高三一轮复习文科立体几何学案.docx

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高三一轮复习文科立体几何学案

第一节空间几何体的结构特征

一．知识梳理

1．空间几何体的结构特征

（1）多面体的结构特征

多面体

定义

结构特征

棱柱

棱锥

棱台

（2）旋转体的形成

旋转体

定义

旋转图形

旋转轴

圆柱

圆锥

圆台

球

2.空间几何体的三视图

（1.）画三视图的规则：

（2）三视图的排列顺序：

3．空间几何体的直观图：

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为________，z′轴与x′轴和y′轴所在平面________

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________；平行于y轴的线段在直观图中长度为________

直观图与原图形面积的关系

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：

（1）S直观图＝S原图形．

（2）S原图形＝2

二．考点突破

空间几何体的结构特征

[例1]　

（1）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（　　）

A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体

（2）下列说法正确的是（　　）

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

（3）下列结论正确的是（　　）

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

（4）设有以下四个命题：

①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；

②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；

④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．

（5）有半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高为_______

（6）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长为________cm.

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是（　　）

A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

2．给出下列四个命题：

①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是（　　）A．0　　　　　　B．1C．2D．3

空间几何体的三视图

例1．

（1）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图的面积为（）

（2）一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（　　）

A．正方形B．圆C．等腰三角形D．直角梯形

（3）正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，

其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，

则正视图的周长为_______．

[例2]

（1）如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形，按正视图，侧视图，俯视图的顺序排列）（　　）

A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤

（2）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　）

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.如图，三棱锥VABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，

已知其正视图的面积为，则其侧视图的面积为（　　）

A.B.C.D.

2.如图所示，三棱锥PABC的底面ABC是直角三角形，直角边长AB＝3，AC＝4，过直角顶点的侧棱PA⊥平面ABC，且PA＝5，则该三棱锥的正视图是（　　）

3.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（　　）

4.一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．

空间几何体的直观图

例1.

（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　）

（2）已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为（　　）

A．4cm2B．4cm2C．8cm2D．8cm2

2.等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．

第二节空间几何体的表面积与体积

一．知识梳理

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：

S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r′）lS圆锥侧＝πrl.

2．空间几何体的表面积与体积公式

（1）柱体：

（2）锥体：

（3）台体：

二．考点突破

空间几何体的表面积

[例1]

（1）　某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为（　　）

A．4π＋16＋4B．5π＋16＋4C．4π＋16＋2D．5π＋16＋2

（2）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（　　）

A．1＋B．2＋C．1＋2D．2

（2）图

（1）图

空间几何体的体积

[例2]　

（1）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

　A.B.C.D．1

（2）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.＋2πB.C.D.

（3）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

（A）（B）（）2（）4

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.＋πB.＋πC.＋πD．1＋π

2.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.cm3B．2πcm3C.cm3D．3πcm3

3.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（　　）

A．12＋20B．24＋20C．44D．12

1题图2题图

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（　　）

A．8＋2B．11＋2

5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：

寸）：

若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x的值为________．

考点三

球体

1.球与正方体

（1）正方体的内切球，位置关系：

正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：

设正方体的棱长为，球的半径为，这时有. 

（2）正方体的外接球， 位置关系：

正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； 数据关系：

设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.

2.球与长方体：

长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.

例

（1）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．

（2）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.

A.B.C.D.

3.正四面体.三棱锥与球的切接问题 

（1） 正四面体的内切球，位置关系：

正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：

设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；

（2）正四面体的外接球：

例

（1）　若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.

（2）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，

是球的直径，且；则此棱锥的体积为（）

A.B.C.D.

4.其它棱锥（柱）与球的切接问题（构造长方体、正方体模型）

例

（1）.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.

（2）三棱锥的四个顶点都在球的表面上，⊥平面，⊥，，

，则球的体积为

（3）直三棱柱的六个顶点都在球的球面上．若，

，，则球的表面积为____________．

（4）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）

A.B．16πC．9πD.

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为2的正方形），则该几何体外接球的体积为________．

2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（　　）

A．1B．2C．3D．4

3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

A．200πB．150πC．100πD．50π

[全国卷5年真题集中演练——明规律]

（2013·全国新课标1已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．

1．（2016·全国甲卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．20π　　　　B．24π　　　　C．28π　　　　D．32π

2．（2016·全国甲卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

A．12πB.πC．8πD．4π

3．（2016·全国丙卷）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（　　）

A．4πB.C．6πD.

4．（2015·新课标全国卷Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　）

A.B.C.D.

.

5．（2015·新课标全国卷Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝（　　）

A．1B．2

C．4D．8

6．（2015·新课标全国卷Ⅰ）《九章