高考数学考点测试24正弦定理和余弦定理.docx

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高考数学考点测试24正弦定理和余弦定理

考点测试24　正弦定理和余弦定理

高考概览

本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度

考纲研读

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

一、基础小题

1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于（　　）

A．135°B．105°C．45°D．75°

答案　C

解析　由正弦定理知＝，即＝，所以sinA＝，又由题知0°

2．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则＝（　　）

A．B．C．D．

答案　C

解析　在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcosA，代入得49＝25＋AC2＋5AC，解得AC＝3或AC＝－8（舍去），所以＝＝，故选C．

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2＋c2－b2）tanB＝ac，则角B的值为（　　）

A．B．

C．或D．或

答案　C

解析　由余弦定理，知a2＋c2－b2＝2accosB，所以由（a2＋c2－b2）tanB＝ac可得2accosB·＝ac，所以sinB＝，所以B＝或，故选C．

4．在△ABC中，若sin2A＋sin2B

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不能确定

答案　C

解析　由正弦定理得a2＋b2

5．已知△ABC中，cosA＝，cosB＝，BC＝4，则△ABC的面积为（　　）

A．6B．12C．5D．10

答案　A

解析　因为cosA＝，cosB＝，所以sinA＝，sinB＝，则由正弦定理得＝，所以AC＝＝3，则由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即32＝AB2＋42－8×AB，解得AB＝5，所以△ABC是以AC，BC为直角边的直角三角形，所以其面积为×3×4＝6，故选A．

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝6∶4∶3，则＝（　　）

A．－B．C．－D．－

答案　A

解析　不妨设a＝6，b＝4，c＝3，由余弦定理可得cosA＝＝－，则＝＝＝＝－，故选A．

7．在△ABC中，“sinA

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　根据正弦定理，“sinA

8．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）

A．b＝10，A＝45°，C＝60°B．a＝6，c＝5，B＝60°

C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝7，b＝5，A＝60°

答案　C

解析　由条件解三角形，其中有两解的是已知两边及其一边的对角．C中，sinB＝＝＝<1，b>a，B>A，角B有两个解，故选C．

二、高考小题

9．（2018·全国卷Ⅱ）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（　　）

A．4B．C．D．2

答案　A

解析　因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC×ACcosC＝1＋25－2×1×5×－＝32，∴AB＝4．故选A．

10．（2018·全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝（　　）

A．B．C．D．

答案　C

解析　由题可知S△ABC＝absinC＝，所以a2＋b2－c2＝2absinC．由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC．∵C∈（0，π），∴C＝，故选C．

11．（2017·山东高考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1＋2cosC）＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是（　　）

A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A

答案　A

解析　解法一：

因为sinB（1＋2cosC）＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin（A＋C），所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB，

即cosC（2sinB－sinA）＝0，

所以cosC＝0或2sinB＝sinA，

即C＝90°或2b＝a，

又△ABC为锐角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a．

故选A．

解法二：

由正弦定理和余弦定理得

b1＋＝2a·＋c·，

所以2b21＋＝a2＋3b2－c2，

即（a2＋b2－c2）＝a2＋b2－c2，

即（a2＋b2－c2）－1＝0，

所以a2＋b2＝c2或2b＝a，

又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a．故选A．

12．（2018·浙江高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________．

答案　　3

解析　由＝得sinB＝sinA＝，由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c2－2c－3＝0，解得c＝3（舍去负值）．

13．（2018·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．

答案　

解析　根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinC·sinB＝4sinAsinBsinC，即sinA＝，结合余弦定理可得2bccosA＝8，所以A为锐角，且cosA＝，从而求得bc＝，所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝××＝．

三、模拟小题

14．（2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c（1－3cosB），则sinC∶sinA＝（　　）

A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶2

答案　C

解析　由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，3sin（B＋C）＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，故选C．

15．（2018·合肥质检）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin（C－A）＝sinB，且b＝4，则c2－a2＝（　　）

A．10B．8C．7D．4

答案　B

解析　依题意，有sinCcosA－cosCsinA＝sinB，由正弦定理得ccosA－acosC＝b；再由余弦定理可得c·－a·＝b，将b＝4代入整理，得c2－a2＝8，故选B．

16．（2018·珠海摸底）在△ABC中，已知角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则△ABC的面积为________．

答案　

解析　根据余弦定理，有a2＋b2－2abcosC＝c2，即16b2＋b2－8b2×＝13，所以b2＝1，解得b＝1，所以a＝4，所以S△ABC＝absinC＝×4×1×＝．

17．（2018·贵阳期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＝bcosA，a＝4，若△ABC的面积为4，则b＋c＝________．

答案　8

解析　由asinB＝bcosA得＝，再由正弦定理＝，所以＝，即tanA＝，又A为△ABC的内角，所以A＝．由△ABC的面积为S＝bcsinA＝bc×＝4，得bc＝16．再由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝32，所以b＋c＝＝＝＝8．

18．（2018·长春质检）已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sinA，角A的平分线AD交BC于点D，AD＝，a＝，则b＝________．

答案　1

解析　由S＝bcsinA＝b2sinA，可知c＝2b，由角平分线定理可知，＝＝＝2．又BD＋CD＝a＝，所以BD＝，CD＝．在△ABD中，因为BD＝AD＝，AB＝c＝2b，所以cos∠ABD＝＝b，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABD，所以b2＝4b2＋3－4bcos∠ABD＝3＋4b2－6b2，解得b＝1．

一、高考大题

1．（2018·全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC＝2，求BC．

解　

（1）在△ABD中，由正弦定理，得＝．

由题设知，＝，所以sin∠ADB＝．

由题设知，∠ADB<90°，

所以cos∠ADB＝＝．

（2）由题设及

（1）知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝．

在△BCD中，由余弦定理，得

BC2＝BD2＋DC2－2BD×DCcos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5．

2．（2017·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．

解　

（1）由题设得acsinB＝，即csinB＝．

由正弦定理得sinCsinB＝．

故sinBsinC＝．

（2）由题设及

（1）得cosBcosC－sinBsinC＝－，

即cos（B＋C）＝－，所以B＋C＝，故A＝．

由题设得bcsinA＝，即bc＝8．

由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，

即（b＋c）2－3bc＝9，得b＋c＝．

故△ABC的周长为3＋．

3．（2016·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c．

（1）求C；

（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

解　

（1）由已知及正弦定理得，

2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinC，

2cosCsin（A＋B）＝sinC．

故2sinCcosC＝sinC．因sinC≠0，

可得cosC＝，因为C∈（0，π），所以C＝．

（2）由已知，得absinC＝．

又C＝，所以ab＝6．

由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcosC＝7．

故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25，a＋b＝5．

所以△ABC的周长为5＋．

二、模拟大题

4．（2018·深圳4月调研）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且acosB＋bsinB＝c．

（1）求C的大小；

（2）若B＝，延长线段AB至点D，使得CD＝，且△ACD的面积为，求线段BD的长度．

解　

（1）由已知及正弦定理可得sinAcosB＋sin2B＝sinC．

因为sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，

所以sin2B＝cosAsinB．

因为B∈0，，所以sinB>0，所以sinB＝cosA，

即cos－B＝cosA．

因为A∈（0，π），－B∈0，，

所以－B＝A，即A＋B＝，所以C＝．

（2）设BD＝m，CB＝n．因为B＝，C＝，

所以A＝，∠DBC＝，且AC＝n，AB＝2n，AD＝2n＋m．所以S△ACD＝AC·AD·sinA＝×n×（2n＋m）×＝，即n（2n＋m）＝3，①

在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠DBC，即m2＋n2＋mn＝3，②

联立①②解得m＝n＝1，即BD＝1．

5．（2018·长沙统考）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＝c（a－c）＋b2．

（1）求角B的大小；

（2）设m＝2a－c，若b＝，求m的取值范围．

解　

（1）因为a2＝c（a－c）＋b2，所以a2＋c2－b2＝ac，

所以cosB＝＝．

又因为0

（2）由正弦定理得＝＝＝＝2，

所以a＝2sinA，c＝2sinC．

所以m＝2a－c＝4sinA－2sinC

＝4sinA－2sin－A

＝4sinA－2×cosA＋sinA

＝3sinA－cosA

＝2×sinA－cosA

＝2sinA－．

因为A，C都为锐角，则0

所以0

6．（2018·福建4月质检）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC－csinB＝a．

（1）求角B的大小；

（2）若a＝3，b＝7，D为边AC上一点，且sin∠BDC＝，求BD．

解　

（1）由正弦定理及bcosC－csinB＝a，

得sinBcosC－sinCsinB＝sinA，

所以sinBcosC－sinCsinB＝sin（B＋C），

所以sinBcosC－sinCsinB＝sinBcosC＋cosBsinC，

即－sinCsinB＝cosBsinC．

因为sinC≠0，所以－sinB＝cosB，所以tanB＝－．

又B∈（0，π），解得B＝．

（2）解法一：

在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，且a＝3，b＝7，

所以72＝32＋c2－2×3c×－，解得c＝5．

在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，

解得sinC＝．

在△BCD中，由正弦定理＝，

得＝，

解得BD＝．

解法二：

在△ABC中，由正弦定理＝，

及a＝3，b＝7，得sinA＝．

又因为B＝，所以0

则sinC＝sin（A＋B）＝sincosA＋cossinA

＝×－×＝．

在△BCD中，由正弦定理＝，

得＝，解得BD＝．