北师大版七年级下册数学同步教案全册.docx
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北师大版七年级下册数学同步教案全册
第一章 整式的乘除
教材简析
本章的主要内容有:
(1)幂的有关运算性质(同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法);
(2)整式的乘法;(3)乘法公式(平方差公式、完全平方公式);(4)整式的除法.
本章是继七年级上册第三章整式及其加减运算后,进一步学习整式的乘除,也是八年级下册第四章因式分解和第五章分式学习的基础,因此,本章内容的地位至关重要.本章内容是中考的必考内容,主要考查幂的运算性质,与整式运算有关的计算、化简求值,用科学记数法表示一个绝对值小于1的数,题型多以选择题、填空题为主,难度不大.
教学指导
【本章重点】
幂的运算,整式的乘除运算,乘法公式.
【本章难点】
幂的运算法则及平方差公式和完全平方公式的灵活运用.
【本章思想方法】
1.体会和掌握类比的思想方法,如通过数的运算,类比归纳得出整式的运算性质.
2.体会和掌握转化的思想方法,如将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式进行计算.
3.体会和掌握数形结合的思想方法.在学习本章内容时,要注意代数与几何之间的联系,如在整式乘法和乘法公式部分,借助几何图形对运算法则及公式作了直观解释,体现了数形结合的思想方法.
课时计划
1 同底数幂的乘法1课时
2 幂的乘方与积的乘方2课时
3 同底数幂的除法2课时
4 整式的乘法3课时
5 平方差公式2课时
6 完全平方公式2课时
7 整式的除法2课时
1 同底数幂的乘法
教学目标
一、基本目标
1.使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上,掌握同底数幂的乘法法则,并能正确计算同底数幂的乘法.
2.在推导同底数幂的乘法法则的过程中,培养学生观察、概括与抽象的能力.
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握同底数幂的乘法法则.
【教学难点】
运用同底数幂的乘法法则进行相关运算.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P2~P3的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.把下列式子化成同底数幂.
(1)(-a)2=a2,(-a)3=-a3;
(2)(x-y)2=(y-x)2,(x-y)3=-(y-x)3.
2.根据乘法的意义填空.
(1)102×103=105;
(2)105×108==1013;
(3)10m·10n=10m+n;
(4)2m·2n=2m+n;
(5)
m×
n=
m+n;
(6)(-3)m·(-3)n=(-3)m+n;
(7)同底数幂的乘法法则:
am·an=am+n(m、n都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算:
(1)-a3·(-a)2·(-a)3;
(2)10000×10m×10m+3;
(3)mn+1·mn·m2·m;
(4)(x-y)2·(y-x)5.
【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用同底数幂的乘法法则计算.
【解答】
(1)原式=-a3·a2·(-a3)
=a3·a2·a3
=a8.
(2)原式=104×10m×10m+3
=104+m+m+3
=107+2m.
(3)原式=mn+1+n+2+1
=m2n+4.
(4)原式=(y-x)2·(y-x)5
=(y-x)7.
【互动总结】(学生总结,老师点评)
(1)同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用;单个字母或数可以看成指数为1的幂,进行运算时,不能忽略了幂指数1.
(2)底数互为相反数的幂相乘时,先把底数统一,再进行计算.一般地,(a-b)n=
(3)推广:
am·an·ap=am+n+p(m、n、p都是正整数).
【例2】(教材P3例2)光在真空中的速度约为3×108m/s,太阳光照射到地球上大约需要5×102s.地球与太阳大约有多远?
【互动探索】(引发学生思考)地球距离太阳的距离=光的速度×太阳光照射到地球上大约需要的时间.
【解答】 3×108×5×102
=15×1010
=1.5×1011(m).
即地球距离太阳大约有1.5×1011m.
【互动总结】(学生总结,老师点评)实际应用型问题应先转化为数学问题,再运用结合律及同底数幂的运算性质进行计算,注意最后一步用科学记数法表示,不要漏掉单位.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.下列算式中,结果等于x6的是( A )
A.x2·x2·x2 B.x2+x2+x2
C.x2·x3 D.x4+x2
2.如果32×27=3n,则n的值为( C )
A.6 B.1
C.5 D.8
3.若am=3,an=4,则am+n=12.
4.计算:
(1)-a3·a4;
(2)100·10m+1·10m-3;
(3)(-x)4·(-x2)·(-x)3.
解:
(1)原式=-a3+4
=-a7.
(2)原式=102·10m+1·10m-3
=102+(m+1)+(m-3)
=102m.
(3)原式=x4·(-x2)·(-x3)
=x4·x2·x3
=x4+2+3
=x9.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】若82a+3·8b-2=810,求2a+b的值.
【互动探索】根据同底数幂的乘法法则,等式的左边等于多少?
a、b之间有什么关系?
【解答】因为82a+3·8b-2=82a+3+b-2=810,
所以2a+3+b-2=10,解得2a+b=9.
【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,将等式两边化为同底数幂的形式,底数相同,那么指数也相同,由此得出代数式的值.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习!
2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
教学目标
一、基本目标
1.了解幂的乘方的运算法则,并能解决一些实际问题.
2.经历探索幂的乘方的运算法则的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.
二、重难点目标
【教学重点】
会进行幂的乘方的运算.
【教学难点】
幂的乘方法则的总结及其运用.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P5~P6的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.
(1)乘方的意义:
32中,底数是3,指数是2,表示2个3相乘.
(32)3的意义:
3个32相乘;
(2)根据幂的意义填空:
(32)3=32×32×32(根据幂的意义)
=32+2+2(根据同底数幂的乘法法则)
=32×3,
(am)2=am·am=a2m(根据am·an=am+n),
(am)n=am·am·…·am(幂的意义)
=am+m+…+m(同底数幂相乘的法则)
=amn(乘法的意义);
(3)幂的乘方法则:
(am)n=amn(m、n都是正整数),即幂的乘方,底数不变,指数相乘.
2.已知球体的体积公式为V=
πR3.
(1)若乙球的半径为3cm,则乙球的体积V乙=36πcm3.甲球的半径是乙球的10倍,则甲球的体积V甲=36_000πcm3,V甲是V乙的103倍;
(2)地球、木星、太阳可以近似地看作球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍、100倍,它们的体积分别约是地球的103倍、106倍.
3.(教材P6例1)计算:
(1)(102)3;
(2)(b5)5;
(3)(an)3;(4)-(x2)m;
(5)(y2)3·y;(6)2(a2)6-(a3)4.
解:
(1)原式=106.
(2)原式=b25.
(3)原式=a3n. (4)原式=-x2m.
(5)原式=y7. (6)原式=a12.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算:
(1)(-24)3;
(2)(xm-1)2;
(3)[(24)3]3; (4)(-a5)2+(-a2)5.
【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用幂的乘方法则计算.
【解答】
(1)原式=-212.
(2)原式=x2(m-1)=x2m-2.
(3)原式=24×3×3=236.
(4)原式=a10-a10=0.
【互动总结】(学生总结,老师点评)
(1)运用幂的乘方法则进行计算时,一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.
(2)在幂的乘方中,底数可以是单项式,也可以是多项式.(3)幂的乘方的推广:
((am)n)p=amnp(m、n、p都是正整数).
【例2】若92n=38,求n的值.
【互动探索】(引发学生思考)比较等式两边的底数→将等式转化为(32)2n=38→建立方程求n值.
【解答】依题意,得(32)2n=38,即34n=38,
所以4n=8,
所以n=2.
【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,可将等式两边化成底数或指数相同的数,再比较.
【例3】已知ax=3,ay=4(x、y为整数),求a3x+2y的值.
【互动探索】(引发学生思考)将a3x+2y变形,得a3x·a2y,再利用幂的乘方进行解答.
【解答】因为ax=3,ay=4,所以a3x+2y=a3x·a2y=(ax)3·(ay)2=33×42=27×16=432.
【互动总结】(学生总结,老师点评)利用amn=(am)n=(an)m,可对式子进行变形,从而使问题得到解决.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.计算(-a3)2的结果是( A )
A.a6 B.-a6
C.-a5 D.a5
2.下列运算正确的是( B )
A.(x3)2=x5 B.(-x)5=-x5
C.x3·x2=x6 D.3x2+2x3=5x5
3.当n为奇数时,(-a2)n+(-an)2=0.
4.计算:
(1)a2·(-a)2·(-a2)3+a10;
(2)x4·x5·(-x)7+5(x4)4-(x8)2.
解:
(1)原式=a2·a2·(-a6)+a10
=-a10+a10
=0.
(2)原式=x4·x5·(-x7)+5x16-x16
=-x16+5x16-x16
=3x16.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】请看下面的解题过程:
比较2100与375的大小.
解:
因为2100=(24)25,375=(33)25,而24=16,33=27,16<27,
所以2100<375.
请你根据上面的解题过程,比较3100与560的大小.
【互动探索】仔细阅读材料,确定例子的解题方法是将指数化为相同,再比较底数的大小来比较所求两个数的大小.
【解答】因为3100=(35)20,560=(53)20,而35=243,53=125,243>125,
所以3100>560.
【互动总结】(学生总结,老师点评)此题考查了幂的乘方法则的应用,根据题意得到3100=(35)20,560=(53)20是解此题的关键.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习!
第2课时 积的乘方
教学目标
一、基本目标
1.了解积的乘方的运算法则,并能解决一些实际问题.
2.经历探索积的乘方的运算法则的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.
二、重难点目标
【教学重点】
会进行积的乘方的运算.
【教学难点】
明确幂的乘方与积的乘方的异同.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P7~P8的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.
(1)(3×5)4=3(4 )·5(4 );
(2)(3×5)m=3(m )·5(m );
(3)(ab)n=a(n )·b(n );
(4)(ab)n=(ab)·(ab)·…·(ab
=a·a·…·
·b·b·…·
=anbn.
2.积的乘方法则:
(ab)n=anbn(n是正整数),即积的乘方等于积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
推广:
(abc)n=anbncn(n是正整数).
3.(教材P7例2)计算:
(1)(3x)2;
(2)(-2b)5;
(3)(-2xy)4;(4)(3a2)n.
解:
(1)原式=9x2.
(2)原式=-32b5.
(3)原式=16x4y4. (4)原式=3na2n.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算:
(1)(x4·y2)3;
(2)(anb3n)2+(a2b6)n;
(3)[(3a2)3+(3a3)2]2;
(4)
2018×
2019;
(5)0.12515×(23)15.
【互动探索】(引发学生思考)先确定运算顺序,再根据积的乘方法则计算.
【解答】
(1)原式=x12y6.
(2)原式=a2nb6n+a2nb6n=2a2nb6n.
(3)原式=(27a6+9a6)2=(36a6)2=1296a12.
(4)原式=
2018×
=1×
=
.
(5)原式=
15×815=
15=1.
【互动总结】(学生总结,老师点评)
(1)~(3)题按先乘方再乘除后加减的运算顺序计算;(4)、(5)题逆用(ab)n=anbn可使计算简便.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.计算(x2y)2的结果是( B )
A.x6y B.x4y2
C.x5y D.x5y2
2.(am)m·(am)2不等于( C )
A.(am+2)m B.(am·a2)m
C.am2+am2 D.(am)3·(am-1)m
3.已知am=2,an=3,则a2m+3n=108.
4.计算:
(1)-4xy2·(xy2)2·(-2x2)3;
(2)(-a3b6)2+(-a2b4)3;
(3)
2018×
2019.
解:
(1)原式=-4xy2·x2y4·(-8x6)
=32x9y6.
(2)原式=a6b12-a6b12
=0.
(3)原式=
2018×
=
.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】太阳可以近似地看作是球体,如果用V、R分别代表球的体积和半径,那么V=
πR3,太阳的半径约为6×105千米,它的体积大约是多少立方千米?
(π取3)
【互动探索】已知球的体积公式和其半径,代入数据直接计算.
【解答】因为R=6×105千米,
所以V=
πR3=
×3×(6×105)3=8.64×1017(立方千米).
即它的体积大约是8.64×1017立方千米.
【互动总结】(学生总结,老师点评)读懂题目信息,理解球的体积公式并熟记积的乘方法则是解此题的关键.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习!
3 同底数幂的除法
第1课时 同底数幂的除法
教学目标
一、基本目标
1.了解同底数幂的除法的运算法则,并能解决一些实际问题.
2.经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程,进一步体会幂的意义.
二、重难点目标
【教学重点】
会进行同底数幂的除法运算.
【教学难点】
同底数幂的除法法则的总结及运用.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P9~P11的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
(一)同底数幂的除法
1.用你熟悉的方法计算:
(1)23·22=25,25÷22=23;
(2)104·103=107,107÷103=104;
(3)a4·a3=a7,a7÷a3=a4;
(4)从
(1)~(3)的运算中归纳出同底数幂的除法法则:
am÷an=am-n(a≠0,m、n都是正整数,且m>n),即同底数幂相除,底数不变,指数相减.
2.(教材P10例1)计算:
(1)a7÷a4;
(2)(-x)6÷(-x)3;
(3)(xy)4÷(xy);(4)b2m+2÷b2.
解:
(1)原式=a3.
(2)原式=-x3.
(3)原式=x3y3. (4)原式=b2m.
(二)负整数指数幂
1.a0=1(a≠0);a-n=
(n是正整数,a≠0).
2.(教材P10例2)用小数或分数表示下列各数:
(1)10-3;
(2)70×8-2;
(3)1.6×10-4.
解:
(1)原式=0.001.
(2)原式=
. (3)原式=0.00016.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】计算:
(1)x12÷x3;
(2)(x3)2÷x2÷x;
(3)(a2+1)8÷(a2+1)4÷(a2+1)2.
【互动探索】(引发学生思考)根据同底数幂的除法法则计算.
【解答】
(1)x12÷x3=x12-3=x9.
(2)(x3)2÷x2÷x=x6÷x2÷x=x6-2-1=x3.
(3)(a2+1)8÷(a2+1)4÷(a2+1)2=(a2+1)8-4-2=(a2+1)2.
【互动总结】(学生总结,老师点评)同底数幂的除法法则只有在底数相同时才能使用;单个字母或数可以看成指数为1的幂,进行运算时,不能忽略了幂指数1.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.下列各式计算正确的是( C )
A.a4÷(-a)2=-a2
B.a3÷a3=0
C.(-a)4÷(-a)2=a2
D.a6÷a4=a
2.下列各式计算的结果为x8的是( A )
A.x·x7 B.x16-x2
C.x16÷x2 D.(x4)4
3.m5÷m2=m3;(-4)4÷(-4)2=16;a3·am·am+1=a2m+4.
4.若3x=10,3y=5,则32x-y=20.
5.计算:
(1)x3÷x2;
(2)(-x)7÷(-x);
(3)62m+1÷6m;
(4)(x-y)9÷(y-x)4÷(x-y)2.
解:
(1)原式=x.
(2)原式=x6.
(3)原式=6m+1. (4)原式=(x-y)3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知am=4,an=2,a=3,求am-n-1的值.
【互动探索】要求am-n-1的值,观察已知式子,看它们之间有什么联系?
【解答】因为am=4,an=2,a=3,
所以am-n-1=am÷an÷a=4÷2÷3=
.
【互动总结】(学生总结,老师点评)解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am-n-1=am÷an÷a.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习!
第2课时 用科学记数法表示较小的数
教学目标
一、基本目标
1.理解科学记数法的意义和特征,能够用科学记数法表示小于1的正数.
2.用科学记数法表示较小的数,让学生感受数学与现实生活的联系,同时增强活动性和趣味性.
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握用科学记数法表示小于1的正数的方法.
【教学难点】
会用科学记数法解决相应的实际问题.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P12~P13的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.科学记数法:
绝对值大于10的数记成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数.
例如:
864000可以写成8.64×105.
2.因为0.1=
=10-1;0.01=
=10-2;0.001=
=10-3……
所以0.0000864=8.64×0.00001=8.64×10-5.
类似地,我们可以利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些绝对值较小的数,即将它们表示成a×10-n的形式,其中n是正整数,1≤|a|<10.n等于原数第一个非零数字前所有0的个数(特别注意:
包括小数点前面的零).
3.算一算.
10-2=0.01;10-4=0.0001;10-8=0.000_000_01.
一般地,10的-n次幂,在1前面有n个0.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】一种花粉颗粒直径约为0.0000065米,数字0.0000065用科学记数法表示为( )
A.0.65×10-5 B.65×10-7
C.6.5×10-6 D.6.5×10-5
【互动探索】(引发学生思考)利用10的负整数次幂,把一个小于1的正数表示成a×10-n的形式,与较大数的科学记数法表示有什么不同之处?
指数由什么决定?
【分析】0.0000065=6.5×10-6.
【答案】C
【互动总结】(学生总结,老师点评)小于1的正数也可以用科学记数法表示,一般形式为a×10-n,其中1≤|a|<10,n为正整数.与较大数的科学记数法表示不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.用科学记数法把0.000009405表示成9.405×10n,那么n=-6.
2.用科学记数法表示下列各数:
(1)0.00003;
(2)0.000506;
(3)-0.000063.
解:
(1)0.00003=3×10-5.
(2)0.000506=5.06×10-4. (3)-0.000063=-6.3×10-5.
3.下面是用科学记数法表示的数,写出原来的数.
(1)2×10-8;
(2)7.001×10-6.
解:
(1)0.00000002.
(2)0.000007001.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】比较下列两个数的大小.
(1)-3.65×10-5与-1.02×10-6;
(2)1.45×10-2018与9.8×10-2019.
【互动探索】根据有理数的大小比较方法对比比较用科学记数法表示的数的大小.
【解答】
(1)|-3.65×10-5|=3.65×10-5,|-1.02×10-6|=1.02×10-6.
因为1.02×10-6<3.65×10-5,
所以-3.65×10-5<-1.02×10-6.
(2)因为9.8×10-2019=0.98×10-2018,0.98<1.45,
所以1.45×10-2018>9.8×10-2019.
【互动总结】(学生总结,老师点评)比较用科学记数法表示的数的大小时,利用乘方的意义,把10的指数转化成相同的,然后比较a的大小,若a大,则原数就大;若a小,则原数就小.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
一般地,一个小于1的正数可以表示为a×10n,其中1≤a<10,n是负整数.
练习设计
请完成本课时对应练习!
4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
教学目标
一、基本目标
1.理解并掌握单项式乘单项式的法则,能够熟练计算单项式乘单项式.
2.经历探索单项式乘单项式的运算法则的过程,体会乘法结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及语言表达能力.
3.培养学生推理能力、计算能力,并通过小组合作与交流,增强协作精神.
二、重难点目标
【教学重点】
单项式乘单项式的法则.
【教学难点】
单项式乘单项式的法则的推导及应用.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P14~P15的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.
(1)(ab)c=(ac)b;
(2)am·an=am+n(m、n都是正整数);
(3)(am)n=amn(m、n都是正整数);
(4)(ab)n=anbn(n是正整数).
2.
(1)2a2-a2=a2,a2·a2=a4,(-2a2)2=4a4;
(2)ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)·=abc5+2=abc7;
(3)单项式乘单项式法则:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母