北师大版七年级下册数学同步教案全册.docx

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北师大版七年级下册数学同步教案全册

第一章　整式的乘除

教材简析

本章的主要内容有：

（1）幂的有关运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法）；

（2）整式的乘法；（3）乘法公式（平方差公式、完全平方公式）；（4）整式的除法．

本章是继七年级上册第三章整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，也是八年级下册第四章因式分解和第五章分式学习的基础，因此，本章内容的地位至关重要．本章内容是中考的必考内容，主要考查幂的运算性质，与整式运算有关的计算、化简求值，用科学记数法表示一个绝对值小于1的数，题型多以选择题、填空题为主，难度不大．

教学指导

【本章重点】

幂的运算，整式的乘除运算，乘法公式．

【本章难点】

幂的运算法则及平方差公式和完全平方公式的灵活运用．

【本章思想方法】

1．体会和掌握类比的思想方法，如通过数的运算，类比归纳得出整式的运算性质．

2．体会和掌握转化的思想方法，如将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式进行计算．

3．体会和掌握数形结合的思想方法．在学习本章内容时，要注意代数与几何之间的联系，如在整式乘法和乘法公式部分，借助几何图形对运算法则及公式作了直观解释，体现了数形结合的思想方法．

课时计划

1　同底数幂的乘法1课时

2　幂的乘方与积的乘方2课时

3　同底数幂的除法2课时

4　整式的乘法3课时

5　平方差公式2课时

6　完全平方公式2课时

7　整式的除法2课时

1　同底数幂的乘法

教学目标

一、基本目标

1．使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握同底数幂的乘法法则，并能正确计算同底数幂的乘法．

2．在推导同底数幂的乘法法则的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

理解并掌握同底数幂的乘法法则．

【教学难点】

运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．把下列式子化成同底数幂．

（1）（－a）2＝a2，（－a）3＝－a3；

（2）（x－y）2＝（y－x）2，（x－y）3＝－（y－x）3.

2．根据乘法的意义填空．

（1）102×103＝105；

（2）105×108＝＝1013；

（3）10m·10n＝10m＋n；

（4）2m·2n＝2m＋n；

（5）

m×

n＝

m＋n；

（6）（－3）m·（－3）n＝（－3）m＋n；

（7）同底数幂的乘法法则：

am·an＝am＋n（m、n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】计算：

（1）－a3·（－a）2·（－a）3；

（2）10000×10m×10m＋3；

（3）mn＋1·mn·m2·m；

（4）（x－y）2·（y－x）5.

【互动探索】（引发学生思考）确定各式的底数→利用同底数幂的乘法法则计算．

【解答】

（1）原式＝－a3·a2·（－a3）

＝a3·a2·a3

＝a8.

（2）原式＝104×10m×10m＋3

＝104＋m＋m＋3

＝107＋2m.

（3）原式＝mn＋1＋n＋2＋1

＝m2n＋4.

（4）原式＝（y－x）2·（y－x）5

＝（y－x）7.

【互动总结】（学生总结，老师点评）

（1）同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.

（2）底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．一般地，（a－b）n＝

（3）推广：

am·an·ap＝am＋n＋p（m、n、p都是正整数）．

【例2】（教材P3例2）光在真空中的速度约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102s．地球与太阳大约有多远？

【互动探索】（引发学生思考）地球距离太阳的距离＝光的速度×太阳光照射到地球上大约需要的时间．

【解答】　3×108×5×102

＝15×1010

＝1.5×1011（m）．

即地球距离太阳大约有1.5×1011m.

【互动总结】（学生总结，老师点评）实际应用型问题应先转化为数学问题，再运用结合律及同底数幂的运算性质进行计算，注意最后一步用科学记数法表示，不要漏掉单位．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．下列算式中，结果等于x6的是（　A　）

A．x2·x2·x2　B．x2＋x2＋x2

C．x2·x3　D．x4＋x2

2．如果32×27＝3n，则n的值为（　C　）

A．6　B．1　

C．5　D．8

3．若am＝3，an＝4，则am＋n＝12.

4．计算：

（1）－a3·a4；

（2）100·10m＋1·10m－3；

（3）（－x）4·（－x2）·（－x）3.

解：

（1）原式＝－a3＋4

＝－a7.

（2）原式＝102·10m＋1·10m－3

＝102＋（m＋1）＋（m－3）

＝102m.

（3）原式＝x4·（－x2）·（－x3）

＝x4·x2·x3

＝x4＋2＋3

＝x9.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．

【互动探索】根据同底数幂的乘法法则，等式的左边等于多少？

a、b之间有什么关系？

【解答】因为82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，

所以2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解此类题时，将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同，由此得出代数式的值．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

练习设计

请完成本课时对应练习！

2　幂的乘方与积的乘方

第1课时　幂的乘方

教学目标

一、基本目标

1．了解幂的乘方的运算法则，并能解决一些实际问题．

2．经历探索幂的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．

二、重难点目标

【教学重点】

会进行幂的乘方的运算．

【教学难点】

幂的乘方法则的总结及其运用．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P5～P6的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．

（1）乘方的意义：

32中，底数是3，指数是2，表示2个3相乘.

（32）3的意义：

3个32相乘；

（2）根据幂的意义填空：

（32）3＝32×32×32（根据幂的意义）

＝32＋2＋2（根据同底数幂的乘法法则）

＝32×3，

（am）2＝am·am＝a2m（根据am·an＝am＋n），

（am）n＝am·am·…·am（幂的意义）

＝am＋m＋…＋m（同底数幂相乘的法则）

＝amn（乘法的意义）；

（3）幂的乘方法则：

（am）n＝amn（m、n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘．

2．已知球体的体积公式为V＝

πR3.

（1）若乙球的半径为3cm，则乙球的体积V乙＝36πcm3.甲球的半径是乙球的10倍，则甲球的体积V甲＝36_000πcm3，V甲是V乙的103倍；

（2）地球、木星、太阳可以近似地看作球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍、100倍，它们的体积分别约是地球的103倍、106倍．

3．（教材P6例1）计算：

（1）（102）3;

（2）（b5）5；

（3）（an）3;（4）－（x2）m；

（5）（y2）3·y;（6）2（a2）6－（a3）4.

解：

（1）原式＝106.　

（2）原式＝b25.

（3）原式＝a3n.　（4）原式＝－x2m.

（5）原式＝y7.　（6）原式＝a12.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】计算：

（1）（－24）3；　

（2）（xm－1）2；

（3）[（24）3]3；　（4）（－a5）2＋（－a2）5.

【互动探索】（引发学生思考）确定各式的底数→利用幂的乘方法则计算．

【解答】

（1）原式＝－212.

（2）原式＝x2（m－1）＝x2m－2.

（3）原式＝24×3×3＝236.

（4）原式＝a10－a10＝0.

【互动总结】（学生总结，老师点评）

（1）运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．

（2）在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．（3）幂的乘方的推广：

（（am）n）p＝amnp（m、n、p都是正整数）．

【例2】若92n＝38，求n的值．

【互动探索】（引发学生思考）比较等式两边的底数→将等式转化为（32）2n＝38→建立方程求n值．

【解答】依题意，得（32）2n＝38，即34n＝38，

所以4n＝8，

所以n＝2.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解此类题时，可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．

【例3】已知ax＝3，ay＝4（x、y为整数），求a3x＋2y的值．

【互动探索】（引发学生思考）将a3x＋2y变形，得a3x·a2y，再利用幂的乘方进行解答．

【解答】因为ax＝3，ay＝4，所以a3x＋2y＝a3x·a2y＝（ax）3·（ay）2＝33×42＝27×16＝432.

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用amn＝（am）n＝（an）m，可对式子进行变形，从而使问题得到解决．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．计算（－a3）2的结果是（　A　）

A．a6　B．－a6

C．－a5　D．a5

2．下列运算正确的是（　B　）

A．（x3）2＝x5　B．（－x）5＝－x5

C．x3·x2＝x6　D．3x2＋2x3＝5x5

3．当n为奇数时，（－a2）n＋（－an）2＝0.

4．计算：

（1）a2·（－a）2·（－a2）3＋a10；

（2）x4·x5·（－x）7＋5（x4）4－（x8）2.

解：

（1）原式＝a2·a2·（－a6）＋a10

＝－a10＋a10

＝0.

（2）原式＝x4·x5·（－x7）＋5x16－x16

＝－x16＋5x16－x16

＝3x16.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例4】请看下面的解题过程：

比较2100与375的大小．

解：

因为2100＝（24）25,375＝（33）25，而24＝16,33＝27,16＜27，

所以2100＜375.

请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小．

【互动探索】仔细阅读材料，确定例子的解题方法是将指数化为相同，再比较底数的大小来比较所求两个数的大小．

【解答】因为3100＝（35）20,560＝（53）20，而35＝243,53＝125,243＞125，

所以3100＞560.

【互动总结】（学生总结，老师点评）此题考查了幂的乘方法则的应用，根据题意得到3100＝（35）20,560＝（53）20是解此题的关键．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　积的乘方

教学目标

一、基本目标

1．了解积的乘方的运算法则，并能解决一些实际问题．

2．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．

二、重难点目标

【教学重点】

会进行积的乘方的运算．

【教学难点】

明确幂的乘方与积的乘方的异同．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P7～P8的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．

（1）（3×5）4＝3（4　）·5（4　）；

（2）（3×5）m＝3（m　）·5（m　）；

（3）（ab）n＝a（n　）·b（n　）；

（4）（ab）n＝（ab）·（ab）·…·（ab

＝a·a·…·

·b·b·…·

＝anbn.

2．积的乘方法则：

（ab）n＝anbn（n是正整数），即积的乘方等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

推广：

（abc）n＝anbncn（n是正整数）．

3．（教材P7例2）计算：

（1）（3x）2;

（2）（－2b）5；

（3）（－2xy）4;（4）（3a2）n.

解：

（1）原式＝9x2.　

（2）原式＝－32b5.

（3）原式＝16x4y4.　（4）原式＝3na2n.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】计算：

（1）（x4·y2）3；

（2）（anb3n）2＋（a2b6）n；

（3）[（3a2）3＋（3a3）2]2；

（4）

2018×

2019；

（5）0.12515×（23）15.

【互动探索】（引发学生思考）先确定运算顺序，再根据积的乘方法则计算．

【解答】

（1）原式＝x12y6.

（2）原式＝a2nb6n＋a2nb6n＝2a2nb6n.

（3）原式＝（27a6＋9a6）2＝（36a6）2＝1296a12.

（4）原式＝

2018×

＝1×

＝

.

（5）原式＝

15×815＝

15＝1.

【互动总结】（学生总结，老师点评）

（1）～（3）题按先乘方再乘除后加减的运算顺序计算；（4）、（5）题逆用（ab）n＝anbn可使计算简便．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．计算（x2y）2的结果是（　B　）

A．x6y　B．x4y2

C．x5y　D．x5y2

2．（am）m·（am）2不等于（　C　）

A．（am＋2）m　B．（am·a2）m

C．am2＋am2　D．（am）3·（am－1）m

3．已知am＝2，an＝3，则a2m＋3n＝108.

4．计算：

（1）－4xy2·（xy2）2·（－2x2）3；

（2）（－a3b6）2＋（－a2b4）3；

（3）

2018×

2019.

解：

（1）原式＝－4xy2·x2y4·（－8x6）

＝32x9y6.

（2）原式＝a6b12－a6b12

＝0.

（3）原式＝

2018×

＝

.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例2】太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V＝

πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？

（π取3）

【互动探索】已知球的体积公式和其半径，代入数据直接计算．

【解答】因为R＝6×105千米，

所以V＝

πR3＝

×3×（6×105）3＝8.64×1017（立方千米）．

即它的体积大约是8.64×1017立方千米．

【互动总结】（学生总结，老师点评）读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方法则是解此题的关键．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

练习设计

请完成本课时对应练习！

3　同底数幂的除法

第1课时　同底数幂的除法

教学目标

一、基本目标

1．了解同底数幂的除法的运算法则，并能解决一些实际问题．

2．经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．

二、重难点目标

【教学重点】

会进行同底数幂的除法运算．

【教学难点】

同底数幂的除法法则的总结及运用．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P9～P11的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

（一）同底数幂的除法

1．用你熟悉的方法计算：

（1）23·22＝25,25÷22＝23；

（2）104·103＝107,107÷103＝104；

（3）a4·a3＝a7，a7÷a3＝a4；

（4）从

（1）～（3）的运算中归纳出同底数幂的除法法则：

am÷an＝am－n（a≠0，m、n都是正整数，且m>n），即同底数幂相除，底数不变，指数相减.

2．（教材P10例1）计算：

（1）a7÷a4;

（2）（－x）6÷（－x）3；

（3）（xy）4÷（xy）;（4）b2m＋2÷b2.

解：

（1）原式＝a3.　

（2）原式＝－x3.

（3）原式＝x3y3.　（4）原式＝b2m.

（二）负整数指数幂

1．a0＝1（a≠0）；a－n＝

（n是正整数，a≠0）．

2．（教材P10例2）用小数或分数表示下列各数：

（1）10－3;

（2）70×8－2；

（3）1.6×10－4.

解：

（1）原式＝0.001.　

（2）原式＝

.　（3）原式＝0.00016.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】计算：

（1）x12÷x3；

（2）（x3）2÷x2÷x；

（3）（a2＋1）8÷（a2＋1）4÷（a2＋1）2.

【互动探索】（引发学生思考）根据同底数幂的除法法则计算．

【解答】

（1）x12÷x3＝x12－3＝x9.

（2）（x3）2÷x2÷x＝x6÷x2÷x＝x6－2－1＝x3.

（3）（a2＋1）8÷（a2＋1）4÷（a2＋1）2＝（a2＋1）8－4－2＝（a2＋1）2.

【互动总结】（学生总结，老师点评）同底数幂的除法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.

活动2　巩固练习（学生独学）

1．下列各式计算正确的是（　C　）

A．a4÷（－a）2＝－a2

B．a3÷a3＝0

C．（－a）4÷（－a）2＝a2

D．a6÷a4＝a

2．下列各式计算的结果为x8的是（　A　）

A．x·x7　B．x16－x2

C．x16÷x2　D．（x4）4

3．m5÷m2＝m3；（－4）4÷（－4）2＝16；a3·am·am＋1＝a2m＋4.

4．若3x＝10,3y＝5，则32x－y＝20.

5．计算：

（1）x3÷x2；

（2）（－x）7÷（－x）；

（3）62m＋1÷6m；

（4）（x－y）9÷（y－x）4÷（x－y）2.

解：

（1）原式＝x.　

（2）原式＝x6.

（3）原式＝6m＋1.　（4）原式＝（x－y）3.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例2】已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．

【互动探索】要求am－n－1的值，观察已知式子，看它们之间有什么联系？

【解答】因为am＝4，an＝2，a＝3，

所以am－n－1＝am÷an÷a＝4÷2÷3＝

.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am－n－1＝am÷an÷a.

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　用科学记数法表示较小的数

教学目标

一、基本目标

1．理解科学记数法的意义和特征，能够用科学记数法表示小于1的正数．

2．用科学记数法表示较小的数，让学生感受数学与现实生活的联系，同时增强活动性和趣味性．

二、重难点目标

【教学重点】

理解并掌握用科学记数法表示小于1的正数的方法．

【教学难点】

会用科学记数法解决相应的实际问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．科学记数法：

绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数．

例如：

864000可以写成8.64×105.

2．因为0.1＝

＝10－1；0.01＝

＝10－2；0.001＝

＝10－3……

所以0.0000864＝8.64×0.00001＝8.64×10－5.

类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10－n的形式，其中n是正整数，1≤|a|＜10.n等于原数第一个非零数字前所有0的个数（特别注意：

包括小数点前面的零）．

3．算一算．

10－2＝0.01；10－4＝0.0001；10－8＝0.000_000_01.

一般地，10的－n次幂，在1前面有n个0.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】一种花粉颗粒直径约为0.0000065米，数字0.0000065用科学记数法表示为（　　）

A．0.65×10－5　B．65×10－7

C．6.5×10－6　D．6.5×10－5

【互动探索】（引发学生思考）利用10的负整数次幂，把一个小于1的正数表示成a×10－n的形式，与较大数的科学记数法表示有什么不同之处？

指数由什么决定？

【分析】0.0000065＝6.5×10－6.

【答案】C

【互动总结】（学生总结，老师点评）小于1的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，其中1≤|a|<10，n为正整数．与较大数的科学记数法表示不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．用科学记数法把0.000009405表示成9.405×10n，那么n＝－6.

2．用科学记数法表示下列各数：

（1）0.00003；　

（2）0.000506；

（3）－0.000063.

解：

（1）0.00003＝3×10－5.　

（2）0.000506＝5.06×10－4.　（3）－0.000063＝－6.3×10－5.

3．下面是用科学记数法表示的数，写出原来的数．

（1）2×10－8;

（2）7.001×10－6.

解：

（1）0.00000002.　

（2）0.000007001.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例2】比较下列两个数的大小．

（1）－3.65×10－5与－1.02×10－6；

（2）1.45×10－2018与9.8×10－2019.

【互动探索】根据有理数的大小比较方法对比比较用科学记数法表示的数的大小．

【解答】

（1）|－3.65×10－5|＝3.65×10－5，|－1.02×10－6|＝1.02×10－6.

因为1.02×10－6＜3.65×10－5，

所以－3.65×10－5＜－1.02×10－6.

（2）因为9.8×10－2019＝0.98×10－2018,0.98<1.45，

所以1.45×10－2018>9.8×10－2019.

【互动总结】（学生总结，老师点评）比较用科学记数法表示的数的大小时，利用乘方的意义，把10的指数转化成相同的，然后比较a的大小，若a大，则原数就大；若a小，则原数就小．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a<10，n是负整数．

练习设计

请完成本课时对应练习！

4　整式的乘法

第1课时　单项式与单项式相乘

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握单项式乘单项式的法则，能够熟练计算单项式乘单项式．

2．经历探索单项式乘单项式的运算法则的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．

3．培养学生推理能力、计算能力，并通过小组合作与交流，增强协作精神．

二、重难点目标

【教学重点】

单项式乘单项式的法则．

【教学难点】

单项式乘单项式的法则的推导及应用．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P14～P15的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．

（1）（ab）c＝（ac）b；

（2）am·an＝am＋n（m、n都是正整数）；

（3）（am）n＝amn（m、n都是正整数）；

（4）（ab）n＝anbn（n是正整数）．

2．

（1）2a2－a2＝a2，a2·a2＝a4，（－2a2）2＝4a4；

（2）ac5·bc2＝（a·b）·（c5·c2）·＝abc5＋2＝abc7；

（3）单项式乘单项式法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母