圆锥曲线中点弦问题.doc

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关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题；

（2）求弦中点的轨迹方程问题；

（3）求弦中点的坐标问题。

其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题

例1过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。

解法一：

设所求直线方程为y-1=k（x-2），代入椭圆方程并整理得：

又设直线与椭圆的交点为A（），B（），则是方程的两个根，于是

，

又M为AB的中点，所以，

解得，

故所求直线方程为。

解法二：

设直线与椭圆的交点为A（），B（），M（2，1）为AB的中点，

所以，，

又A、B两点在椭圆上，则，，

两式相减得，

所以，即，

故所求直线方程为。

解法三：

设所求直线与椭圆的一个交点为A（），由于中点为M（2，1），

则另一个交点为B（4-），

因为A、B两点在椭圆上，所以有，

两式相减得，

由于过A、B的直线只有一条，

故所求直线方程为。

二、求弦中点的轨迹方程问题

例2过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。

解法一：

设弦PQ中点M（），弦端点P（），Q（），

则有，两式相减得，

又因为，，所以，

所以，而，故。

化简可得（）。

解法二：

设弦中点M（），Q（），由，可得，，

又因为Q在椭圆上，所以，即，

所以PQ中点M的轨迹方程为（）。

三、弦中点的坐标问题

例3求直线被抛物线截得线段的中点坐标。

解：

解法一：

设直线与抛物线交于，，其中点，由题意得，

消去y得，即，

所以，，即中点坐标为。

解法二：

设直线与抛物线交于，，其中点，由题意得，两式相减得，

所以，

所以，即，，即中点坐标为。

上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。

下面我们看一个结论

引理设A、B是二次曲线C：

上的两点，P为弦AB的中点，则

。

设A、B则……

（1）

……

（2）

得

∴

∴

∵∴∴即。

（说明：

当时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P的切线斜率公式，即）

推论1设圆的弦AB的中点为P（，则。

（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为）

推论2设椭圆的弦AB的中点为P（，则。

（注：

对a≤b也成立。

假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为）

推论3设双曲线的弦AB的中点为P（则。

（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为）

推论4设抛物线的弦AB的中点为P（则。

（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为

我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。

例1、求椭圆斜率为3的弦的中点轨迹方程。

解：

设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，则有，故所示的轨迹方程为16x+75y=0

例2、已知椭圆A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线l与x轴相交于P，求证：

。

证明：

设AB的中点为T，由题设可知AB与x轴不垂直，∴，

∴∵l⊥AB∴

∴l的方程为：

令y=0得

∴∵∴

∴

例3、已知抛物线C：

，直线

要使抛物线C上存

在关于对称的两点，的取值范围是什么？

解：

设C上两点A、B两点关于对称，AB的

中点为P（

∴∴∵P∈∴

∴∴∴

∵P在抛物线内，∴∴

∴∴

与抛物线有关的弦的中点的问题

（1）中点弦问题：

（上题麻烦了。

是圆不用中点法）

例1由点向抛物线引弦，求弦的中点的轨迹方程。

分析：

解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。

解法1：

利用点差法。

设端点为A，B，则，，

两式相减得，①

①式两边同时除以，得，②

设弦的中点坐标为，则，，③

又点和点在直线AB上，所以有。

④

将③、④代入②得，整理得。

故得中点的轨迹方程是在抛物线内部的部分。

解法2：

设弦AB所在直线的方程为，

由方程组消去并整理得，（3）

设A、B、中点，对于方程（3），由根与系数的关系，有，

∴代入

（1）得

故得所求弦中点的轨迹方程是在抛物线内部的部分。

评注：

（1）求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点与已知条件的内在联系，列关于，的关系式，进而求出轨迹的方程。

（2）弦中点轨迹问题

设抛物线（）的弦AB，A，B，弦AB的中点C，则有，

（1）－

（2）得，

∴，

将，，代入上式，并整理得，这就是弦的斜率与中点的关系，要学会推导，并能运用。

例2已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点轨迹方程。

解：

如图，设弦AB的中点为M，并设A、B、M点坐标分别为，，，根据题意设有，①

，②

，③

，④

，⑤

④代入①－②得，，

∵，∴，⑥

⑥代入⑤得，，即。

评注：

本题还有其他解答方法，如设AB的方程为，将方程代入，利用根与系数的关系，求出弦中点的轨迹方程。

例6求直线被抛物线截得线段的中点坐标。

解：

解法一：

设直线与抛物线交于，，其中点，由题意得，

消去y得，即，

所以，，即中点坐标为。

解法二：

设直线与抛物线交于，，其中点，由题意得，两式相减得，

所以，

所以，即，，即中点坐标为。

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：

联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

本文用这种方法作一些解题的探索。

一、以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。

解：

设直线与椭圆的交点为、

为的中点　　

又、两点在椭圆上，则，

两式相减得

于是

即，故所求直线的方程为，即。

例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。

若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：

这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线　，然后验证它是否满足题设的条件。

本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：

设存在被点平分的弦，且、

则，

，

两式相减，得

故直线

由　消去，得

这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。

评述：

本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。

由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。

（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；

（2）

若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。

二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。

解：

设弦端点、，弦的中点，则

，

又，

两式相减得

即

，即

点的坐标为。

例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

解：

设弦端点、，弦的中点，则

，

又，

两式相减得

即，即

，即

由，得

点在椭圆内

它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为

三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。

解：

设椭圆的方程为，则┅┅①

设弦端点、，弦的中点，则

，，

又，

两式相减得

即

┅┅②

联立①②解得，

所求椭圆的方程是

四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：

设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，

两式相减得，

即

，，

　　这就是弦中点轨迹方程。

它与直线的交点必须在椭圆内

联立，得　则必须满足，

即，解得

五、注意的问题

（1）双曲线的中点弦存在性问题；

（2）弦中点的轨迹应在曲线内。

利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。

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