圆锥曲线最值问题求解的六种策略.docx
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圆锥曲线最值问题求解的六种策略
圆锥曲线最值问题求解的六种策略
上海中学数学?
2011年第5期35
圆锥曲线最值问题求解的六种策略
317523浙江省温岭市泽国中学王强
圆锥曲线中最值问题是高中数学的重点
内容,是高考中的一类常见问题,由于它能很
好地考查学生的逻辑思维能力,体现了圆锥
曲线与三角,函数,不等式,方程,平面向量等
代数知识之间的横向联系,使问题具有高度
的综合性和灵活性.圆锥曲线中的最值问题,
通常有两类:
一类是有关长度,面积,角度等
的最值问题;另一类是圆锥曲线中有关几何
元素的最值问题.这些问题往往通过回归定
义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数
的性质或不等式等知识以及观图,设参,转
化,替换等途径来解决.
一
利用圆锥曲线定义
圆锥曲线的定义统一刻画了动点与两定点
距离和或差的不变性,或者动点到定点,定直线
距离比的不变性.利用这种不变关系将动态与
静态结合,解题策略是转化思想,通过”化曲为
AF=,又AG=,易得EC=4,FG=,
046√6
1
由余弦定理可得cos//AFG一一÷,故二面角’
A—DE～C的大小为120..
点评:
思路3抓住DE_l-面BCE这一有利
条件,依据”一条直线垂直于两个平行平面中的
一
个平面,那么它也垂直于另一个平面”,由垂
面法作出二面角的平面角,最后用余弦定理解
出AFG,计算更直接.
思路4:
（体积转化
法）如图4,由,,一一
一
一,求出点A到平面
DEC的距离d一-6-,再厶
求点A到DE的距离
/-~A
h一,设二面角A—o
DE—C的大小为,易知
曰
图4
C
>9’.sino=y-～~.一12...
点评:
思路4虽不必添加辅助线,但需建立
直”处理就可很快地解决值问题.
例1已知抛物线Y.一4x,定点A（3,1）,F
是抛物线的焦点,在抛物线上求一点P,使
JAPJ+JPFJ取最小值,并求的最小值.
分析:
由点A引准线的垂线,垂足Q,则
1APl+lPF1一IAPl+lPQl,即为最小值.
解:
如图1,..Y一4x,
..
声一2,焦点F（1,0）,由
点A引准线一1的垂
线,垂足Q,则lAPI+lPFI
—
IAPl+lPQl,即为最
小值.（1APl+IPFI）…
一4.
p,/
P/.,.
/’
D\\F（1,0）
\
由1（yZ
一
=
1
4x
得P（丢,1）为所求点.
若另取一点P,显然}APl+lPFl—
APl+IPQl>IAPI+}PQ1.
点评:
利用圆锥曲线定义求最值是一种特
在考生熟练掌握空间线面,距离,角度,椎体的
体积公式等相关基础之上,将问题化归为用公
式简捷求解.
思路5:
如图5,
延长CB,DA交于点
Q,连SQ,EQ,由DE
_i_面SBC,...DE_l_
面SQC,...QEC
是二面角A—DE—
C的平面角.’.’SQ一
QC—SC一2√2,又
‘
.
‘SE一2EB,..点E图5
C
为正三角形SQC的中心,.’.Q=120..
点评:
思路5先延展半平面,由垂面法作出
了二面角的平面角,巧妙地运用了正三角形的
知识,沟通了立体几何与平面几何的联系,解法
别具匠心.
本题朴实无华,但内涵丰富,解法灵活多
样,不失为一道检测学生素质和能力的好题.数
学解题不在多,而在精,在于透,通过以某个试
题为载体,认真研究某个问题,真正做到知一题
会一类才能彻底摆脱题海.
上海中学数学?
2011年第5期
殊方法.在利用时技巧性较强,但可以避繁就
简,化难为易.又如已知圆锥曲线内一点A与其
IDl
上一动点尸,求{AP}+的最值时,常考虑
圆锥曲线第二定义.
2
t
2
例2已知椭圆+一1,A（4,0）,B（2,厶0
2）是椭圆内的两点,P是椭圆上任～点,求:
（1）
求÷lPAI+IPBI的最小值;
（2）求lPAI+IPBI’±
的最小值和最大值.
解:
（1）A为椭圆
的右焦点.作PQ上右
准线于点Q,则由椭圆
的第二定义=e一
‘...5IPAI+IPBI
～
t
PQ
—
P
图2
一
IPQI+IPBI.问题转化为在椭圆上找一点
P,使其到点B和右准线的距离之和最小,点P
应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点,最小
值为.
（2）由椭圆的第一定义,设C为椭圆的左
焦点,则}尸Aj一2a一{PCj,...JPAf十I尸Bj一
2a—lPCi+IPBi=10+（1PB{一lPCi）.根据
三角形中,两边之差小于第三边,当P运动到与
B,c成一条直线时,便可取得最大和最小值.即
一
}BCl≤JPBj—JPCj≤JBCj.
当P到P位置时,}PBl—lPCf:
lBCf,
IPAl+IPBl有最大值,最大值为1O+IBCl一
1o+2J-fd;当P到P位置时,lPB1—1PCI一
一
fBCjPAf+jPBj有最小值,最小值为10一
lBCl一1O一2,/,.
上面的解答过程不仅求出了最小值,也一
并求得了最大值,类似的通过定义转化为”线
段”以求出最大（小）的例子,在高考中比比皆
是.
二,参数法
圆,椭圆,双曲线的参数方程,为我们将某
些最值问题转化为三角问题且利用三角函数的
有界性来研究提供了可能性.利用三角函数求
最值要有主元变换思
想,把三角函数化为单
一
三角函数是难点.
例3已知P
是椭圆+yz一1在第
1:
一
\A,x/
图3
一
象限内的点,A（2,O）,B（0,1）,O为原点,求四
边形0APB的面积的最大值.
解:
设P（2cosO,sinO）,（o<鲁）,点P到直
线AB:
+2:
2的距离d=—12—
cos
—
O+
_
2si—
nO一
--
2I:
√
J√2sin（+号）一2.,,,2一2—
2丽一2
5’
.
‘
.
所求面积的最大值为~/2.
点评:
利用圆锥曲线参数方程转化为求三
角函数的最值问题,再利用三角函数的有界性
得出结果.
三,利用闭区间上二次函数最值的求法
将所求问题转化为二次函数最值问题,再
利用配方法,均值不等式,判别式等方法求解.
例4在抛物线Y=4x上求一点,使它到
直线=4.r--5的距离最短.
解:
设抛物线上的点P（t,4t）,点P到直线
4一3,一5=o的距离一一
.
当一专～一面4td717———.睾=一.当一÷时,～一—,故所,,,己
求点为（,1）.
例5过动直线or+2y=p与定直线2.r--y
一口的交点（其中P∈（0,3口]）的等轴双曲线系
一Y:
中,当P为何值时,J=【达到最大值与
最小值7.
分析:
求出交点坐标代入双曲线,可得的
二次函数表达式,再利用函数方法求解.
解:
由f25/’--;,得交点Q（学,
2p--a）
交点Q坐标代入双曲线.—Ir_yZ
一
（学（）2=去（一3.+8p-}-3n2
一
1[一3（p一警）+253a23,pE（o,3口].
当p一等,一告,又o<≤3口.一百4a
<一警≤警,...1一警l≤警;
当一3a时,一0.
点评:
把所求的最值表示为函数,再寻求函
数在给定区间上的最值,但要注意函数的定义
域.
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2011年第5期37
四,几何法
将圆锥曲线问题转化为平面几何问题,再
利用平面几何知识,如对称点,三角形三边关
系,平行间距离等求解.
r
2
1●
2
例6已知椭圆+:
1和直线z:
—1厶o
+9—0,在Z上取一点M,经过点M且以椭圆
的焦点F,为焦点作椭圆,求M在何处时所
作椭圆的长轴最短,并求此椭圆方程.
分析:
设F是F
关于1对称点,可求出
F坐标,过FF2的直
线方程与T—+9—0联
立得交点M为所求.
2
解:
由椭圆方程+
./
.
.
图4
一
1,得F（一3,0）,F2（3,0）,设F是F关于0
1对称点,可求出F坐标为（一9,6）,过F
的直线方程:
+2y一3—0与—y+9—0联
立,得交点M（一5,4）,即过M的椭圆长轴最
短.
由1MFI+lMF21—2口,得2a一6√5,...口
22
—45,c一9,.’.b.一36,所求椭圆方程为+…u
一1.
点评:
在求圆锥曲线最值问题中,如果用代
数方法求解比较复杂,可考虑用几何知识求解,
其中”三角形两边之和大于第三边”是求最值常
用的定理.同时,利用平几知识求解,蕴涵了数
形结合的思想.
五,不等式法
利用代数基本不等式求最值比较方便,但
往往需要创造条件,并进行巧妙构思,使它们的
和或积为定值并注意等号成立的条件是否具
备.
例7过椭圆2x+Y一2的焦点的直线交
椭圆A,B两点,求△AOB面积的最大值.
分析:
由过椭圆焦点,写出直线AB方程为
y一是.r+1,与椭圆方程联立,消去Y,得关于
的一元二次方程,巧妙的利用根与系数的关系,
可以起到避繁就简的效果.
解:
椭圆焦点（0,±1）,设过焦点（0,1）,直
线方程为y—kx4-1与为.
例8已知椭圆+.一1,F,F为其两焦
点,P为椭圆上任一点.求:
（1）fPF1ffPf的最大值;
（2）}PFIf.+
lPFI的最小值.
略解:
设1PF1一m,lPF21一,则+一
2a一4,lPFIlPF.I一≤f1一4.
1PFl+lPFzl一（IPFI+lPF1）一2
lPF1IPF2I≥4一2×4—8.
点评:
利用均值不等式求最值,有时要用
“配凑法”,这种方法是一种技巧.在利用均值不
等式时,要注意满足三个条件:
1,每一项要取正
值;2,不等式的一边为常数;3,等号能够成立.
其中正确应用”等号成立”的条件是这种方法的
关键.
六,判别式法
判别式在解题中是一个重要角色,当解析
几何中的量转化为方程问题时,判别式发挥其
特殊作用,不过要注意只有当此方程有等根时
才能利用它求最值.
例9定长为3的线段AB的两个端点在
抛物线Y一上移动,记线段AB的中点为M,
求点M到Y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.
解:
设点A,B的坐标分别为（_,,.）,（,
Y）,那么一Y,:
一Y;①,由题意,得3一（
一
）+（j,一y）.②,又AlB的中点M（,）到
,——
L一
轴的距离为一÷③,将①③代人②整理厶
得4（Y,Y2）.+2y1Y2+3一4_’.一2x一0④,’..
2为实数,故A一4—4×4（3一4一2.T）>/-
C[
0.又’..>o得≥÷⑤,当Lr一÷时,△一0.由’士Lf
1
④解得YY一一÷⑥,（y+y）一y+y;+Lt
11
2yly2—2x--寺一2×÷一÷一2,可得Yl+2一
上海中学数学?
2011年第5期
例谈含参数的指数和对数方程的教学价值
200240上海市闵行第三中学张宝贵
在教育部颁布的《普通高中数学课程标准
（实验）》中,必修课程”数学1”模块中编排了”函
数与方程”单元,旨在通过函数图像和性质研究
方程的解,体现函数与方程的关系.在《上海市
中小学数学课程标准（试行稿）》中,高一年级编
排了”指数方程和对数方程”的学习内容,要求
“在利用函数的性质求解指数方程,对数方程以
及求方程近似解的过程中,体会函数与方程之
间的内在联系”.
求解含参数的指数,对数方程,不仅需具有
扎实的基本知识和技能,还要综合运用”函数与
方程”,”化归与转化”,”数形结合”,”分类讨论”
等诸多数学思想方法.因此,这类问题蕴涵着丰
富的教学价值,不仅能活化解题设计,更是启发
思维和培养能力的极好素材.本文拟就屡见于
教辅书的两个问题为例,进行解题策略分析和
变式探讨,用以说明挖掘这类问题训练功能的
教学价值.
问题1当实数点为何值时,关于的方程
4_奄?
2+k+3—0,
（1）有两个不等的实数解;
（2）仅有一个实数解;（3）没有实数解.
为了使讨论简明,宜用换元法人手.当然,
对新的变元是否引入字符表示,可视具体情况
而定,重要的是换元思想.
设￡一2（￡>0）,则方程化成t一kt+志+3
—0（*）.
本题就化归为讨论一元二次方程的根的问
题,因而容易得到解决.当然,由于等价关系的
多样性和思维途径的变通性,问题的解法很多.
通过分类讨论方程（*）的正根个数,可以
给出一种常规解法.
f△惫一4（是+3）>O
（1）当t1+t=是>0,即志∈（6,+oo）【tl2:
k-+-3~O
时,方程（*）有两个不等的正根,则原方程有两
√_⑦,由⑥,⑦可得,,由①即得相应的函,
z.
故AB的中点M距轴最短距离为一
÷,且相应的中点坐标为（5,）或（{,一譬）.
个不等的实数解.
rA一是一4（志+3）>0
（2）当t,4-t一是>0,即是一6时,
l一k+3~o
方程（*）有两个相等的正根;
当志+3<0,即是<一3时,方程（*）的两根
异号,综上可知,志∈（一cx3,一3）U{6）时,原方
程仅有一个实数解.
（3）由
（1）,
（2）可得,志∈（一..,一3）U[6,
+cx3）时,原方程有实数解,进而可知,志∈[一3,
6）时,原方程没有实数解.
综合本题的
（1）,
（2）两小问,就演变成这样
题型:
含参数的方程有解（不涉及解的个数）时,
求参数的取值范围.
变题1若关于的方程4一k?
2+k+3
=0有实数解,求实数n的取值范围.
这类问题的一个简捷求解策略是:
先分离
参数,把参数表示成方程未知数的函数（其定义
域就是方程有解的范围）,再求函数的值域,就
得所求参数的取值范围.
ArJ一
对原方程分离参数,得志一.——上
设一2一1,m∈（一1,0）U（O,+o.）,则志
±:
±兰:
m++2.
由函数_厂（）一+的
I上
图像（如图1）和性质,可得
+二∈（一..,一5）UE4,Tr/
+c×.）,进而得n∈（～..,
一
3）U[6,+Cx3）.
进一步还会发现,利用
数形结合的思想,更可直观
明了地解答问题1,从而简
化分类讨论和代数运算.
‘
4i（2.4）
-
1
2
:
\二5
图1
圆锥曲线最值问题涉及知识较多,解决圆
锥曲线中的最值问题,必须在熟练并准确地掌
握圆锥曲线的定义,性质的基础上,灵活运用函
数与方程,转化与化归及数形结合等思想方法,
仔细审题,挖掘隐含条件,确立解题方法.
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