第四讲最不利原则.docx

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第四讲最不利原则

四年级数学思维训练之最不利原则20161106

在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。

解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：

　　1.着眼于极端情形；

　　2.分析推理——确定最值；

　　3.枚举比较——确定最值；

　　4.估计并构造。

常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。

例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。

问：

一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？

分析与解答：

如果碰巧，可能你一次取出的4个小球的颜色都相同。

但显然，仅仅摸出4个小球，并不能保证它们的颜色相同，因为它们的颜色也可能不相同。

因此，为了“保证至少有4个小球颜色相同”，我们就要从最“不利”的情况出发来考虑。

如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。

“最不利”的情况是什么呢？

它就是我们俗话说的运气最差的情况，实际总是与所希望的相反。

那么，在这里，什么样的情况最“惨”呢？

那就是我们摸出了3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。

为什么说这就是最不利的了呢？

因为这时我们接着再摸出一个球的话，无论是红色还是黄色或者蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。

所以，一次最少摸出10个球，才能保证至少有4个小球颜色相同。

　　由此我们看到了，最不利原则就是从“极端糟糕”、从“运气最差”的角度来考虑问题。

什么样的情况我们要用最不利原则来考虑呢？

那就是题目中出现要“保证……”时，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况去分析问题。

通过上面分析，列式为：

例2一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？

分析与解：

从最不利的情形考虑。

用10把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9次，前8次都没打开，第9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开，则第10把钥匙与这把锁相匹配）。

同理，第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次，第十把锁不用再试（为什么？

）。

通过上面分析，列式为：

例3在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？

分析与解：

一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张，共计有54张牌。

最不利的情形是：

取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2张王牌。

这41张牌中没有四种花色。

剩下的正好是另一种花色的13张牌，再抽1张，四种花色都有了。

因此最少要拿出42张牌，才能保证四种花色都有。

例4口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。

其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。

现在一次从中任意取出几个，为保证这几个小球至少有5个同色，那么最少要取多少个？

分析与解：

与上例类似，这也要从“最不利”的情况考虑。

最不利的情况是什么呢？

是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。

此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。

因此，所求的最小值是12。

热身操

1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。

问：

一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？

2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。

问：

一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？

3.口袋里有三种颜色的筷子各10根。

问：

（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？

（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？

（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？

4.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。

问：

最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子？

5在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。

问：

至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？

6袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。

问：

至少要取出多少个球，才能保证有3个球是同一颜色的？

7一只鱼缸里有很多条鱼，共有5个品种。

问：

至少捞出多少条鱼，才能保证有5条品种相同的鱼？

8有10件绿色衣服，6件白色衣服，7件红色衣服，2件蓝色衣服，问至少取多少件才能保证取出的衣服至少有两件颜色是相同的？

9有10件绿色衣服，6件白色衣服，7件红色衣服，2件蓝色衣服，问至少取多少件才能保证取出的衣服至少有两件颜色是不同的？

10袋中有10种不同的珠子各100个，要想保证从袋中摸出三种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？

11.袋中有8个白球，5个黄球，15个黑球。

让你闭着眼睛从口袋中摸球，至少取出（    ）个球，才能保证取出的球中有黑球。

12中有红、白、蓝、黑四种颜色的球，从袋中任意取出若干个球。

问：

至少要取出（    ）个球，才能保证有四个球是同一种颜色的。

13袋内装有70只球，其中20只是红球，20只是绿球，20只是黄球，其余是黑球和白球。

为确保取出的球中至少包含有10只同色的球，问：

至少必须从袋中取出（    ）个球。

14红色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少取（    ）根才能保证达到要求。

15.把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和其中的8把锁，要保证将这8把钥匙都配上锁，至少需要试验（    ）次。

16.把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和其中的10把锁，要保证将这8把钥匙都配上锁，至少需要试验（    ）次。

17．有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取多少颗？

如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出多少颗？

18一付扑克牌共有54张（包括大王、小王）,至少从中取多少张牌,才能保证其中必有3种花色？

19．在一付扑克牌中（54张），最少要拿出多少张，才能保证在拿出的牌中四种花色都有？

20．在一个口袋中有9个黑球、7个白球、5个红球。

问：

至少从中取出多少个球，才能保证其中有红球？

21．某小学五年级的学生身高（按整数厘米计算），最矮的是138厘米，最高的是160厘米。

如果任意从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少人，才能保证有5人的身高相同？

22．要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒子中，每个盒子最多可以装5个乒乓球。

证明：

至少有5个盒子中的乒乓球数目相同。

最不利原则练习题集

1、肉包子7个，素包子6个，至少吃几个，才能吃到两种馅？

2、白球7个，黑球8个，至少摸几个，才能保证：

1）有2个相同颜色的球？

2）有2个不同颜色的球？

3）、有2个黑球？

4）、有2个白球？

5）、有1个黑，1个白？

6）、每种颜色都有5个球？

7）、保证有5球同色？

3、黄球10个，白球7个，黑球8个，至少摸多少个，才能保证：

1）有3种颜色的球？

2）、一定会有黑球？

3）、一定会有黄球？

4）、有3球同色？

4、黄球3个，白球7个，黑球8个，至少摸几个，才能保证5个球同色？

5、在一副扑克牌种，最少取出多少张，才能保证：

1）、四种花色都有？

2）取出2张红桃？

3）有1张10？

4）有1张红桃10？

5）有2张花色相同？

6、口袋里有足够多的红，白，蓝，黑四种颜色的单色球，从口袋中任意取出若干个球，至少要取出多少个球才能保证有9个球是同一颜色的？

7、一排椅子只有27个座位，部分座位已有人就座，东东来后一看，他无论坐哪个座位，都将与已就座得人相邻。

在东东来之前就已就座的最少有几人？

8、一排椅子只有35个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，她无论坐在那个座位，都将与已就座的人相邻，在乐乐来之前就已就座的最少有几人？

9、一排椅子只有22个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，她无论坐在那个座位，都将与已就座的人相邻，在乐乐来之前就已就座的最少有几人？

10、一个布袋里有大小相同，颜色不同的一些小球，其中红的10个，白的9个，黄的8个，蓝的2个，一次至少取多少个球，才能保证有4个相同颜色的？

11、将3支红筷子，9支黄筷子，18支绿筷子，2支白筷子和1支黑筷子放在一个布袋里，至少摸多少支才能保证有两双颜色相同的筷子？

12、口袋中放有红，黄，白，黑四种颜色的袜子各10只，只许用手摸，不许用眼看，至少要从口袋中取出多少只袜子才能保证配成5双，（一双指同颜色的袜子两只）

13、参加学校歌咏比赛的学生中，最小的9岁，最大的13岁，那么从这些学生中任选（  ）位就一定能保证其中有两位队员的年龄相同。

14、桃、梨、苹果、草莓四种水果各若干个混放在一起，每个人取出两个，那么至少需要（  ）个人才能保证有两人取出的水果是完全相同的。

15有布娃娃、书包、文具盒三种礼品各若干个。

每个小朋友任意拿两个，需要（  ）个小朋友才能保证至少有两人选的礼品相同。

16、文具盒中有5枝黑笔和3支蓝笔混合放在一起，那么一次至少摸出（  ）枝笔才能保证至少有一枝蓝笔

“一同一和十”速算法

请你运用前面介绍的“首同末和十”和“末同首和十”的速算方法来推理“一同一和十”的速算方法。

1）尝试笔算下面的题目，仔细观察有什么样的规律。

33×19＝66×82＝37×44＝77×46＝91×88＝

2）说说你发现的速算规律。

3）和老师一起总结速算方法：

积的末两位数是“尾×尾”，前面是“同×（头+1）”

仍注意：

如果“尾×尾”只有一位则在前面补“0”。

4）速算高手擂台

22×37＝99×64＝28×55＝91×44＝73×44＝

91×33＝77×82＝37×55＝82×44＝28×66＝

22×64＝73×44＝28×11＝91×88＝73×99＝

55×64＝19×44＝37×11＝46×88＝28×99＝

56×56=86×84=73×33=63×67=27×87=29×21=36×76=87×83=95×15=76×74=38×78=56×54=62×42=73×77=47×67=93×97=29×89=26×24=83×23=45×45=

0.62×0.68=0.38×7.8=610×690=530×530=