（ ）．
A.
B.
C.
D.
4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为（ ）．
A．25B．10C．7D．6
5．设某运动员投篮投中的概率为P＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________．
考向一 由统计数据求离散型随机变量的分布列
【例1】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数
分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学
（1）求这两名同学的植树总棵数y的分布列；
（2）每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．
【训练1】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是________．
考向二 由古典概型求离散型随机变量的分布列
【例2】►袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量X的分布列；（3）求甲取到白球的概率．
【训练2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求X的分布列；
（2）求此员工月工资的期望．
考向三 由独立事件同时发生的概率求离散型随
机变量的分布列
【例3】某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为
，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X＝0）＝
，则随机变量X的数学期望E（X）＝________.
【训练3】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是
.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是
.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）．
规范解答22——求离散型随机变量的分布列
【问题研究】离散型随机变量的分布列问题是新课标教材概率统计中的一个重要的内容，从近几年新课标区高考试题来看，每年都有考查，而且它是进行概率计算，期望与方差计算的重要依据.
【解决方案】
（1）用好概率分布列的性质：
在随机变量的分布列中随机变量各个可能值对应的概率均符合概率的一般性性质，并且所有的概率之和等于1.
（2）掌握好几个特殊分布的分布列：
如两点分布、超几何分布、二项分布等.
【示例】在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.
（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列．
【试一试】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为
，且各次射击的结果互不影响．
（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；
（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；
（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．
第5讲 二项分布及其应用
【2013年高考会这样考】
1．考查条件概率和两个事件相互独立的概念．
2．考查n次独立重复试验的模型及二项分布．
3．能解决一些简单的实际问题．
【复习指导】
复习时要把事件的独立性、事件的互斥性结合起来，会对随机事件进行分析，即把一个随机事件分拆成若干个互斥事件之和，再把其中的每个事件分拆成若干个相互独立事件之积，同时掌握好二项分布的实际意义及其概率分布和数学期望的计算方法．
基础梳理
1．条件概率及其性质
（1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示，其公式为P（B|A）＝
.
在古典概型中，若用n（A）表示事件A中基本事件的个数，则P（B|A）＝
.
（2）条件概率具有的性质：
①0≤P（B|A）≤1；
②如果B和C是两互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）．
2．相互独立事件
（1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．
（2）若A与B相互独立，则P（B|A）＝P（B），
P（AB）＝P（B|A）·P（A）＝P（A）·P（B）．
（3）若A与B相互独立，则A与
，
与B，
与
也都相互独立．
（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
（1）独立重复试验
独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
（2）二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）＝C
pk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
一种关系
可先定义条件概率P（B|A）＝
，当P（B|A）＝P（B）即P（AB）＝P（A）P（B）时，事件B与事件A独立．但是要注意事件A、B、C两两独立，但事件A、B、C不一定相互独立．
两种算法
计算条件概率有两种方法．
（1）利用定义P（B|A）＝
；
（2）若n（C）表示试验中事件C包含的基本事件的个数，则
P（B|A）＝
.
双基自测
1．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）．
A.
B.
C.
D.
2．小王通过英语听力测试的概率是
，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（ ）．
A.
B.
C.
D.
3．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为（ ）．
A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576
4．如果X～B
，则使P（X＝k）取最大值的k值为（ ）．
A．3B．4C．5D．3或4
5．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
考向一 条件概率
【例1】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
【训练1】如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）＝________；
（2）P（B|A）＝________.
考向二 独立事件的概率
【例2】根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；
（2）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
【训练2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
（1）求红队至少两名队员获胜的概率；
（2）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
考向三 独立重复试验与二项分布
【例3】►一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
.
（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
【训练3】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（2）任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．
阅卷报告18——对二项分布理解不准致误
问题诊断】二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生.但在试题中，有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况.
【防范措施】要记住二项分布概率模型的特点，在解题时把符合这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型的公式解决.
【示例】►某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
【试一试】某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为
.
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率．
第6讲 离散型随机变量的均值与方差
【2013年高考会这样考】
1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．
2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题．
【复习指导】
均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．
基础梳理
离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
两个防范
在记忆D（aX＋b）＝a2D（X）时要注意：
D（aX＋b）≠aD（X）＋b，D（aX＋b）≠aD（X）．
三种分布
（1）若X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）；
（2）X～B（n，p），则
E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）；
（3）若X服从超几何分布，
则E（X）＝n
.
六条性质
（1）E（C）＝C（C为常数）
（2）E（aX＋b）＝aE（X）＋b（a、b为常数）
（3）E（X1＋X2）＝EX1＋EX2
（4）如果X1，X2相互独立，则E（X1·X2）＝E（X1）E（X2）
（5）D（X）＝E（X2）－（E（X））2
（6）D（aX＋b）＝a2·D（X）
双基自测
1样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）．
A.
B.
C.
D．2
2．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为（ ）．
A.
B．4C．－1D．1
3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E（ξ）＝8.9，则y的值为________．
A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9
4．设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则（ ）．
A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45
5．随机变量ξ的概率分布列由下表给出：
ξ
7
8
9
10
P
0.3
0.35
0.2
0.15
该随机变量ξ的均值是________．
考向一 离散型随机变量的均值和方差
【例1】►A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
对阵队员
A队队员胜的概率
A队队员负的概率
A1和B1
A2和B2
A3和B3
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y
（1）求X，Y的分布列；
（2）求E（X），E（Y）．
【训练1】本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为
，
；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
，
；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
考向二 均值与方差性质的应用
【例2】►设随机变量X具有分布P（X＝k）＝
，k＝1,2,3,4,5，求E（X＋2）2，D（2X－1），
.
【训练2】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4）．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
（1）求X的分布列、期望和方差；
（2）若η＝aX＋b，E（η）＝1，D（η）＝11，试求a，b的值．
考向三 均值与方差的实际应用
【例3】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
（1）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数学期望E（X1）＝6，求a，b的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（3）在
（1）、
（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？
说明理由．
注：
（1）产品的“性价比”＝
；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性．
【训练3】某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：
一年后可能获利10%，可能损失10%，可能
不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为
，
，
；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α＋β＝1）．
（1）如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益（收益＝回收资金－投资资金），求X的概率分布及E（X）；
（2）若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．
规范解答23——离散型随机变量的均值与方差的计算
【问题研究】期望和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征，是高考概率考查的重要知识点，常与排列组合、导数等知识相结合，对考查生的数学应用能力、数学表达能力、创新能力都进行了考查．
【解决方案】
（1）掌握好期望与方差的性质．
（2）记住或理解一些特殊分布的均值与方差，如两点分布、二项分布等．（3）注意运算技巧，随机变量的均值与方差计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为二项分布的期望与方差，运用期望与方差的性质简化运算，运算时注意一些项的合并．
【示例】►（本小题满分12分）甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为
，乙机投弹一次命中目标的概率为
，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响．
（1）若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；
（2）记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【试一试】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
（1）如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．
（注：
方差s2＝
[（x1－
）2＋（x2－
）2＋…＋（xn－
）2]，其中
为x1，x2，…，xn的平均数）
第7讲 正态分布
【2013年高考会这样考】
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【复习指导】
掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数μ、σ的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率．
基础梳理
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x）＝
e－
，
x∈（－∞，＋∞），其中实数μ和σ（σ>0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（－∞，＋∞）．
②解析式中含有两个常数：
π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：
μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为
，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为－
.
六条性质
正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x）＝
e－
，x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值
；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
双基自测
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝
e－
，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（ ）．
A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10
2．）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（ ）．
A．0.6B．0.4C．0
升级会员 