(1) 取1，2.，计算测速反馈校正系统的超调量、调节时间和速度误差；(2) 取1.，计算比例-微分校正系统的超调量、调节时间和速度误差。 解：（1）系统开环传递函数10G (s) = (1 + s)1s(s + 1)10 2 s= 10(1 + 1s) =s(s + 1) + 10 2 s10 =s(s + 2)2ns

11、(s + 2n )0n 2 = 101+ n =s(s + 1)102n = 2 = 110 % = e /1 2= 35.1%t = 3.5ns = 3.5sKV = 5（2）3-10 图 3-45 所示控制系统有（a）和（b）两种不同的结构方案，其中 T0 不可变。要求：（1） 在这两种方案中，应如何调整 K1 ， K 2 和 K 3 ，才能使系统获得较好的动态性能。比较说明两种结构方案的特点。解：3-11 已知系统特征方程为3s 4 + 10s 3 + 5s 2 + s + 2 = 0试用劳思稳定判据和赫尔维茨判据确定系统的稳定性。解： 列劳思表如下：s 4 3 5 2s 3 10 1s

12、 2 47 210s1 1530 047s 0 2由劳思表可以得到该系统不稳定。3-12 已知系统特征方程如下，试求系统在 s 右半平面的根数及虚根值。（1）s 5 + 3s 4 + 12s 3 + 24s 2 + 32s + 48 = 0（2）s 6 + 4s 5 4s 4 + 4s 3 - 7s 2 - 8s + 10 = 0（3）s 5 + 3s 4 + 12s 3 + 20s 2 + 35s + 25 = 0解：（1）列劳思表如下：s5 1 12 32s 4 3 24 48s 3 4 16 s 2 12 48 s1s 0有一对虚根，系统不稳定（2）列劳思表如下：s 6 1 4s5 4

13、4s 4 5 5s 3 s 2 s1s 0 7 10 810系统不稳定（3）列劳思表如下：s5 1 12 35s 4 3 20 25s 3 16 803 3s 2 5 25s1 10s 0 25有一对虚根，系统不稳定3-13 已知单位反馈系统的开环传递函数K (0.5s + 1) G(s) =s(s + 1)(0.5s 2 + s + 1)试确定系统稳定时的 K 值范围。解：系统特征方程为s(s + 1)(0.5s 2 + s + 1) + K (0.5s + 1) = 0将上述方程化简得到：0.5s 4 + 1.5s 3 + 2s 2 + (1 + 0.5K )s + K = 0劳思表如下：

14、s 4s 30.51.52 K1 + 0.5Ks 2 2.5 0.25K K21.5s1 2.5 1.25K 0.125K2.5 0.25Ks 0 K3-14 已知系统结构图如图 3-46 所示。试用劳思稳定判据确定能使系统稳定反馈参数 的取值范围。解：系统开环传递函数为10G0 (s)= (1+ 1 )ss(s + 1)1 + 10s= s + 1s10s(s + 1) + 10s= 10s + 10s 3 + (1 + 10 )s 2s(s + 1)系统特征方程为：s 3 + (1 + 10 )s 2 + 10s + 10 = 0劳思表如下：s 3 1 10s 2 1 + 10 10s1

15、101 + 10s 0 10所以能使系统稳定反馈参数 的取值范围为 03-15 已知单位反馈系统的开环传递函数100（1）G(s) =(0.1s + 1)(s + 5)（）G(s) =50s(0.1s + 1)(s + 5)（）G(s) =10(2s + 1)s 2 (s 2 + 6s + 100)试求输入分别为r (t ) = 2t 和r (t ) = 2 + 2t + t 2 时，系统的稳态误差。解：（1）因为是二阶系统，且系数大于零，所以系统稳定。K p = lim G(s) = 20s0KV = lim sG(s) = 0s 0K = lim s 2 G(s) = 0a s 0所以当

16、r (t ) = 2t 时R2ess = = KV当 r (t ) = 2 + 2t + t 2ess= R11 + K p+ R2KV+ R3 = K a（2）应先检查系统的稳定性。K p = lim G(s) = s0KV = lim sG(s) = 10s 0K = lim s 2 G(s) = 0a s 0所以当 r (t ) = 2t 时e = R2 = 0.2ssKV当 r (t ) = 2 + 2t + t 2ess= R11 + K p+ R2KV+ R3 = K a（3）应先检查系统的稳定性。K p = lim G(s) = s0KV = lim sG(s) = s 0K =

17、 lim s 2 G(s) = 0.1a s0所以当 r (t ) = 2t 时e = R2 = 0ssKV当 r (t ) = 2 + 2t + t 2ess= R11 + K p+ R2KV+ R3K a= 203-16 已知单位反馈系统的开环传递函数50(1) G(s) =(0.1s + 1)(2s + 1)（） G(s) =Ks(s 2 + 4s + 200)（） G(s) =10(2s + 1)(4s + 1)s 2 (s 2 + 2s + 10)试求位置误差系数 K，速度误差系数 K，加速度误差系数 K。解：（1）应先检查系统的稳定性。K p = lim G(s) = 50s 0K

18、V = lim sG(s) = 0s 0K = lim s 2 G(s) = 0a s 0(2) 应先检查系统的稳定性。K p = lim G(s) = s 0KV = lim sG(s) =s 0K200K = lim s 2 G(s) = 0a s 0(3) 应先检查系统的稳定性。K p = lim G(s) = s 0KV = lim sG(s) = s 0K = lim s 2 G(s) = 1a s03-17 设单位反馈系统的开环传递函数为 G(s) = 1 / Ts 。试用动态误差系统法求出当输入信号分别为 r (t ) = t 2 / 2 和 r (t ) = sin 2t 时，

19、系统的稳态误差。3-18 设控制系统如图 3-47 所示。其中K G(s) = K p +sF (s) = 1Js输入 r (t ) 以及扰动 n1 (t ) 和 n2 (t) 均为单位阶跃函数。试求：（1） 在 r (t ) 作用下系统的稳态误差（2） 在 n1 (t ) 作用下系统的稳态误差（3） 在 n1 (t ) 和 n2 (t) 同时作用下系统的稳态误差解：（1） 在 r (t ) 作用下系统的稳态误差这时系统的开环传递函数为：K p s + KG0 (s) = G(s)F (s) =Js 2系统位置误差系数为 K P= lim G(s) = s 0在 r (t ) 作用下系统的稳态

20、误差 essr= R1 = 01 + K p（2） 在 n1 (t ) 作用下系统的稳态误差这时系统的开环传递函数为：K p s + KG0 (s) = G(s)F (s) =Js 2系统位置误差系数为 K P= lim G(s) = s 0在 n1 (t ) 作用下系统的稳态误差 essn1 =R1 = 01 + K p（3） 在 n1 (t ) 和 n2 (t) 同时作用下系统的稳态误差n2 (t) 作用下系统的稳态误差这时系统的开环传递函数为：K p s + KG0 (s) = G(s)F (s) =Js 2系统位置误差系数为 K P= lim G(s) = s 0在 n2 (t) 作用

21、下系统的稳态误差 essn 2 =R1 = 01 + K p所以在在 n1 (t ) 和 n2 (t) 同时作用下系统的稳态误差为essn = essn1 + essn 2 = 0 + 0 = 03-19 设闭环传递函数的一般形式为(s) =G(s)m= bm s+ bm1 sm110+ L + b1 s + b01 + G(s)H (s)s n + an 1s n1 + L + a s + a误差定义取 e(t ) = r (t ) c(t) 。试证：（1） 系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件是：b0 = a0 , bi = 0(i = 1,2,L, m)（2） 系 统 在 斜 坡

22、 信 号 输 入 下 ， 稳 态 误 差 为 零 的 充 分 条 件 是 ：b0 = a0 , b1 = a1 , bi = 0(i = 2,3,L, m)解：(1) 系统在阶跃信号输入下这时R(s) = 1mC (s) = R(s)(s) = 1 bm s+ bm1 sm1+ L + b1 s + b0s s s n+ an 1 sn1+ L + a1 s + a0mE (s) = R(s) C (s) = 1 1 bm s+ bm1 sm1+ L + b1 s + b0s s m m1s n + a11n 1s n1 + L + a s + a= 1 1 bm s+ bm1 s+ L +

23、b1 s + b01000s s n + an 1s n1 + L + a s + a 1 (s n + as n1 + L + a s + a) (bs m + bs m1 + L + b s + b )= n 11 0 mm1 1 0s s n + an 1s n1 + L + a s + a1 (s n + as n1 + L + a s) (bs m + bs m1 + L + b s) + (a b )= n 11 m m11 0 0se = lim e(t ) = lim sE(s)s n + a10n 1s n1 + L + a s + ass t s 0(s n + as n1 + L + a s) (bs m + bs m 1 + L + b s) +