圆锥曲线的范围问题.docx
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圆锥曲线的范围问题
圆锥曲线的范围问题
核心考点·精准研析
考点一 几何法求范围
1.已知直线l1:
mx-y+m=0与直线l2:
x+my-1=0的交点为Q,椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是 （ ）
A.[2,+∞） B.[2,+∞）
C.[2,4] D.[2,4]
2.已知椭圆E:
+=1（a>b>0）的右焦点为 F,短轴的一个端点为M,直线l:
3x-4y=0交椭圆E于 A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是 （ ）
A.
0,
B.
0,
C.
1
D.
1
3.过双曲线-=1（a>0,b>0）的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为________.
【解析】1.选D.椭圆+y2=1的焦点为:
F1（-,0）,
F2（,0）,由l1与l2方程可知l1⊥l2,
直线l1:
mx-y+m=0与直线l2:
x+my-1=0的交点为Q,且两条直线分别经过定点（-1,0）,（1,0）,
所以它们的交点Q满足:
x2+y2=1（x≠-1）,
当Q与（1,0）重合时,|QF1|+|QF2|取最小值为
|F1F2|=2,
当Q与短轴端点重合时,|QF1|+|QF2|取最大值为2a=4,所以|QF1|+|QF2|的取值范围是[2,4].
2.选A.不妨设M（0,b）,点M到直线l的距离d==≥,即b≥1,
所以e2===1-≤1-=,
所以00,
.
【一题多解】选A.记椭圆的左焦点为F1,M为上顶点,连接AF1,BF1,过M作l的垂线,垂足为N,
由已知4a=|AF1|+|BF1|+|AF|+|BF|=4+4=8,
所以a=2,直线l的斜率k=tan∠AOF=,
所以cos ∠AOF= ,又∠OMN=∠AOF,
所以cos∠OMN===,|MN|=b≥,所以b≥1,
e2===1-≤1-=,
所以00,
.
3.由过双曲线-=1（a>0,b>0）的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得<2.所以e==<=,因为e>1,所以1答案:
（1,）
1.当题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决.
2.利用圆锥曲线的定义、几何意义等转化为平面图形中的范围问题,然后利用平面几何中的定理、性质等进行求解.
考点二 代数法求范围问题
命
题
精
解
读
1.考什么:
（1）范围问题主要有:
①涉及距离、面积的范围以及与之相关的一些范围问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的范围;③求目标代数式的取值范围.
（2）考查数学建模、数学运算、逻辑推理以及函数与方程、转化与化归的数学思想等.
2.怎么考:
以直线和圆锥曲线的位置关系为背景,考查参数取值范围或目标代数式的取值范围问题.
3.新趋势:
范围问题与不等式、函数值域等问题相结合.
学
霸
好
方
法
1.解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
（2）利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
（3）利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
（4）利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
2.交汇问题:
与不等式、函数问题交汇时,要注意参数取值范围的限制对解不等式、求函数值域的影响.
构造不等式求范围
【典例】（2019·宜昌模拟）在直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为+=1（a>b>0）,左右焦点分别为F1,F2,R为短轴的一个端点,且△RF1F2的面积为.设过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,P为椭圆C上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率都存在,kPAkPB=-.
（1）求a,b的值.
（2）设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点,且QF1⊥x轴,M,N为椭圆C上不同于Q的两点,且∠MQF1=∠NQF1,设直线MN与y轴交于点D（0,d）,求d的取值范围.
【解题导思】
序号
题目拆解
（1）
求参数a,b
点差法转化kPAkPB=-,结合△RF1F2的面积列出方程组求解
（2）
①设直线QM的方程
将两角相等转化为两直线QM,QN斜率之间的关系
②求直线MN的斜率
将直线方程与椭圆方程联立,分别求出M、N点的横坐标,利用两点坐标表示出直线MN的斜率.
③求d所满足的不等式
将直线MN的方程与椭圆方程联立,由位置关系列出不等关系
④解不等式求范围
解所得不等式即可求得d的取值范围
【解析】
（1）设A（x1,y1）,P（x2,y2）,则B（-x1,-y1）,
进一步得,+=1,+=1,
两个等式相减得,+=0,
所以·=-,
所以kPA·kPB=-,因为kPA·kPB=-,所以-=-,即=,设b=t,a=2t（t>0）,
因为a2=b2+c2,所以c=t,
由△RF1F2的面积为得,=,即bc=,即t2=,t=1,所以a=2,b=.
（2）设直线QM的斜率为k,
因为∠MQF1=∠NQF1,所以QM,QN关于直线QF1对称,所以直线QN的斜率为-k,
算得F1（-1,0）,Q,
所以直线QM的方程是y-=k（x+1）,
设M（x3,y3）,N（x4,y4）
由 消去y得,
（3+4k2）x2+（12+8k）kx+（4k2+12k-3）=0,
所以-1·x3=,所以x3=,
将上式中的k换成-k得,x4=,
所以kMN==
==-,
所以直线MN的方程是y=-x+d,
代入椭圆方程+=1得,x2-dx+d2-3=0,所以
Δ=（-d）2-4（d2-3）>0,所以-2又因为MN在Q点下方,所以>-×（-1）+d,所以-2构造函数法求范围
【典例】（2019·日照模拟）已知点E,F分别是椭圆C:
+=1（a>b>0）的上顶点和左焦点,若EF与圆x2+y2=相切于点T,且点T是线段EF靠近点E的三等分点.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）直线l:
y=kx+m与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第二象限,过坐标原点O且与l垂直的直线l′与圆x2+y2=8相交于A,B两点,求△PAB面积的取值范围.
【解题导思】
序号
题目拆解
（1）
求参数a,b
根据已知分别求出a,b的值.
（2）
①建立k,m的关系式
直线方程与椭圆方程联立,利用方程只有一解即可建立两者的关系式
②求P到直线l′的距离
求P点坐标,代入距离公式求解
③表示△PAB面积
利用三角形面积公式建立目标函数
④求取值范围
根据目标函数的结构特征,利用基本不等式求解最值,从而确定其取值范围
【解析】
（1） OT2=ET·TF=a·a=,
a2=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,
椭圆C的标准方程为+=1.
（2）由得,
（3k2+1）x2+6kmx+3m2-6=0,
因为直线l:
y=kx+m与椭圆C相切于点P, 所以Δ=（6km）2-4（3k2+1）（3m2-6）=12（6k2+2-m2）=0,即m2=6k2+2,解得x=,y=,
即点P的坐标为,
因为点P在第二象限,所以k>0,m>0,
所以m=,所以点P的坐标为
设直线l′与l垂直交于点Q,
则|PQ|是点P到直线l′的距离,
设直线l′的方程为y=-x,
则|PQ|=
==,所以S△PAB=×4×|PQ|=≤==4-4,
当且仅当3k2=,即k2=时,取得最大值4-4,所以△PAB面积的取值范围为（0,4-4].
1.已知椭圆C:
+=1（a>b>0）的焦距为2,且C与y轴交于A（0,-1）,B（0,1）两点.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧,直线PA,PB与直线x=3交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,求P点横坐标的取值范围.
【解析】
（1）由题意可得,b=1,c=,所以a=2, 椭圆C的标准方程为+y2=1.
（2）方法一:
设P（x0,y0）（0所以kPA=,直线PA的方程为y=x-1,同理得直线PB的方程为y=x+1,直线PA与直线x=3的交点为M,直线PB与直线x=3的交点为N,线段MN的中点,
所以圆的方程为（x-3）2+=.
令y=0,则（x-3）2+=, 因为+=1,所以（x-3）2=-,
因为这个圆与x轴相交,所以该方程有两个不同的实数解,则->0,又0方法二:
由题意设直线AP的方程为y=k1x-1（k1>0）,与椭圆x2+4y2=4联立得:
（1+4）x2-8k1x=0,xP=,同理设直线BP的方程为y=k2x+1,可得xP=,由=,可得4k1k2=-1,所以M（3,3k1-1）,
N（3,3k2+1）,MN的中点为,所以以MN为直径的圆为（x-3）2+=.
当y=0时,（x-3）2+=,所以（x-3）2=,
因为MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,所以>0,
代入4k1k2=-1得:
<0,所以所以xP==在单调递增,在单调递减,所以xP∈.
2.（2019·焦作模拟）已知椭圆C:
+=1与直线l1交于A,B两点,l1不与x轴垂直,圆M:
x2+y2-6y+8=0.
（1）若点P在椭圆C上,点Q在圆M上,求|PQ|的最大值.
（2）若过线段AB的中点E且垂直于AB的直线l2过点,求直线l1的斜率的取值范围.
【解析】
（1）依题意,圆M:
x2+y2-6y+8=0,即圆M:
x2+（y-3）2=1,圆心为M（0,3）.
所以|PQ|≤|PM|+1.设P（x,y）,则|PM|2=x2+（y-3）2=x2+y2-6y+9.（*）
而+=1,所以x2=4-.
代入（*）中,可得|PM|2=4-+y2-6y+9=--6y+13,y∈[-,].所以|PM=12+6,
即|PM|max=3+,所以|PQ|max=4+.
（2）依题意,设直线l1:
y=kx+m.
由 消去y整理得（3+4k2）x2+8mkx+4m2-12=0.
因为直线与椭圆交于不同的两点,
所以Δ=64m2k2-4（3+4k2）（4m2-12）>0,整理得m2<4k2+3.①设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则x1+x2=-,x1x2=.
设点E的坐标为（x0,y0）,则x0=-,
所以y0=kx0+m=-+m=,
所以点E的坐标为.
所以直线l2的斜率为k′=
=.
又直线l1和直线l2垂直,则·k=-1,所以m=-.
将m=-代入①式,可得<4k2+3.解得k>或k<-.
所以直线l1的斜率的取值范围为∪.
1.（2020·南昌模拟）已知椭圆C:
+=1（a>b>0）的离心率为,短轴长为2.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）设直线l:
y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOM·kON=,求原点O到直线l的距离的取值范围.
【解析】
（1）由题知e==,2b=2,
又a2=b2+c2,所以b=1,a=2,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
（2）设M（x1,y1）,N（x2,y2）,联立方程
得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0,
依题意,Δ=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-4）>0,
化简得m2<4k2+1,①
x1+x2=-,x1x2=,
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2.
若kOM·kON=,则=,即4y1y2=5x1x2,
所以（4k2-5）x1x2+4km（x1+x2）+4m2=0,
所以（4k2-5）·+4km·+4m2=0,
即（4k2-5）（m2-1）-8k2m2+m2（4k2+1）=0,
化简得m2+k2=②,由①②得0≤m2<,因为原点O到直线l的距离d=,
所以d2===-1+,
又所以原点O到直线l的距离的取值范围是.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且PF2垂直于x轴,连接PF1并延长交椭圆于另一点Q,设PQ=λF1Q.
（1）若点P的坐标为,求椭圆C的方程及λ的值.
（2）若4≤λ≤5,求椭圆C的离心率的取值范围.
【解题指南】
（1）把P的坐标代入方程得到+=1,结合a2-b2=4解出a,b后可得标准方程.求出直线PF1的方程,联立椭圆方程和直线方程后可求Q的坐标,故可得λ的值.
（2）因为P,故可用a,b,c,λ表示Q的坐标,利用它在椭圆上可得λ与a,b,c的关系,化简后可得λ与离心率e的关系,由λ的范围可得e的范围.
【解析】
（1）因为PF2垂直于x轴,且点P的坐标为,
所以a2-b2=c2=4,+=1,
解得a2=16,b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.
所以F1,直线PF1的方程为y=,
将y=代入椭圆C的方程,解得xQ=-,
所以λ====.
（2）因为PF2⊥x轴,不妨设P在x轴上方,P,
y0>0,
设Q,
因为P在椭圆上,所以+=1,
解得y0=,即P.
因为F1,由PQ=λF1Q得,c-x1=λ,-y1=-λy1,
解得x1=-c,y1=-,
所以Q.
因为点Q在椭圆上,所以e2+=1,
即e2+=,所以（λ+2）e2=λ-2,从而e2=.
因为4≤λ≤5,所以≤e2≤.解得≤e≤,
所以椭圆C的离心率的取值范围为.
圆锥曲线的范围问题
核心考点·精准研析
考点一 几何法求范围
1.已知直线l1:
mx-y+m=0与直线l2:
x+my-1=0的交点为Q,椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是 （ ）
A.[2,+∞） B.[2,+∞）
C.[2,4] D.[2,4]
2.已知椭圆E:
+=1（a>b>0）的右焦点为 F,短轴的一个端点为M,直线l:
3x-4y=0交椭圆E于 A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是 （ ）
A.
0,
B.
0,
C.
1
D.
1
3.过双曲线-=1（a>0,b>0）的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为________.
【解析】1.选D.椭圆+y2=1的焦点为:
F1（-,0）,
F2（,0）,由l1与l2方程可知l1⊥l2,
直线l1:
mx-y+m=0与直线l2:
x+my-1=0的交点为Q,且两条直线分别经过定点（-1,0）,（1,0）,
所以它们的交点Q满足:
x2+y2=1（x≠-1）,
当Q与（1,0）重合时,|QF1|+|QF2|取最小值为
|F1F2|=2,
当Q与短轴端点重合时,|QF1|+|QF2|取最大值为2a=4,所以|QF1|+|QF2|的取值范围是[2,4].
2.选A.不妨设M（0,b）,点M到直线l的距离d==≥,即b≥1,
所以e2===1-≤1-=,
所以00,
.
【一题多解】选A.记椭圆的左焦点为F1,M为上顶点,连接AF1,BF1,过M作l的垂线,垂足为N,
由已知4a=|AF1|+|BF1|+|AF|+|BF|=4+4=8,
所以a=2,直线l的斜率k=tan∠AOF=,
所以cos ∠AOF= ,又∠OMN=∠AOF,
所以cos∠OMN===,|MN|=b≥,所以b≥1,
e2===1-≤1-=,
所以00,
.
3.由过双曲线-=1（a>0,b>0）的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得<2.所以e==<=,因为e>1,所以1答案:
（1,）
1.当题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决.
2.利用圆锥曲线的定义、几何意义等转化为平面图形中的范围问题,然后利用平面几何中的定理、性质等进行求解.
考点二 代数法求范围问题
命
题
精
解
读
1.考什么:
（1）范围问题主要有:
①涉及距离、面积的范围以及与之相关的一些范围问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的范围;③求目标代数式的取值范围.
（2）考查数学建模、数学运算、逻辑推理以及函数与方程、转化与化归的数学思想等.
2.怎么考:
以直线和圆锥曲线的位置关系为背景,考查参数取值范围或目标代数式的取值范围问题.
3.新趋势:
范围问题与不等式、函数值域等问题相结合.
学
霸
好
方
法
1.解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
（2）利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
（3）利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
（4）利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
2.交汇问题:
与不等式、函数问题交汇时,要注意参数取值范围的限制对解不等式、求函数值域的影响.
构造不等式求范围
【典例】（2019·宜昌模拟）在直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为+=1（a>b>0）,左右焦点分别为F1,F2,R为短轴的一个端点,且△RF1F2的面积为.设过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,P为椭圆C上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率都存在,kPAkPB=-.
（1）求a,b的值.
（2）设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点,且QF1⊥x轴,M,N为椭圆C上不同于Q的两点,且∠MQF1=∠NQF1,设直线MN与y轴交于点D（0,d）,求d的取值范围.
【解题导思】
序号
题目拆解
（1）
求参数a,b
点差法转化kPAkPB=-,结合△RF1F2的面积列出方程组求解
（2）
①设直线QM的方程
将两角相等转化为两直线QM,QN斜率之间的关系
②求直线MN的斜率
将直线方程与椭圆方程联立,分别求出M、N点的横坐标,利用两点坐标表示出直线MN的斜率.
③求d所满足的不等式
将直线MN的方程与椭圆方程联立,由位置关系列出不等关系
④解不等式求范围
解所得不等式即可求得d的取值范围
【解析】
（1）设A（x1,y1）,P（x2,y2）,则B（-x1,-y1）,
进一步得,+=1,+=1,
两个等式相减得,+=0,
所以·=-,
所以kPA·kPB=-,因为kPA·kPB=-,所以-=-,即=,设b=t,a=2t（t>0）,
因为a2=b2+c2,所以c=t,
由△RF1F2的面积为得,=,即bc=,即t2=,t=1,所以a=2,b=.
（2）设直线QM的斜率为k,
因为∠MQF1=∠NQF1,所以QM,QN关于直线QF1对称,所以直线QN的斜率为-k,
算得F1（-1,0）,Q,
所以直线QM的方程是y-=k（x+1）,
设M（x3,y3）,N（x4,y4）
由 消去y得,
（3+4k2）x2+（12+8k）kx+（4k2+12k-3）=0,
所以-1·x3=,所以x3=,
将上式中的k换成-k得,x4=,
所以kMN==
==-,
所以直线MN的方程是y=-x+d,
代入椭圆方程+=1得,x2-dx+d2-3=0,所以
Δ=（-d）2-4（d2-3）>0,所以-2又因为MN在Q点下方,所以>-×（-1）+d,所以-2构造函数法求范围
【典例】（2019·日照模拟）已知点E,F分别是椭圆C:
+=1（a>b>0）的上顶点和左焦点,若EF与圆x2+y2=相切于点T,且点T是线段EF靠近点E的三等分点.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）直线l:
y=kx+m与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第二象限,过坐标原点O且与l垂直的直线l′与圆x2+y2=8相交于A,B两点,求△PAB面积的取值范围.
【解题导思】
序号
题目拆解
（1）
求参数a,b
根据已知分别求出a,b的值.
（2）
①建立k,m的关系式
直线方程与椭圆方程联立,利用方程只有一解即可建立两者的关系式
②求P到直线l′的距离
求P点坐标,代入距离公式求解
③表示△PAB面积
利用三角形面积公式建立目标函数
④求取值范围
根据目标函数的结构特征,利用基本不等式求解最值,从而确定其取值范围
【解析】
（1） OT2=ET·TF=a·a=,
a2=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,
椭圆C的标准方程为+=1.
（2）由得,
（3k2+1）x2+6kmx+3m2-6=0,
因为直线l:
y=kx+m与椭圆C相切于点P, 所以Δ=（6km）2-4（3k2+1）（3m2-6）=12（6k2+2-m2）=0,即m2=6k2+2,解得x=,y=,
即点P的坐标为,
因为点P在第二象限,所以k>0,m>0,
所以m=,所以点P的坐标为
设直线l′与l垂直交于点Q,
则|PQ|是点P到直线l′的距离,
设直线l′的方程为y=-x,
则|PQ|=
==,所以S△PAB=×4×|PQ|=≤==4-4,
当且仅当3k2=,即k2=时,取得最大值4-4,所以△PAB面积的取值范围为（0,4-4].
1.已知椭圆C:
+=1（a>b>0）的焦距为2,且C与y轴交于A（0,-1）,B（0,1）两点.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧,直线PA,PB与直线x=3交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,求P点横坐标的取值范围.
【解析】
（1）由题意可得,b=1,c=,所以a=2, 椭圆C的标准方程为+y2=1.
（2）方法一:
设P（x0,y0）（0所以kPA=,直线PA的方程为y=x-1,同理得直线PB的方程为y=x+1,直线PA与直线x=3的交点为M,直线PB与直线x=3的交点为N,线段MN的中点,
所以圆的方程为（x-3）2+=.
令y=0,则（x-3）2+=, 因为+=1,所以（x-3）2=-,
因为这个圆与x轴相交,所以该方程有两个不同的实数解,则->0,又0方法二:
由题意设直线AP的方程为y=k1x-1（k1>0）,与椭圆x2+4y2=4联立得:
（1+4）x2-8k1x=0,xP=,同理设直线BP的方程为y=k2x+1,可得xP=,由=,可得4k1k2=-1,所以M（3,3k1-1）,
N（3,3k2+1）,MN的中点为,所以以MN为直径的圆为（x-3）2+=.
当y=0时,（x-3）2+=,所以（x-3）2=,
因为MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,所以>0,
代入4k1k2=-1得:
<0,所以所以
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