一次方程组和不等式组的应用.docx
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一次方程组和不等式组的应用
一次方程（组）和不等式（组）的应用
1．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
2．某商店计划购进甲、乙两种笔记本，已知2本甲笔记本与3本乙笔记本的总进价为42元，2本甲笔记本与1本乙笔记本的总进价为22元．
（1）求甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？
（2）该商店计划购进两种笔记本共40本，其中甲笔记本的数量不超过乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，求共有几种进货方案，并指出哪种方案最省钱．
甲
乙
进价（元/件）
15
35
售价（元/件）
20
45
3．某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？
并直接写出其中获利最大的购货方案．
4．某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建中、小型两种图书室共30个．计划养殖类图书不超过2000本，种植类图书不超过1600本．已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本．
（1）符合题意的组建方案有几种？
请写出具体的组建方案；
（2）若组建一个中型图书室的费用是2000元，组建一个小型图书室的费用是1500元，哪种方案费用最低，最低费用是多少元？
5．某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案？
6．某小区为了营造优雅宜居人文环境，积极推进小区绿地、主题公园、休闲场地建设，小区利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A，B两种园艺造型摆放在中央大道两侧，搭配数量如下表所示：
（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元．若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元．则A、B两种园艺造型的单价分别是多少元？
甲种花卉（盆）
乙种花卉（盆）
A种园艺造型（个）
80盆
40盆
B种园艺造型（个）
50盆
90盆
（2）如果搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？
请你帮忙设计出来．
7．某地图书馆为了满足群众多样化阅读的需求，决定购买甲、乙两种品牌的电脑若干组建电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的电脑单价分别3100元和4600元．
（1）若购买甲、乙两种品牌的电脑共50台，恰好支出200000元，求甲、乙两种品牌的电脑各购买了多少台？
（2）若购买甲、乙两种品牌的电脑共50台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过160000元，共有几种购买方案？
并说明哪种方案最省钱．
8．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元．
（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
（2）药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？
A型
B型
价格（万元/台）
a
b
年载客量（万人/年）
60
100
9．延庆区由于生态质量良好、自然资源丰富，成为北京的生态涵养区，是其生态屏障和水源保护地．为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求a，b的值；
（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少．
10．某公交公司将淘汰“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？
哪种购车方案总费用最少？
最少总费用是多少？
11．江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？
请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
12．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表．
A种产品
B种产品
成本（万元/件）
2
5
利润（万元/件）
1
3
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，求工厂的最大利润？
13．攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了1箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．
（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？
（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．
14．为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
运动鞋价格
甲
乙
进价（元/双）
m
m﹣20
售价（元/双）
240
160
15．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．
已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共用10000元
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）超过21000元，且不超过22000元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在
（2）的条件下，专卖店准备决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
16．某班级到毕业时共结余经费1350元，班委会决定拿出不少于285元但不超过300元的资金布置毕业晚会会场，其余资金用于在毕业晚会上给43位同学每人购买一件纪念品，纪念品为文化衫或相册．已知每件文化衫比每本相册贵6元，用202元恰好可以买到3件文化衫和5本相册．
（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元；
（2）有几种购买文化衫和相册的方案？
哪种方案用于布置毕业晚会会场的资金更充足？
17．某校九年级
（1）班准备购买大课间活动器材呼啦圈和跳绳，已知购买1根跳绳和2个呼啦圈要35元，购买2根跳绳和1个呼啦圈要25元．
（1）求每根跳绳、每个呼啦圈各多少元？
（2）根据班级实际情况，需购买跳绳和呼啦圈的总数量为30，总费用不超过300元，但不低于280元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．
18．星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
200
250
电压锅
160
200
（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？
（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的
，问橱具店有哪几种进货方案？
并说明理由；
（3）在
（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
19．某商店欲购进A、B两种商品，已知B的进价是A的进价的3倍，进3件A商品和1件B商品恰好用360元，A、B两种商品的售价每件分别为100元、230元，该商店决定用不少于14100元且不超过14500元购进这两种商品共100件．
（1）求这两种商品的进价．
（2）该商店有几种进货方案？
哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？
20．某科技有限公司准备购进A和B两种机器人来搬运化工材料，已知购进A种机器人2个和B种机器人3个共需16万元，购进A种机器人3个和B种机器人2个共需14万元，请解答下列问题：
（1）求A、B两种机器人每个的进价；
（2）已知该公司购买B种机器人的个数比购买A种机器人的个数的2倍多4个，如果需要购买A、B两种机器人的总个数不少于28个，且该公司购买的A、B两种机器人的总费用不超过106万元，那么该公司有哪几种购买方案？
造型
甲
乙
A
90盆
30盆
B
40盆
100盆
21．园林部门用3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，挂放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所要花盆数如表，综合上述信息，解答下列问题．
（1）符合题意的搭配方案有哪几种？
（2）若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个乙种造型的成本为1200元，选
（1）中那种方案的成本最低？
22．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元，且生成B产品要超过38件，求有哪几种符合条件的生产方案？
23．某体育馆计划从一家体育用品商品一次性购买若干个排球和篮球（每个排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同），双方洽谈的信息如下：
信息一：
购买1个排球和2个篮球共需210元；
信息二：
购买2个排球和3个篮球共需340元；
信息三：
购买排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买排球的个数少于30个．
（1）每个排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆有几种购买方案？
应选择哪种购买方案可使总费用最低？
最低费用是多少元？
24．为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求．市场营销人员经过市场调查得到如下信息：
成本价（万元/辆）
售价（万元/辆）
A型
30
32
B型
42
45
（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？
（2）在
（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？
最大利润是多少？
25．学校为了创建示范教育标准校，计划购进一批台式电脑和笔记本电脑，经过市场调研得知，购买1台台式电脑和2台笔记本电脑共需3.5万元，购进2台台式电脑和3台笔记本电脑共需5.5万元．
（1）每台台式电脑，笔记本电脑各需多少万元？
（2）学校计划购进台式电脑和笔记本电脑共30台，总费用不超过28万元，且不低于26万元，通过计算确定学校有哪几种购买方案．
26．某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg．
（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组．
（2）问一共有几种符合要求的生产方案？
并列举出来．
（3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？
27．某商场销售国外、国内两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：
国外品牌
国内品牌
进价（元/部）
4400
2000
售价（元/部）
5000
2500
该商场计划购进两种手机若干部，共需14.8万元，预计全部销售后可毛获利润共2.7万元．
（1）该商场计划购进国外品牌、国内品牌两种手机各多少部？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少国外品牌手机的购进数量，增加国内品牌手机的购进数量．已知国内品牌手机增加的数量是国外品牌手机减少的数量的3倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过15.6万元，该商场应该怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？
并求出最大毛利润．
28．五一期间，为满足百姓的消费需求，某商场计划再购进彩电和冰箱共10台进行销售．已知商场的可用资金为19000元，购进1台彩电和2台冰箱需5200元．购进2台彩电和1台冰箱需5600元，卖1台彩电可获利400元，卖一台冰箱可获利300元．
（1）1台彩电和1台冰箱的进价各是多少元？
（2）销售完这10台家电后，要使商场获得最大利润，则应购进彩电多少台？
最大利润为多少元？
29．某超市准备购进A、B两种品牌的饮料共100件，两种饮料每件利润分别是15元和13元．设购进A种饮料x件，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）根据两种饮料历次销量记载：
A种饮料至少购进30件，B种饮料购进数量不少于A种饮料件数的2倍．问：
A、B两种饮料进货方案有几种？
哪一种方案能使超市所获利润最高？
最高利润是多少？
A
B
成本（元）
50
35
利润（元）
20
15
30．某酒厂生产A、B两种品牌的酒，每天两种酒共生产600瓶，每种酒每瓶的成本和利润如下表所示．设每天共获利y元，每天生产A种品牌的酒x瓶．
（1）请写出y关于x的函数关系式；
（2）如果该厂每天至少投入成本25000元，且生产B种品牌的酒不少于全天产量的55%，那么共有几种生产方案？
并求出每天至少获利多少元？
一次方程（组）和不等式（组）的应用
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
【解答】
（1）解：
设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：
，
解之得：
，
答：
设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）解：
设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；
由题意得：
解之得：
8≤m≤10
因为m取整数，所以m可以取的值为：
8，9，10
即：
学校的购买方案有以下三种：
方案一：
甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：
甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：
甲种书柜10个，乙种书柜10个．
2．某商店计划购进甲、乙两种笔记本，已知2本甲笔记本与3本乙笔记本的总进价为42元，2本甲笔记本与1本乙笔记本的总进价为22元．
（1）求甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？
（2）该商店计划购进两种笔记本共40本，其中甲笔记本的数量不超过乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，求共有几种进货方案，并指出哪种方案最省钱．
【解答】解：
（1）设甲、乙两种笔记本的进价分别是x元、y元，
，得
，
答：
甲、乙两种笔记本的进价分别是6元、10元；
（2）设购进甲笔记本a本，
，
解得，17.5≤a≤20，
∵a是整数，
∴a=18、19、20，即共有三种进货方案，
∵甲、乙两种笔记本的进价分别是6元、10元，
∴当购买甲笔记本20本，乙笔记本20本时最省钱．
3．某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：
甲
乙
进价（元/件）
15
35
售价（元/件）
20
45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？
并直接写出其中获利最大的购货方案．
【解答】解：
（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得：
．
解得：
．
答：
甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件．
根据题意得
．
解不等式组，得65＜a＜68．
∵a为非负整数，∴a取66，67．
∴160﹣a相应取94，93．
方案一：
甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．
方案二：
甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．
答：
有两种购货方案，其中获利最大的是方案一．
4．某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建中、小型两种图书室共30个．计划养殖类图书不超过2000本，种植类图书不超过1600本．已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本．
（1）符合题意的组建方案有几种？
请写出具体的组建方案；
（2）若组建一个中型图书室的费用是2000元，组建一个小型图书室的费用是1500元，哪种方案费用最低，最低费用是多少元？
【解答】解：
（1）设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室（30﹣x）个．
由题意，得
，
化简得
，
解这个不等式组，得20≤x≤22．
由于x只能取整数，∴x的取值是20，21，22．
当x=20时，30﹣x=10；
当x=21时，30﹣x=9；
当x=22时，30﹣x=8．
故有三种组建方案：
方案一，中型图书室20个，小型图书室10个；
方案二，中型图书室21个，小型图书室9个；
方案三，中型图书室22个，小型图书室8个．
（2）方案一的费用是：
2000×20+1500×10=55000（元）；
方案二的费用是：
2000×21+1500×9=55500（元）；
方案三的费用是：
2000×22+1500×8=56000（元）；
故方案一费用最低，最低费用是55000元
5．某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案？
【解答】解：
（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，
根据题意得40x+30（20﹣x）=650，
解得x=5，
则20﹣x=15，
答：
甲种奖品购买了5件，乙种奖品购买了15件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，
根据题意得
，解得
≤x≤8，
∵x为整数，
∴x=7或x=8，
当x=7时，20﹣x=13；当x=8时，20﹣x=12；
答：
该公司有2种不同的购买方案：
甲种奖品购买了：
7件，乙种奖品购买了13件或甲种奖品购买了8件，乙种奖品购买了12件．
6．某小区为了营造优雅宜居人文环境，积极推进小区绿地、主题公园、休闲场地建设，小区利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A，B两种园艺造型摆放在中央大道两侧，搭配数量如下表所示：
甲种花卉（盆）
乙种花卉（盆）
A种园艺造型（个）
80盆
40盆
B种园艺造型（个）
50盆
90盆
（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元．若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元．则A、B两种园艺造型的单价分别是多少元？
（2）如果搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？
请你帮忙设计出来．
【解答】解：
（1）设A种园艺造型单价为x元，B种园艺造型单价为y元，根据题意得：
，
解得：
，
答：
A种园艺造型单价是200元，B种园艺造型单价是300元．
（2）设搭配A种园艺造型a个，搭配B种园艺造型（50﹣a）个，根据题意得：
，
解此不等式组得：
31≤a≤33，
∵a是整数，
∴符合题意的搭配方案有3种，如下：
A种园艺造型（个）
B种园艺造型（个）
方案1
31
19
方案2
32
18
方案3
33
17
7．某地图书馆为了满足群众多样化阅读的需求，决定购买甲、乙两种品牌的电脑若干组建电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的电脑单价分别3100元和4600元．
（1）若购买甲、乙两种品牌的电脑共50台，恰好支出200000元，求甲、乙两种品牌的电脑各购买了多少台？
（2）若购买甲、乙两种品牌的电脑共50台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过160000元，共有几种购买方案？
并说明哪种方案最省钱．
【解答】解：
（1）设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了y台，则
，
解得
，
答：
甲种品牌的电脑购买了20台，乙种品牌的电脑购买了30台．
（2）设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了
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