圆锥曲线过定点问题doc.docx

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圆锥曲线过定点问题doc

圆锥曲线过定点问题

一、小题自测

1.

无论k取任何实数，直线

（1

4k）x（23k）y

（2

14k）

0必经过一个定点，则这个定点的坐标

为

.

2.

已知直线l:

2axbya

b

0；圆C:

x2

y2

2x

1

0，则直线l与圆C的位置关系为.

二、几个常见结论：

满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这构成了过定点问题。

1、过定点模型：

A,B是圆锥曲线上的两动点，

M是一定点，其中

分别为MA,MB的倾斜角，则有

下面的结论：

uuur

uuur

直线AB恒过定点；

①、MA

MB为定值

②、kMAkMB为定值

直线AB恒过定点；

③、

（0

）

直线AB恒过定点.

2、抛物线中的过定点模型：

A,B是抛物线y2

2px（p0）上的两动点，其中

分别为OA,OB的倾

斜角，则可以得到下面几个充要的结论：

OA

OB

kOAkOB

1

直线AB恒过定点（2p,0）.

2

3、椭圆中的过定点模型：

x2

y2

1（ab0）上异于右顶点D的两动点，其中

分别

A,B是椭圆

b2

a2

为DA,DB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：

DA

DB

kDAkDB

1

直线AB恒过定点（

2ac2

2,0）.

2

a

b

三、方法归纳：

★参数无关法：

把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，

那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x，y的方程

组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。

★特殊到一般法：

根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。

★关系法：

对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直

线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的

直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。

四、例题分析：

例1：

过椭圆x2

y2

1的左顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于

M，N两点.求证：

直线MN过定点，

4

并求出该定点坐标．

★证明：

解法一：

设M（x1,y1）,N（x2,y2），直线MN:

y

kx

m.

y

kxm

2

2

2

2

x

y2

（1

4k）x

8kmx

4m

40

1

4

4m2

则V

0且x1

x2

8km

4

AN得

y1

y2

1

1

4k

2

x1x2

1

4k

2，由AM

2

x2

2

x1

（k2

1）x1x2

（km

2）（x1

x2）m2

4

0，（k2

1）4m2

4

（km

2）

8km

m2

4

0，

1

4k2

1

4k2

化简得：

5m2

16km

12k2

0,Qk

0

5（m）2

16m

12

0

k

k

解得：

m

6或m

（2舍），直线MN:

y

k（x

6），过定点（

6,0）.

k

5

k

5

5

解法二：

（考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题）

令2

8k2

2k2

8

k2

1，此时

2

8k2

6，所以直线MN过定点（

6,0）.

14k2

4k2

14k2

5

5

4k

5k

4k

5k

当k

2

1,kCM

1

4k2

，kCN

4

k2

.

2

8k2

6

4（1

k

2k

8

6

4（1

2）

2

k2）

1

4k2

5

4

k2

5

kCM

kCN,

M,N,C三点共线，即：

直线

MN过定点（

6,0）.

5

解法三：

设直线

AM:

y

k（x

2）（k

0），则直线AM:

y

1（x

2）

k

y

k（x

2）

2

2

2

2

16k2

4

2

8k2

4k

x2

y2

1

（1

4k

）x

16k

x

16k

4

0

Q

2xM

1

4k2

xM

1

4k2,yM

14k2

4

8k2

），同理：

点N（2k2

所以点M（2

4k

8,

4k

）

14k2

14k2

4k2

4k2

4k

4k

5k

4k

5k

28k2

kMN

14k2

4k2

，直线MN:

y

）

2

8k2

2k2

8

4（1

1

4k2

4（1

（x

4k2

k2）

k2）

1

1

4k2

4

k2

令y

0得x

2

8k2

16（1

k2）

6（1

4k2）

6，所以直线MN过定点（

6

0）.

1

4k2

5（1

4k2）

5（1

4k2）

5

5

例2：

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国

I卷）

已知椭圆C：

x2

y21

a

b0

，四点P11，1

，P20，1，P3

1，3

，P4

1，3

中恰有三点

a2

b2

2

2

在椭圆C上．