正方形与圆的面积关系.docx

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正方形与圆的面积关系

外方内圆、外圆内方

两个核心问题：

1、引导学生经历问题解决的全过程。

根据信息提出问题——分析问题——解决问题——回顾与反思。

2、引导学生克服思维定式，多维思考。

指导思想：

《数学课程标准》中提到：

重视学生在学习活动中的主体地位。

学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断的得到发展。

教师应成为学生学习生活的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件。

本节课主要是让学生通过中国建筑中的“外方内圆”和“外圆内方”来进行讨论两个图形的面积关系。

圆形面积是学生刚刚接触的，但是正方形面积是学生已经学习的旧知识。

但是两个图形的关系是学生未接触的领域。

因此，在本节课书学习时，我将从学生动手操作、自主探究的角度创设学习情境，通过学生自己动手操作，帮助学生直观掌握圆形和正方形图形的联系。

另外一方面，我将通过学生的自主探究也就是学生自己独立思考解决圆形、正方形的面积，引导学生自己汇报自己的解答过程，通过学生表达个人观点和思路，提升自己的语言运用能力以及感受数学学习中的乐趣。

同时通过这种个人和合作分享的交流展示实践活动，发展学生的数学思维能力。

本节课是六年级上册第五单元圆中的一节课。

本单元教学内容主要是圆的认识而展开。

这一课时主要谈论圆的面积和正方形面积的关系，在学习这节课之前主要是圆的面积以及圆环的面积的学习，为这节课探究圆与正方形的面积关系联系做好铺垫。

本节课的教学内容是由中国建筑中常能见到的“外方内圆”和“外圆内方”的设计引出这两个图形面积间的关系。

综合分析学生的认知，本节课主要是让学生自己探究两者间的关系。

圆形与正方形的面积关系也是本节课的重点教学。

2、学生情况：

（一）学生已有知识

1、掌握了圆的面积公式，能运用了圆的面积公式救出圆的面积。

2、已掌握了正方形的面积公式及计算。

3、已经掌握如何求两个量间的关系（用分数和比表示）。

（二）学生基本情况

学生对于基本思想、基本活动经验的积累较少；大部分学生对于抽象问题的思考能力上相对欠缺，自己解决问题的思维以及语言表达能力有限，学生小组讨论学习时常常听别人说和引导而不是自己想办法，因此大部分学生在学习过程中不能积极主动的参与教学活动，多数的学习是被动形成知识网络。

3、教学方式：

1、学生自己动手操作：

由教师介绍中国建筑的外圆内方、外方内圆后，让学生自己动手画一个边长为6cm的正方形，在正方形内画最大的圆，圆内再画最大的正方形。

通过学生自己动手作图，提高学生的动手操作能力。

2、合作分享法：

学生利用自己画出的图形，进行自主探究圆形与正方形面积间的联系，加深学习的印象。

同时通过小组讨论得到结论，学生进行了组织语言的培养，提高了小组合作能力、思维能力。

四、教学手段：

1、练习法：

通过学生自己动手操作画正方形与圆，进一步理解圆的直径、半径与正方形边长以及对角线间的关系；

2、课堂讨论法：

通过学生自己自主思考后，进行分组讨论，让学生对于圆的面积与正方形面积间的关系有更深层的了解。

五、技术准备：

多媒体，教科书

1、知识与技能目标

1、进一步了解圆的基本特征，巩固圆的面积公式，外接正方形与圆内切正方形以及圆的面积这三者间的关系。

2、能够使用外接正方形与圆内切正方形以及圆的面积这三者间的关系，解决实际问题。

3、学生能够自己通过作图画出圆内切正方形以及圆外接正方形。

2、过程与方法目标

1、通过PPT演示图片，让学生知道中国建筑中的“外方内圆”和“外圆内方”，要求学生自己先画出边长为6厘米的正方形，在正方形里画一个最大的圆，在圆里再画出一个最大的正方形。

个人画完图形后，小组同学互相查看对方画的图形是否正确，并说说自己是怎样画的；老师投影出学生画的图形，让学生提出数学问题。

2、通过学生提出的圆的面积、外接正方形的面积、内切正方形的面积、大正方形面积－圆的面积以及圆的面积－内切正方形面积，要求学生先自主解决问题；学生自主解决后小组间讨论自己的解题思路，并以小组的方式进行汇报。

3、小组汇报完后，老师引导学生是否能够用字母表示这三个图形间的面积关系，并进行小组讨论，并小组汇报答案。

通过小组汇报答案，以及投影的直观展示，帮助学生理解其关系。

3、情感态度价值观

通过学生自主解决问题并以小组合作的方式解决圆的面积与正方形面积间的关系，激发学生对学习数学的乐趣。

4、教学重难点

（1）教学重点

理解并掌握圆的面积与正方形面积间的关系

（2）教学难点

明确圆的面积与正方形面积间的关系

1、创设情境问题，引出问题。

活动一：

谈话引入“外方内圆”和“外圆内方”的图形。

活动目的：

通过谈话以及PPT展示，让学生知道“外方内圆”和“外圆内方”这两类图形。

实施方法与师生语言预设：

师：

我们已经学习了圆形，在古代中国的建筑中古人常常用圆形和正方形进行建筑，于是便有了“外方内圆”和“外圆内方”。

（展示PPT让学生观看图片）大家看看这些图形，都有什么图形？

生：

圆形、正方形

师：

对。

那么现在大家一起用这两个图形再画出一个新的图形。

大家先画出一个边长6厘米的正方形，在正方形中画出最大的圆，再在圆里画出一个最大的正方形。

二、学生自己动手画图

活动一：

学生自主画图

活动目的：

通过学生自己画图的过程中体会圆与正方形图形间的联系。

实施方法：

师观察学生画图，并适时进行指导。

设计意图：

促进学生自己动手画图，同时让学生画图过程中体会两图形中的图形联系。

活动二：

小组间讨论每人的画图方法

活动目标：

通过小组间的讨论，让学生间讨论自己画图的方法，让学生知道圆的直径与正方形边长的关系。

小组汇报，

生：

在正方形中画最大的圆，那么圆的直径等于正方形的边长。

圆中画正方形就先画出正方形的对角线，正方形的对角线垂直。

设计意图：

通过小组间的讨论让学生知道圆的直径等于最大正方形的边长，圆的直径是小正方形的对角线。

同时为下一步圆与正方形面积的关系做铺垫。

三、揭示圆与正方形的面积关系

活动一：

引出问题

活动目的：

通过学生自己提出问题，并自己解决问题，激发学生学习数学的兴趣。

实施方法与师生语言预设：

师：

大家已经完成了图形设计，那么你们看着自己画的图形能提出数学问题么？

生：

圆的面积是多少？

大正方形的面积是多少？

小正方形的面积是是多少？

师：

那么大家再看看，我们今天的课题圆与正方形的面积关系，既然是关系，我们还能提出什么问题？

生：

大正方形面积－圆的面积

圆的面积－小正方形的面积

活动二：

进行计算解答

活动目的：

学生自己独立解决问题，并小组讨论以小组汇报的形式说明解答思路，锻炼学生的分析问题能力、语言的表达能力。

1、学生独立解答问题

预设：

方法一：

a＝d＝6cmr＝6÷2＝3（cm）

S正外＝6²＝36（cm²）

S圆＝3.14×3²＝28.26（cm²）

S外正－s圆＝36－28.26＝7.74（cm²）

S圆－S内正=28.26－18=10.26（cm²）

S内正：

6×3÷2×2＝18（cm²）

关注点：

学习知识迁移的能力——将正方形转化成两个三角形的面积进行计算

方法二：

S内正：

3×3÷2×4＝18（cm²）

关注点：

学习迁移的能力——将正方形转化成四个三角形的面积进行计算

方法三：

S内正：

③6×3=18（cm²）

指导点：

对图形转换的思想，将小正方形转化为长方形，面积是大正方形的一半。

设计意图：

画图中学生已经了解圆直径与外接正方形边长以及内切正方形对角线的关系，因此要求学生自己先独立解决圆与正方形的面积。

2、小组讨论并汇报圆、外接正方形、内切正方形，三者间的面积。

①小组汇报解答的结果

②不同解答思路的同学进行补充答案。

③引导学生看图从不同方面进行观察，一题多解。

设计意图：

通过小组的汇报以及学生的补充不同解答思路，增强学生语言表达能力，同时让学生体会数学中的一题多解的数学思维。

3、用字母表示圆与正方形面积间的关系。

实施方法与师生语言预设：

师：

我们刚刚已经准确的计算出了圆、外接正方形、内切正方形以及他们之间的面积差，那么如果我们用字母r表示圆的半径，那么大家想一想如何用字母来表示着三者之间的关系？

小组讨论得出结果。

小组汇报：

圆πr²外接正方形4r²内切正方形2r²

圆与外接正方形面积差：

0.86r²

圆与内切正方形面积差：

1.14r²

师：

我们已经用字母表示出了他们之间的关系，那么圆、外接正方形、内切正方形写成连比怎样写？

生：

S外正：

s圆：

s内正＝4r²：

πr²：

2r²＝4：

π：

2

师：

你能谈谈你对这个连比是怎么理解的呢？

生：

外切正方形是圆面积的

，圆面积是外切正方形的

。

圆面积是内接正方形的

，内接正方形是圆面积的

.

外切正方形是内接正方形面积的2倍，内接正方形是外切正方形面积的

设计意图：

通过学生自己小组合作的方式进行解决问题，将具体的计算得数抽象成字母、连比的方式，学生能够直观的观察字母表示的面积以及比的关系，清楚的了解正方形与圆的面积间的关系。

4、运用知识解决问题

①学生读题后自主解决问题。

②学生汇报解题过程。

引导学生一题多解。

③集体订正答案。

设计意图：

通过学生自己独立完成书上做一做，加深学生对于正方形与圆面积关系的知识体系。

同时提倡学生一题多解，要求学生解题要不同的角度思考问题，锻炼学生的分析图的能力。

5、课堂小结

实施方法与师生语言预设：

师：

这节课我们学习了什么？

1、激发学生兴趣，学生主动探究

本节课中，增加了一些让学生自己动手操作的设计，以增加学生的学习兴趣。

首先让学生自己动手画图，画出圆与正方形后引导学生自己看图提出数学问题，并自主解决问题。

主要分为两个部分：

①课前五分钟学生自主画图，通过自己动手操作画图，增加学生对于正方形、圆的了解。

②学生画图后小组讨论自己是如何画图的，通过讨论加深学生对于图形的理解和认识。

2、发展学生思维，提高语言表达能力。

本节课中，由于数学解题的不同角度出发解答答案不同，因此我在以下两个环节中锻炼的数学的思维，并给他们锻炼提高自己语言表达能力的机会。

①在进行个人独立解答后，要求小组分享自己的解题过程。

在这一环节中要求学生分享不同的解题思路，并渗透一题多解的思想。

②小组分享解答过程后，小组汇报。

这一环节给学生语言表达的机会，在小组汇报结束后其他小组可以继续补充，也给了其他人课堂发言的机会，同时锻炼的学生的语言表达能力。

3、学生合作分享，课堂主体归于学生，教师属于引导角色。

本节课中，渗透了“合作分享”课题的思想，在学生解答问题后要求学生小组合作讨论，在小组内达成一致后并小组分享小组的成果。

我在计算圆、外接正方形、内切正方形面积间的关系应用了“合作分享”的主题思想，让学生在合作中学习。