高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题复习课程docx.docx
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高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题复习课程docx
第一章解三角形
1、正弦定理：
在
C中，a、b、c分别为角
、
、C的对边，R为
C的外接圆的半径，则
有：
a
b
c
2R．
sin
sin
sinC
2、正弦定理的变形公式：
①a
2Rsin
，b
2Rsin
，c
2RsinC；
②sin
a
，sin
b
c
2R
，sinC
；
2R
2R
③a:
b:
c
sin:
sin
:
sinC；
④
a
b
c
a
b
c
sin
sinCsin
sin
．
sin
sinC
注意：
正弦定理主要用来解决两类问题：
1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
（一解、两解、无解三中情况）
如：
在三角形
ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求
B。
具体的做法是：
数形结合思想
画出图：
法一：
把a扰着C点旋转，看所得轨迹以
AD有无交点：
当无交点则B无解、
C
当有一个交点则
B有一解、
当有两个交点则
B有两个解。
a
法二：
是算出
CD=bsinA,看a的情况：
b
bsinA
当a当bsinAD
当a=bsinA或a>b时，B有一解
注：
当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：
SC1bcsin1absinC1acsin．
222
4、余弦定理：
在
C中，有a2
b2
c2
2bccos
c2
a2
b2
2abcosC
，b2
a2
c2
2accos，
．
5、余弦定理的推论：
b2
c2
a2
cos
2bc
，
a2
c2
b2
cos
2ac
，
a2
b2
c2
cosC
2ab
．
（余弦定理主要解决的问题：
1、已知两边和夹角，求其余的量。
2、已知三边求角）
1
6、如何判断三角形的形状：
设a、b、c是
C的角
、
、C的对边，则：
①若a2
b2
c2，则C
90o；
②若a2
b2
c2，则C
90o；
③若a
2
b
2
2
，则C
90
o
．
B
c
A
7、正余弦定理的综合应用
：
如图所示：
隔河看两目标
A、B,
但不能到达，在岸边选取相距
3千米的C、D两点，
O
O
O
并测得∠ACB=75,
∠BCD=45,
∠ADC=30,
O
、B、C、D在同一平面内
），求两目标
C
D
∠ADB=45（A
A、B之间的距离。
附：
三角形的五个“心”；
重心：
三角形三条中线交点.
外心：
三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：
三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：
三角形三边上的高相交于一点.
练习题
一、选择题
1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于（B
）
A．103
B．1031
C．31
D．103
2、三角形的两边分别为
5和3，它们夹角的余弦是方程
5x2
7x
60的根，则三角形的另一边长为
A．52
B．213
C．16
D．4
3、在△ABC中，若（a
c）（ac）
b（b
c），则A
（C
）
A900
B
600
C
1200
D
1500
4、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是
（D
）
A．b=10，A=45°，B=70
°
B
．a=60，c=48
，B=100°
C．a=7，b=5，A=80°
D
．a=14，b=16，A=45°
5、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶
3∶2，则A∶B∶C等于（A
）
A．1∶2∶3
B．2∶3∶1
C．1：
3：
2
D
．3：
1：
2
6、若△ABC的周长等于
20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是（C
）
A．5
B．6
C．7
D．8
二、填空题（每题
5分,共25分）
2
7、在ABC中，已知sinA:
sinB:
sinC6:
5:
4
，则cosA___________
8、在△ABC中，A=60°,b=1,面积为3，则
ab
c
=
sinB
sinA
sinC
9、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD
7
，那么BC=
2
10、在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是
a、b、c，边c
7
60，又△ABC的
，且C
2
面积为33，则ab
________________
2
三．解答题（2小题，共
40分）
1
13、在ABC中，sin（CA）1,sinB=
3
.（I）求sinA的值；（II）设AC=6，求ABC的面积.
知识点巩固练习
（一）
一、选择题
1．在△ABC中，若C900,a6,B
300，则c
b等于（
）
A．1B．1C．23D．23
2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（
）
A．sinAB．cosA
C．tanAD．
1
tanA
3．在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA
sinB,
则△ABC的形状是（
）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是
3，这条高与底边的夹角为
600，
则底边长为（
3
C．3
D
．2
3
）A．2B．
2
5．在△ABC中，若b
2asinB，则A等于（
）
A．300或600
B．
450或600
C．1200或600
D．
300或1500
6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（
）
3
A．900
B．1200
C．1350
D．1500
二、填空题
1．在Rt△ABC中，C
900，则sinAsinB的最大值是_______________。
2．在△ABC中，若a2
b2
bcc2,则A_________。
3．在△ABC中，若b
2,B
300,C
1350,则a_________。
4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC
7∶8∶13，则C_____________。
三、解答题
1．在△ABC中，若acosAbcosBccosC,则△ABC的形状是什么？
2．在△ABC中，求证：
a
b
c（cosB
cosA）
b
a
b
a
3．在锐角△ABC中，求证：
sinAsinBsinCcosAcosBcosC。
4
知识点巩固练习
（二）
一、选择题
1．在△ABC中，A:
B:
C
1:
2:
3，则a:
b:
c等于（
）
A．1:
2:
3
B．3:
2:
1
C．1:
3:
2
D．2:
3:
1
2．在△ABC中，若角B为钝角，则sinB
sinA的值（
）
A．大于零
B
．小于零C．等于零
D．不能确定
3
ABC
A
2B
，则a等于（
）
．在△
中，若
A．2bsinA
B．2bcosAC．2bsinB
D．2bcosB
4．在△ABC中，若lgsinA
lgcosB
lgsinC
lg2
，则△ABC的形状是（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．不能确定
D．等腰三角形
5．在△ABC中，若（a
b
c）（b
c
a）
3bc,则A
（
）
A．900
B
．600
C．1350
D．1500
6．在△ABC中，若a
7,b
8,cosC
13
，则最大角的余弦是（
）
14
A．
1
B
．
1
C．
1
1
5
6
D．
8
7
二、填空题
1．若在△ABC中，
A
600,b
1,SABC
3,则
ab
c
=_______。
sinA
sinB
sinC
2
A,B是锐角三角形的两内角，则
tanAtanB_____1
（填
>
<
）。
．若
或
3．在△ABC中，若sinA
2cosBcosC,则tanBtanC
_________。
4．在△ABC中，若a
9,b
10,c12,则△ABC的形状是_________。
5．在△ABC中，若a3,b2,c62,则A_________。
2
三、解答题
1．在△ABC中，A1200,cb,a21,SVABC3，求b,c。
5
2．在锐角△ABC中，求证：
tanAtanBtanC1。
A
B
C
3．在△ABC中，求证：
sinAsinBsinC4cos
coscos
。
2
2
2
4．在△ABC中，若AB1200，则求证：
ab1。
bcac
5．在△ABC中，若acos2C
ccos2A
3b
，则求证：
ac2b
2
2
2
6
知识点巩固练习（三）
一、选择题
1．A为△ABC
的内角，则sinA
cosA的取值范围是（
）
A．（2,2）
B．（
2,
2）
C．（
1,
2]
D．[
2,
2]
2．在△ABC中，若C
900,则三边的比a
b等于（
）
A．2cosA
B
B．2cosAB
c
2sinA
B
D．2sinAB
C．
2
2
2
2
3．在△ABC中，若a
7,b
3,c
8，则其面积等于（
）
21
C．28
D．63
A．12B．
2
4．在
中，
C90
0
，0
0
A45
0
，则下列各式中正确的是（
）
△ABC
A．sinA
cosA
B．sinB
cosA
C．sinA
cosB
D．sinBcosB
5．在△ABC中，若（a
c）（a
c）
b（b
c），则
A（
）
A．900
B．
600
C．1200
D．1500
tanA
a2
6．在△ABC中，若tanB
b2
，则△ABC的形状是（
）
A．直角三角形
B．等腰或直角三角形
C．不能确定
D．等腰三角形
二、填空题
1．在△ABC中，若sinAsinB,则A一定大于B，对吗？
填_________（对或错）
2．在△ABC中，若cos2Acos2Bcos2C1,则△ABC的形状是______________。
3．在△ABC中，∠C是钝角，设xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB,
则x,y,z的大小关系是___________________________。
4．在△ABC中，若ac2b，则cosAcosCcosAcosC1sinAsinC______。
3
5．在△ABC中，若2lgtanBlgtanAlgtanC,则B的取值范围是_______________。
6．在△ABC中，若b2ac，则cos（AC）cosBcos2B的值是_________。
三、解答题
7
1．在△ABC中，若（a2b2）sin（AB）（a2b2）sin（AB），请判断三角形的形状。
．如果△
ABC
内接于半径为
R
的圆，且2
R
（sin2
A
sin2
C
）（2
ab
）sin
B
2
求△ABC的面积的最大值。
3．已知△ABC的三边abc且ac2b,AC，求a:
b:
c
2
4．在△ABC中，若（abc）（abc）3ac，且tanAtanC33，AB边上的高
为43，求角A,B,C的大小与边a,b,c的长
8
答案
知识点巩固练习
（一）
一、选择题
1.C
b
tan300,b
atan300
2
3,c
2b
4
4,c
b
2
3
a
2.A
0
A
sinA
0
3.C
cos
sin（
）
sin
都是锐角，则
A
2
A
B
2
AB
2
AB,AB
2
C
4.D
2
作出图形
5.D
b
2asinB,sinB
2sinAsinB,sinA
1
A
300或1500
2
6.B
设中间角为
，则cos
52
82
72
1
60
0
180
0
60
0
120
0
为所求
2
5
8
2
二、填空题
1.1
sinAsinB
sinAcosA
1sin2A
1
2
2
2
2.1200
cosA
b2
c2
a2
1,A1200
2bc
2
3.
6
2
A
150,
a
b
a
bsinA
4sinA
4sin150
4
6
2
sinA
sinB
sinB
4
4.
1200
a∶b∶c
sinA∶sinB∶sinC
7∶
8
∶
13，
令a
7k,b
8k,c
13kcosC
a2
b2
c2
1,C
1200
2ab
2
三、解答题
1.
解：
acosA
bcosB
ccosC,sinAcosA
sinBcosB
sinCcosC
sin2A
sin2Bsin2C,2sin（A
B）cos（A
B）
2sinCcosC
cos（A
B）
cos（A
B）,2cosAcosB
0
cosA
0或cosB
0，得A
2
或B
2
所以△ABC是直角三角形。
2.
a2
c2
b2
b2
c2
a2
代入右边
证明：
将cosB
2ac
，cosA
2bc
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