31三角和差公式.docx

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31三角和差公式

3.1二角和差公式

1.

、选择题

（文）（烟台中英文学校质检

）sin75cos30—sin15sin150的值为（）

1

B.2

（理）（北京）在厶ABC中，如果

C#

sinA=^3sinC,B=30°,那么角A等于（）

2.

A.30°

B.45°

C.60

D.120°

（浙江）已知向量

n

a=（sin（a+^）,

1）,

b=（4,4cosa—,3）,若a丄b,贝Usin（a+頁）等于（）

3

C頁

C.4

3.

5

（文）已知COS（a+3）=—13，cos（a—

12

3=13，则cosacos3的值为（）

13

12

B不

7

D.26

3,n

（理）（河南许昌）已知sinp=2（厅＜仟n）且sin（a+®=cosa,贝Utan（a+3=（）

5'2

8

D.25

4.

在厶ABC中,

若cosA=5，cosB=寻,

cosC的值是（）

5.

16

A—

A.65

B.g

16

D.—16

""n—

（文）（广东惠州一中）函数y=sin3—2x

+sin2x的最小正周期是（

n

A.2

（理）函数f（x）=（3sinx—4cosx）cosx的最大值为（）

Bi

6.已知

B均为锐角，且

cosasinairni■丄/.-占//土■丄j/tan3=，贝Utan（a+3的值为（

cosa+sina

C.3

D.不存在

n33

7.（文）已知0

255

A.—1

B.—1或—25

C

24.—25

D.

±4

二5

（理）已知

V5./

sina=—,Sin（a—

5

3=—

.10

7q"

a、

3均为锐角，

则

3等于（

5n

n

7t

n

代祕

B.3

c・4

D.6

sin15）°

8.（文）（温州）已知向量a=（sin75，。

一cos75）,b=（—cos15；C.2

B.

（理）（鞍山一中）已知

a=（sina,

1—4cos2a,

b=（1,3sina—2）,

则tan

则|a—b|的值为（）

n

a€0,，

若a//b,

B.

9.（全国新课标理,

9）若COSa=

5,侥第三象限的角，则

a

1+tan^

=（

a

1—tan^

C.2

10.已知sinx—siny=—2,

2、

cosx—cosy=3,且x,y为锐角，则tan（x—y）=

3

A血

A.5

2.''14

5

二、填空题

11.

（哈三中）已知

n

tana+6

2，tan

7n1…

3—石=3，贝"tan（a+®=

12.

nn

（文）函数y=sinx+3sinx+3的最小正周期T=

7t

（理）（浙江质检）函数y=sin（x+10°+cos（x+40°,（x€R）的最大值是

13.

（文）求值:

sin（0+75；）+cos（0+45；）—.3cos（0+15；）=

（理）已知a

3€夕n,sin（a+3=—5sin3—才=，贝Vcosa+才=

14.（上海奉贤区调研）已知a,氏（0,n，且tana•an0<1,比较a+B与扌的大小，用“<连接

起来为.

三、解答题

11、

15.已知a,（0,n,且tan（a—®=2，tanB=—7，求2a—B的值.

冗

16.（广东）已知向量a=（sin0,—2）与b=（1,cos®互相垂直，其中0€0,~.

（1）求sin0和cos0的值；

（2）若5cos（0—册=3.5cos©0<吋，求cos$的值.

17.（北京顺义）设函数f（x）=,3cos23x+sin3xos®x+a（其中w>0,a€R）.且f（x）的最小正

周期是2n.

n5nl

（1）求3的值；⑵如果f（x）在区间［—3,石］上的最小值为3，求a的值.

、选择题

1.（文）（2010烟台中英文学校质检

1

B-2

［解析］•/△ABC中，B=30°,•••C=150

Iin—^4n

2.（2010浙江）已知向量a=（sin（a+§）,1）,b=（4,4cosa—.3），若a丄b，则sin（a+y）等于（B）

c-43

512

3.（文）已知COS（a+3）=—13，cos（a—3=亦，贝卩COSoGOS3的值为（A）

）sin75Cos30—sin15§in150的值为（C）

C#D#

解：

sin75cos30°—sin15—n150=sin75—os30°—cos75—in30=sin（75—30—=sin45=乎.

（理）（2010北京）在厶ABC中，如果sinA={3sinC,B=30—那么角A等于（D）

［解］•/sin3=3，n<3

525

43

=cos（a+3）cos3+sin（a+3sin3=—匸cos（a+3+sin（a+3,

55

•2.4

…5sin（a+3=—5cos（a+3）,--tan（a+3）=—2.

45

4.在△ABC中，若cosA=5,cosB=乜，则cosC的值是（A）

12

13’

453

［解析］在厶ABC中，0

16,

所以cosC=cos［—r（A+B）］=—cos（A+B）=sinAsinB—cosA•osB=話，故选A.

n

5.（文）（2010广东惠州一中）函数y=sin3—2x+sin2x的最小正周期是（

An

a.2

周期T=n.

”J31n

［解］y=〒cos2x—gsin2x+sin2x=sin2x+3,

（理）函数f（x）=（3sinx—4cosx）cosx的最大值为（C

3

x=§sin2x—2cos2x—2

0、

2

［解］f（x）=（3sinx—4cosx）cosx=3sinxcosx—4cos

5451

=^sin（2x—0）—2,其中tanB=3，所以f（x）的最大值是^—2=

cosa—sina厶匚+、了

6.已知a、3均为锐角，且tan3=cosa+sina'则“+3的值为（B

cosa—sina1—tanan

cosa+sina1+tana

［解］tan3===tan4—a,

n33

7.（文）已知0

2

55

3

[解]■/a//b,•1—4cos2a=sino（3sina—2）,•5sin2a+2sina—3=0,

..3「、一n.33ntana—1」

4'

--sina=或sina=—1,ta€0,,••sina=7,•-tana=_,•-tana—==一二.

525441+tana7

a

41+tan2

9.（2010全国新课标理，9）若COSa=—4,a是第三象限的角，则=（A）

5a

1

—tan2

1

1

A.—2

C.2

4

［解析］•••cosa=-才且a是第三象限的角,

a

COS2

1

2，故选A.

1+sina

3

1+sina1—5cosa4

—5

aaa

［点评］本题解题思路广阔，从

cosa可求sina,也可求sin?

及co^,从而将出tan^.也可

以利用和角公式将待求式变形为

na

tan4+2，再用诱导公式和二倍角公式等等.

2

10.（2010杭州）已知sinx—siny=—3，

cosx—

cosy=3,

y为锐角，则

tan（x—y）=（B）

A.

2」14

5

2」14

［解析］两式平方相加得:

5

cos（x—y）=9,tx、y为锐角,

sinx—siny<0,•x

•sin（x—y）=—1

—cos2x—y=—^9^,

sinx—y^4

•tan（x—y）==—~~^.

cosx—y5

二、填空题

”-n1丄

11.（2010哈三中）已知tana+6=?

tan

3-7n=$则tan（a+3）=

.1

11

+一

n7n23

［解］tan（a+3=tan（a+3-n=tan［（a+

1—_x_

123

nn

12.（文）函数y=sinx+3sinx+2的最小正周期T=

15n3

—2cos2x+7+T•-T=

（理）（2010浙江质检）函数y=sin（x+10°+cos（x+40°,（x€R）的最大值是

［解析］y=sinxcos10°+cosxsin10°cosxcos40°—sinxsin40°（cos10°sin40）°inx+

（sin10丰cos40）cosx，其最大值为

寸cos10—sin40°+sin10+cos402=寸2+2sin10c6s40—cos10sin40°

2+2sin-30°=1.

.0

13.（文）求值：

sin（0+75°+cos（0+45°—.3cos（0+15°=

厂1V3V3

a=0+15°则原式=sin（a+60°+cos（a+30°—V3cosa=gSina+2cosa+2cosa

连接起来为.a+3<2

”—nsinasin3

［解析］■/tanatan31,a,3^0,2，二COS~1,二sinasin3cosacos3,

cosacos3

ncos（a+3>0,Ta+3*（0,n,a+3<~.

三、解答题

1i

15.已知a,3*（0,n,且tan（a—3）=2，tan3=—7,求2a—3的值.

tana—3+tan3

•'tana=tan［（a—3）+3=:

1—tana—3tan3

11+—tana+tana—332

tan（2a—3）=tan［a+（a—3］==1-=1.

1—tanatana—31—1X-

3

2

4

nn

…0

n

•••—n<2c—3<0,•••2a—3=——.

n

16.（文）（09广东）已知向量a=（sin0,—2）与b=（1,cosQ）互相垂直，其中0*0,

（1）求sin0和cos0的值；

（2）若5cos（0—册=3.5cos©,0<吋，求cos©的值.

［解析］

（1）ta丄b,•sin0X1+（—2）Xcos0=0?

sin0=2cos0

1

sin20+cos20=1,•4cos2+cos20=1?

cos20=1.

⑵由5cos（0—©=3.5cos©得’5（cos0cos©+sin0sin©）=3.5cos©

•V5cos0+2^5sin$=3>/5cos0,•cos©=sin©t0<©

17.（2010北京顺义）设函数f（x）=l3cos2wx+sinwxxoswx+a（其中w>0,a*R）.且f（x）的最

小正周期是2n.

⑴求3的值；⑵如果f（x）在区间［—n,56n］上的最小值为寸3，求a的值.

［解］

（1）f（x）=

313

2_cos23x+2sin2®x++a

cnV3

=sin2wx+3+§+a

依题意得23=2n

（2）由

（1）知，f（x）=sinx+3+

+a.

又当x€［—n,5n］时，x+詐［0,気,故—sinx+w1，从而f（x）在区间［—上的最小值为—2+W3+a=3,故.

2a2a

cos22—sin22