新人教版八年级下册数学勾股定理教案.docx
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新人教版八年级下册数学勾股定理教案
第十七章勾股定理
勾股定理
（一）
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能：
了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
过程与方法：
培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
情感态度价值观：
介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
教学重点、难点
重点：
勾股定理的内容及证明。
难点：
勾股定理的证明。
教学过程
1.引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：
“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=5\52+12"=132,那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
完成23页的探究，补充下表，你能发现正方形A、B、C的关系吗？
A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
图1
图2
由此我们可以得出什么结论？
可猜想:
命题1:
如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，
那么
2、合作探究：
方法1:
已知：
在厶ABC中，/C=90，/A、/B、/C的对边为a、b、c。
求证：
a2+b2=c20
分析：
⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：
4Sk+S小正=S大正
4X丄ab+（b—a）2=c2，化简可证。
2
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀
方法2:
已知：
在厶ABC中,/C=90，/A、/B/C的对边为a、b、c。
求证：
a2+b2=c2。
分析：
左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
12
左边S=4X-ab+c
2
右边S=（a+b）2
左边和右边面积相等，即
12
4Xab+c=（a+b）
2
化简可证。
课堂小结
作业布置：
作业P28页习题第1题板书设计：
勾股定理
（二）
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能：
会用勾股定理进行简单的计算。
情感态度价值观：
树立数形结合的思想、分类讨论思想。
重点、难点
重点：
勾股定理的简单计算。
难点：
勾股定理的灵活运用。
教学过程
复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。
学习勾股定理重要应用合作探究
问题
（1）在长方形ABCD中ABBCAC大小关系？
（2）—个门框的尺寸如图1所示.
1若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过?
2若薄木板长3米，宽1.5米呢？
3
若薄木板长3米，宽2.2米呢？
为什么？
例：
如图2,—个2.6米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.4米.
1求梯子的底端B距墙角O多少米？
2如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）.
课堂小结
作业：
P28页习题第2、5题
板书设计：
勾股定理（三）
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能：
会用勾股定理解决较综合的问题。
情感态度价值观：
树立数形结合的思想。
重点、难点
重点：
勾股定理的综合应用。
难点：
勾股定理的综合应用。
教学过程
复习勾股定理的内容。
本节课探究勾股定理的综合应用。
合作探究：
分析：
利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点
与实数一一对应的理论。
如图，已知OA=OB
（1）说出数轴上点A所表示的数。
（2）在数轴上作出8对应的点？
-4
一A
-3
B
-2-10
1
变式训练：
在数轴上画出表示31,2、2的点课堂小结
作业布置：
P28页习题第6题板书设计：
勾股定理的逆定理
（一）
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能：
体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
过程与方法：
探究勾股定理的逆定理的证明方法。
情感态度价值观：
理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
重点、难点
重点：
掌握勾股定理的逆定理及证明。
难点：
勾股定理的逆定理的证明。
教学过程：
创设情境：
⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？
和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
合作交流：
222
1、如图17.2-2，若厶ABC的三边长a、b、c满足abc，试证明厶ABC
是直角三角形，请简要地写出证明过程.
AA!
/■!
/
7/---V
图17.2-2
2、.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
3.说出下列命题的逆命题。
这些命题的逆命题成立吗？
（1）两直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
分析：
⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真,也可能一真一假，还可能都假。
解略。
课堂小结作业：
P34页习题第1题板书设计：
勾股定理的逆定理
（二）
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能：
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
过程与方法：
进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
重点、难点
重点：
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
难点：
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学过程
创设情境：
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。
四、自学展示：
已知：
如图，四边形ABCDAD//BC,AB=4BC=6CD=5AD=3求：
四边形ABCD勺面积。
归纳：
求不规则图形的面积时，要把不规则图形
分析：
⑴作DE//AB,连结BD则可以证明△ABD^AEDB（ASA；
⑵DE=AB=4BE=AD=3EC=EB=3⑶在△DEC中,3、4、5
勾股数，△DEC为直角三角形，DEIBC⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角
形的面积。
合作探究
例2“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：
⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形;
⑶依题意可得PR=12<1.5=18，PQ=16<1.5=24，QR=30;
⑷因为242+182=302，PQ+PR=QR,根据勾股定理的逆定理，知/QPR=90;⑸/PRSHQPR/QPS=45。
课堂小结
让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识作业：
P34页习题第3题
板书设计：
勾股定理复习
（一）
教学内容：
新课标对本节课的要求:
教学目标
知识与技能：
•理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边..勾股定理的应用•会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形•过程与方法：
进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
情感态度价值观：
激发学生的数学学习兴趣，促其勤奋学习。
教学重难点：
重点：
掌握勾股定理及其逆定理.
难点：
理解勾股定理及其逆定理的应用.
一、复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下：
1.勾股定理:
（1）直角三角形两直角边的■和等于的平方.就是说，对于任意的直
这就是勾股定理.
22|2■2222■22.2.22
acb,bca,cvabavcb,b*ca
J・
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”.通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理.
2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为.”
这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法•定理的证明采用了构造法•利用已知三
角形的边a,b,c（a2+b2=c2）,先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS证明两个三角形全等，证明定理成立.
3.勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）在数轴上作出表示n（n为正整数）的点.
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直，勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：
利
用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.
222
（3）三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若abc，则三角形是直角三角形；若a2b2c2，则三角形是锐角三角形；若a2b2c，则三角形是钝角三角形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边.
二、合作交流：
例1:
如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm那么这个三角形的周长和面积分别是多少？
例4:
.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟
从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
四、学习检测：
1.
如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是
111
A.7,24,25B.3丄,4丄,5-C.3,
222
2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的
5.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm另一只朝左挖，每
分钟挖6cm10分钟之后两只小鼹鼠相距（）
A.50cmB.100cmC.140cmD.80cm
6.等腰△ABC的面积为12亦，底上的高AD=3cm,则它的周长为.
7.等边△ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为.
8.—个三角形的三边的比为5：
12：
13,它的周长为60cm则它的面积是
勾股定理复习（课时二）
教学内容：
新课标对本节课的要求：
教学目标
知识与技能•掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题.
过程与方法.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理.
教学重难点重点：
掌握勾股定理以及逆定理的应用.
难点：
应用勾股定理以及逆定理.
考点一、已知两边求第三边
1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm2cm，则斜边长为.
2•已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是.
3.
在数轴上作出表示10的点.
4.已知，如图在△ABC中，AB=BC=CA=2gnAD是边BC上的高.求①AD的长；②厶ABC的面积.
考点二、利用列方程求线段的长
1.如图，铁路上A，B两点相距25kmC,D为两村庄，DAIAB于A，CBLAB于B,已知DA=15kmCB=10km现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离.
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：
（1）3、4、5
（2）5、12、13（3）8、
15、17
（4）4、5、6,其中能够成直角三角形的有
2.若三角形的三别是a2+b；2ab,a2-b2（a>b>0）,则这个三角形是
3.
如图1,在厶ABC中,AD是高，且AD2BDCD，求证：
△ABC为直角三角形
考点四、灵活变通
1.在Rt△ABC中,a,b,c分别是三条边，/B=90°c=2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为
边为边长的正方形的面积为cm2.
3.如图一个圆柱，底圆周长6cm,高4cm,—只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm
4.
7cm2,8cm2，则以斜
一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是0网
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