必修1 12章3 运动的图象 追及和相遇问题.docx

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必修112章3运动的图象追及和相遇问题

必修一　第一、二章　质点的直线运动

第3讲　运动的图象　追及和相遇问题

基础知识梳理：

一、匀变速直线运动的图象

1．直线运动的s－t图象

（1）意义：

反映了直线运动的物体______随______变化的规律．

（2）图线上某点切线的斜率的意义

①斜率大小：

表示物体速度的______．

②斜率的正负：

表示物体速度的______．

（3）两种特殊的s－t图象

①若s－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于______状态．（如图甲所示）

②若s－t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做____________运动．（如图乙所示）

2．直线运动的v－t图象

（1）意义：

反映了直线运动的物体______随______变化的规律．

（2）图线上某点切线的斜率的意义

①斜率的大小：

表示物体加速度的______．

②斜率的正负：

表示物体加速度的______．

（3）两种特殊的v－t图象

①匀速直线运动的v－t图象是与横轴______的直线．（如图甲所示）

②匀变速直线运动的v－t图象是一条______的直线．（如图乙所示）

（4）图线与坐标轴围成的“面积”的意义

①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的______．

②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为______；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为______．

温馨提示　

（1）s－t图象、v－t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值是s、v与t一一对应．

（2）s－t图象、v－t图象的形状由s与t、v与t的函数关系决定．

（3）无论是s－t图象还是v－t图象，所描述的运动情况都是直线运动．

二、运动学图象“五看”

1．看“线”

2．看“斜率”

3．看“面积”

4．看“纵截距”

5．看“特殊点”

考点例析：

考点一　对s－t图象的认识及应用

1．根据s－t图象判断物体运动情况，或从图象中判断出位移、速度等物理量．

2．根据物体实际运动情况，画出s－t图象．

【典例1】如图所示为甲、乙两物体相对于同一参考系的s－t图象，下面说法错误的是（　　）．

A．甲、乙两物体的出发点相距s0

B．甲、乙两物体都做匀速直线运动

C．甲物体比乙物体早出发的时间为t1

D．甲、乙两物体向同方向运动

【跟踪训练1】a、b两个质点相对于同一原点在同一直线上运动的s－t图象如图所示，关于a、b的运动，下列说法正确的是（　　）．

A．a、b两个质点运动的出发点相距5m

B．质点a比质点b迟1s开始运动

C．在0～3s时间内，a、b的位移大小相等，方向相同

D．质点a运动的速率比质点b的速率大

考点二　对v－t图象的理解及应用

1．根据v－t图象判断物体运动情况，并能从图中得出速度、加速度、位移等物理量．

2．能从图中判断两物体相遇的时刻．

【典例2】甲、乙两物体从同一点开始做直线运动，其v－t图象如图所示，下列判断正确的是（　　）．

A．在t0时刻两物体速度大小相等，方向相反

B．在t0时刻两物体加速度大小相等，方向相同

C．在t0时刻之前，乙物体在甲物体前，并且两物体间距离越来越大

D．在t0时刻之后，甲物体在乙物体前，并且两物体间距离越来越大

【跟踪训练2】四个质点做直线运动，它们的速度图象分别如图所示，下列说法中正确的是（　　）．

A．四个质点在第1秒内的平均速度相同

B．在第2秒末，质点（3）回到出发点

C．在第2秒内，质点

（1）、（3）、（4）做加速运动

D．在第2秒末，质点

（2）、（3）偏离出发点位移不同

考点三　追及、相遇问题

1．一定要抓住“一个条件，两个关系”：

“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．

“两个关系”是时间关系和位移关系．其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口．

2．分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．

【典例3】一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v0＝6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：

（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？

最远距离是多大？

（2）当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？

【跟踪训练3】A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车前84m处时，B车速度为4m/s，且正以2m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零．A车一直以20m/s的速度做匀速运动．经过12s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？

随堂训练：

1.某物体运动的速度图象如图所示，根据图象可知（　　）．

A．0～2s内的加速度为1m/s2

B．0～5s内的位移为10m

C．第1s末与第3s末的速度方向相反

D．第1s末与第5s末加速度方向相同

2．质点做直线运动的v－t图象如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8s内平均速度的大小和方向分别为（　　）．

A．0.25m/s　向右B．0.25m/s　向左

C．1m/s　向右D．1m/s　向左

3.图是甲、乙两物体做直线运动的v－t图象．下列表述正确的是（　　）．

A．乙做匀加速直线运动

B．0～1s内甲和乙的位移相等

C．甲和乙的加速度方向相同

D．甲的加速度比乙的小

4.某质点做直线运动的速度v和时间t的关系如图所示，那么该质点在3s内通过的位移大小是（　　）．

A．4.5m　　　　B．3mC．1m　　　　D．0.5m

5.做直线运动的物体在t1、t3两时刻对应的纵坐标如图所示，下列说法正确的是（　　）．

A．t1、t3两时刻速度相同

B．t2时刻速度和加速度均为零

C．t1、t3两时刻加速度等值反向

D．若t2＝2t1则可以求出物体的初速度为8m/s

6．一物体自t＝0时开始做直线运动，其速度图线如图所示．下列选项正确的是（　　）．

A．在0～6s内，物体离出发点最远为30m

B．在0～6s内，物体经过的路程为35m

C．在0～4s内，物体的平均速率为7.5m/s

D．在5～6s内，物体所受的合外力做负功

课后巩固练习

（限时：

45分钟）

1．一物体从静止开始做匀加速直线运动，下列关于该物体的位移s，速度v，加速度a与时间t关系的图象可能正确的是（　　）．　　　　　　　　　

A．①②B．③④

C．①③D．②④

2.如图所示是A、B两个物体做直线运动的速度图象，下列说法正确的是（　　）．

A．物体A做加速直线运动

B．物体B做减速直线运动

C．物体A的加速度为正值，B的加速度为负值，所以A的加速度大于B的加速度

D．物体B的速度变化比A的速度变化慢

3．史密斯驾驶的新车突然间莫名从时速70千米加速到时速100千米．此后大约10千米距离内，无论史密斯怎么刹车都不管用（可看成匀速运动）．后来车又莫名慢慢停了下来．如果用图象来描述当时这辆车的运动情况，加速阶段和减速阶段可以简化为匀变速运动，下列图象正确的是（　　）．

4.如图所示，是A、B两质点运动的速度图象，则下列说法错误的是（　　）．

A．A质点以10m/s的速度匀速运动

B．B质点先以5m/s的速度与A同方向运动1s，而后停了1s，最后以5m/s相反方向的速度匀速运动

C．B质点最初3s内的位移是10m

D．B质点最初3s内的路程是10m

5.如图所示为一质点做直线运动的速度—时间图象，则在途中给出的该质点在前3s内的加速度a随时间t变化关系的图象中正确的是（　　）．

6.一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速运动，接着做匀减速运动．开到乙地刚好停止，其速度—时间图象如图所示，那么0～t0和t0～3t0两段时间内（　　）．

A．加速度大小之比为3∶1

B．位移大小之比为1∶2

C．平均速度大小之比为2∶1

D．平均速度大小之比为1∶2

7.如图所示为两个物体A和B在同一直线上沿同一方向同时做匀加速运动的v－t图线．已知在第3s末两个物体在途中相遇，则两个物体出发点的关系是（　　）．

A．从同一地点出发

B．A在B前3m处

C．B在A前3m处

D．B在A前5m处

8.甲、乙两辆汽车，同时在一条平直的公路上自西向东运动，开始时刻两车平齐，相对于地面的v－t图象如图所示，关于它们的运动，下列说法正确的是（　　）．

A．甲车中的乘客说，乙车先以速度v0向西做匀减速运动，后做匀加速运动

B．乙车中的乘客说，甲车先以速度v0向西做匀减速运动，后做匀加速运动

C．根据v－t图象可知，开始乙车在前，甲车在后，两车距离先减小后增大，当乙车速度增大到v0时，两车恰好平齐

D．根据v－t图象可知，开始甲车在前，乙车在后，两车距离先增大后减小，当乙车速度增大到v0时，两车恰好平齐

9．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图象中（如图所示），直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20s的运动情况．关于两车之间的位移关系，下列说法正确的是（　　）．

A．在0～10s内两车逐渐靠近

B．在10～20s内两车逐渐远离

C．在5～15s内两车的位移相等

D．在t＝10s时两车在公路上相遇

10.t＝0时，甲、乙两汽车从相距70km的两地开始相向行驶，它们的v－t图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是（　　）．

A．在第1小时末，乙车改变运动方向

B．在第2小时末，甲、乙两车相距60km

C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大

D．在第4小时末，甲、乙两车相遇

11.泥石流往往会给我们带来很大的灾难。

一汽车停在小山坡底，突然司机发现在距坡底240m的山坡处泥石流以8m/s的初速度、0.4m/s2的加速度匀加速倾泻而下，假设司机（反应时间为1s）以0.5m/s2的加速度匀加速启动汽车且一直做匀加速直线运动（如图所示），而泥石流到达坡底后速率不变且在水平面的运动近似看成匀速直线运动．问：

汽车司机能否安全脱离？

12．如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车分别停在A、B两处，相距85m，现甲车开始以a1＝2.5m/s2的加速度向右做匀加速直线运动，当甲车运动t0＝6s时，乙车开始以a2＝5m/s2的加速度向右做匀加速直线运动，求两车相遇处到A处的距离．

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必修一　第一、二章　质点的直线运动

第3讲　运动的图象　追及和相遇问题

基础知识梳理：

一、1．

（1）位移，时间

（2）①大小②方向（3）①静止②匀速直线

2．

（1）速度，时间

（2）①大小②方向（3）①平行②倾斜（4）①位移②正，负

考点例析：

【典例1】解析　由图可知，甲从距原点s0处出发，乙由原点出发，故两物体出发点相距s0；两图线都是倾斜直线，即两物体都做匀速直线运动；甲开始计时就出发，乙在计时后t1时刻才出发，故甲比乙早出发时间为t1；甲、乙图线的斜率分别为负值和正值，表明甲向负方向运动，乙向正方向运动，甲、乙运动方向相反。

故选D

答案　D

【跟踪训练1】解析　质点a从s0＝5m处，t0＝0时出发，

质点b从s0＝0处，t0＝1s时出发，

选项A正确、B错误；

0～3s内，Δsa＝（0－5）m＝－5m.

Δsb＝5m－0＝5m，选项C错误；

因为b的斜率大于a的斜率，

所以b运动的速率大于a运动的速率，选项D错误．

答案　A

【典例2】解析　t0时刻两物体速度大小相等，方向相同，故A项错误；在v－t图象中斜率代表加速度，故选项B错误；v－t图象中图线与时间轴所围成的面积表示位移的大小，在t0时刻之前，乙的位移大于甲的位移，且二者面积差越来越大，选项C正确；在t0时刻之后，两物体之间的距离越来越小，当甲超过乙之后，二者距离又越来越大，故选项D错误．

答案　B

【跟踪训练2】解析　质点

（1）在第1秒内向负方向运动，而其他三个质点在第1秒内均向正方向运动，而平均速度是矢量，所以选项A错误．质点（3）在前2秒内一直向正方向运动，不可能回到出发点，选项B错误．第2秒内，质点

（1）、（3）、（4）的速度大小都在增大，选项C正确．前2秒内质点

（2）、（3）都向正方向运动，且第2秒末位移相同，所以选项D错误．

答案　C

【典例3】解析　

法一　用临界条件求解．

（1）当汽车的速度为v＝6m/s时，二者相距最远，所用时间为t＝

＝2s

最远距离为Δs＝v0t－

at2＝6m.

（2）两车距离最近时有v0t＝

at2

解得t＝4s

汽车的速度为v＝at＝12m/s.

法二　用图象法求解．

（1）汽车和自行车的v－t图象如图所示，由图象可得t＝2s时，二者相距最远．最远距离等于图中阴影部分的面积，即Δs＝

×6×2m＝6m.

（2）两车距离最近时，即两个v－t图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v＝12m/s.

法三　用数学方法求解．

（1）由题意知自行车与汽车的位移之差为

Δs＝v0t－

at2

因二次项系数小于零，

当t＝

＝2s时有最大值，

最大值Δsm＝v0t－

at2＝6×2m－

×3×22m＝6m.

（2）当Δs＝v0t－

at2＝0时相遇

得t＝4s，汽车的速度为v＝at＝12m/s.

答案　

（1）2s　6m　

（2）12m/s

【跟踪训练3】解析　设A车的速度大小为vA，B车加速行驶的时间为t，两车在t0时相遇．则有

sA＝vAt0①

sB＝vBt＋

at2＋（vB＋at）（t0－t），②

式中，t0＝12s，sA、sB分别为A、B两车相遇前行驶的路程．依题意有sA＝sB＋s，③

式中s＝84m.

由①②③式得t2－2t0t＋

＝0，

代入题给数据vA＝20m/s，vB＝4m/s，a＝2m/s2，

有t2－24t＋108＝0，式中t的单位为s.

解得t1＝6s，t2＝18s．t2＝18s不合题意，舍去．

因此，B车加速行驶的时间为6s.

答案　6s

随堂训练：

1解析　0～2s内的加速度等于直线的斜率，即a＝

＝1m/s2，选项A正确；0～5s内的位移等于图象与坐标轴所围图象的面积，即s＝

m＝7m，选项B错误；第1s末与第3s末的速度都是正值，即方向相同，选项C错误；第1s末与第5s末的加速度分别是正值、负值，即方向相反，选项D错误．

答案　A

2解析　由图象面积计算0～3s内质点的位移大小为s1＝2×3×

m＝3m，方向向右，3～8s内位移大小为s2＝2×5×

m＝5m，方向向左，所以前8s总位移s＝s1－s2＝－2m.

＝

＝

m/s＝－0.25m/s，即大小为0.25m/s，方向向左．B正确．

答案　B

3解析　由题图知甲做匀减速直线运动，乙做匀加速直线运动甲图线的斜率比乙图线的斜率大，而其斜率值即为加速值，则甲的加速度比乙的大，且二者方向相反；又由题图知0～1s内甲的位移比乙的大．故A正确，B、C、D错误．

答案　A

4解析　图线与坐标轴围成图形的“面积”即为位移大小．s＝1×1＋

×1＋1×2m＝4.5m.

答案　A

5解析　t1、t3时刻的速度大小相同，但方向相反，A项错误；t2时刻速度为零，但斜率不为零，说明加速度不为零，B项错误；t1、t3时刻图象斜率相同，加速度相同，C项错误；若t2＝2t1，由于v－t图线为直线，所以Δt1和Δt2时间内速度的变化量Δv1＝Δv2＝－4m/s，可得v0＝8m/s，选项D正确．

答案　D

解析　根据v－t图象的“面积”表示位移和v－t图象的意义知，物体在第5s时离出发点最远，最远距离为sm＝

×（5＋2）×10m＝35m；0～6s内的路程为s＝sm＋

×1×10m＝40m；0～4s内的路程（等于位移）s＝

×（4＋2）×10m＝30m，故平均速率为

＝

＝

m/s＝7.5m/s；在5～6s内，物体的速度增加，根据动能定理，合外力做正功．综上所述C正确，A、B、D错误．

答案　C

课后巩固练习

1解析　匀加速运动的加速度不变，③错；据位移公式s＝

at2知，物体的位移s与时间t的二次方成正比，故①错、④对；据速度公式vt＝at知物体的速度v与时间t成正比，②正确．

答案　D

2解析　由两物体的速度图象可知，两物体速度的绝对值都在增大，则都在做加速运动．物体A的速度为正，图线的斜率为正，说明A向正方向做匀加速运动；物体B的速度为负，图线的斜率为负，说明B向负方向做匀加速运动，A正确、B错误；物体A的加速度的绝对值为1m/s2，物体B的加速度的绝对值为2m/s2，所以B的加速度大于A的加速度，从而B的速度变化比A的速度变化快，C、D错．故选A.

答案　A

3解析　根据材料可知汽车先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动到静止．在位移—时间图象中，斜率表示速度，所以斜率应先增大后不变，最后减小，因此B项错；在速度—时间图象中，速度先增大后不变，最后减小到零，因此C项对，A项错；在加速度—时间图象中，匀加速阶段和匀减速阶段加速度方向相反，因此D项错．

答案　C

4解析　匀速直线运动的速度图线平行于时间轴，图线在t轴上方为正方向，在t轴下方为负方向，当速度为零时，图线在t轴上．

答案　C

5答案　A

6解析　0～t0内与t0～3t0内，Δv大小相等，加速度之比等于时间的反比，为2∶1，A错；位移之比等于围成的面积之比，为1∶2，B对；由

＝

知，平均速度之比为1∶1，C、D错．

答案　B

7解析　两物体在途中相遇，但v－t图象的“面积”表示的位移并不相同，说明两物体出发点不同，两物体位移差Δs＝

m＝3m，即B在A前3m处，C正确．

答案　C

8解析　甲车中的乘客以甲车为参考系，相当于甲车静止不动，乙车以初速度v0向西做减速运动，速度减为零之后，做加速运动，所以A正确；乙车中的乘客以乙车为参考系，相当于乙车静止不动，甲车以初速度v0向东做减速运动，速度减为零之后，做加速运动，所以B错误；以地面为参考系，当两车速度相等时，距离最远，所以C、D错误．

答案　A

9解析　甲车做速度为5m/s的匀速直线运动，乙车做初速度为10m/s的匀减速直线运动．在t＝10s时，两车的速度相同，在此之前，甲车的速度小于乙车的速度，两车的距离越来越大；在此之后，甲车的速度大于乙车的速度，两车的距离又逐渐减小，在t＝20s时两车相遇，故选项A、B、D均错.5～15s内，两图线与时间轴所围成的面积相等，故两车的位移相等，选项C正确．

答案　C

10解析　前2小时内乙车一直没改变运动方向，前2小时内甲、乙两车位移大小都为30km，但相向而行，所以第2小时末甲、乙相距s＝70km－60km＝10km，由于乙的斜率总比甲的大，所以前4小时内，乙车运动的加速度大小总比甲车的大．第4小时末甲、乙速度相等但未相遇．

答案　C

11解析　设泥石流到达坡底的时间为t1，速率为v1，则

s1＝v0t1＋

a1t12，v1＝v0＋a1t1

代入数值得t1＝20s，v1＝16m/s

而汽车在19s的时间内发生位移为s2＝

a2t22＝90.25m

速度为v2＝a2t2＝9.5m/s

令再经时间t3，泥石流追上汽车，则有v1t3＝x2＋v2t3＋

a2t32

代入数值并化简得t32－26t3＋361＝0，因Δ<0，方程无解

所以泥石流无法追上汽车，司机能安全脱离．

答案　司机能安全脱离

12解析　甲车运动t0＝6s的位移为

s0＝

a1t02＝45m<85m，尚未追上乙车．

设此后用时间t与乙车相遇，则

a1（t0＋t）2＝

a2t2＋sAB.

代入数据，解得t＝4s或t＝8s.

（1）当t＝4s时，甲车追上乙车，

第一次相遇处到A的距离为

s1＝

a1（t0＋t）2＝125m.

（2）当t＝8s时，乙车追上甲车，

第二次相遇处到A的距离为

s2＝

a1（t0＋t）2＝245m．

答案　125m或245m